3高中数学三角函数知识点总结

高考三角函数 1 特殊角的三角函数值 sin 0 cos 1 tan 0 sin3 021 cos3 03 tan3 0 sin 0452 cos 0 tan 1045 sin6 023 cos6 01 tan6 3 sin9 10 cos9 0 tan9 无意义0 2 角度制与弧度制的互化 2360 180 3 00456 9 000350118 027 036 0 0 6 324 6 23 3 弧长及扇形面积公式 弧长公式 扇形面积公式 S rl rl 1 是圆心角且为弧度制 r 是扇形半径 4 任意角的三角函数 设 是一个任意角 它的终边上一点 p x y r 2yx 1 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan ry rx 2 各象限的符号 x y cosin2 O x y O y O sin cos tan 5 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 sin 2 cos2 1 2 商数关系 tan cosin zk 6 诱导公式 1sin2sink co2cosk tan2tank 3sisi cs tata 4n osco nn 口诀 函数名称不变 符号看象限 5sics2 si2 6ino in 口诀 正弦与余弦互换 符号看象限 7 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 8 三角函数公式 降幂公式 升幂公式 1 cos cos2 2cos cos1 1 cos sin2in 9 正弦定理 2siisiabcRABC 余弦定理 22oA cca sb 三角形面积定理 11insisin22SbcAaB 1 直角三角形中各元素间的关系 如图 在 ABC 中 C 90 AB c AC b BC a 1 三边之间的关系 a 2 b 2 c 2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB cos A sin B tanA cb 2 斜三角形中各元素间的关系 在 ABC 中 A B C 为其内角 a b c 分别表示 A B C 的对边 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 两角和与差的三角函数关系 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan1t t 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin22tan1ta RCcBbAa2sinisin R 为外接圆半径 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍 a2 b 2 c 2 2bc cosA b 2 c 2 a 2 2ca cosB c 2 a 2 b 2 2abcos C 3 三角形的面积公式 1 aha bhb chc h a h b h c 分别表示 a b c 上的高 1 2 absinC bcsinA acsinB 2 4 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少有一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以包括三角形的高 中线 角平分 线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 解三角形的问题一般可分为下面两种情形 若给出的三角 形是直角三角形 则称为解直角三角形 若给出的三角形是斜三角形 则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是 设 ABC 的三边为 a b c 对应的三个角为 A B C 1 角与角关系 A B C 2 边与边关系 a b c b c a c a b a b c b c b 3 边与角关系 正弦定理 R 为外接圆半径 2sinisin 余弦定理 c2 a2 b2 2bc cosC b 2 a2 c2 2accos B a 2 b2 c2 2bccosA 它们的变形形式有 a 2R sinA i aos 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2sinco 2ssinCBACBA 四 典例解析 题型 1 正 余弦定理 2009 岳阳一中第四次月考 已知 中 Aa b 0a 154ABCS 3 5ab 则 BAC A 0 B 10 C 015 D 3 或 015 答案 C 例 1 1 在 中 已知 cm 解三角形 A032 08 B42 9 a 2 在 中 已知 cm cm 解三角形 角度精确到 边长精确到abA01 1cm 解析 1 根据三角形内角和定理 08 CAB0018 32 1 8 06 2 根据正弦定理 0sin42 9si abcm 根据正弦定理 0si si6 74 1 n32 CcA 2 根据正弦定理 0si8ini 9 bBa 因为 所以 或00164016 B 当 时 64 0 0 8 4 76 CA0sin2i73 accmA 当 时 1B 0008 8 416 24 C 0sin2i413 aCccmA 点评 应用正弦定理时 1 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 2 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 1 在 ABC 中 已知 求 b 及 A 23a62c0B 2 在 ABC 中 已知 解三角形14 m87 b1 7 cm 解析 1 2os bcB cos 3 6 3 62 045 241 8 b 求 可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 A 解法一 cos 22222 6 31 bca 06 A 解法二 sin 03sinsi45 2 B 又 即 62 413 8 21 836 ac0A09 0 A 2 由余弦定理的推论得 cos 22 bca2227 6 4 817 053 056 cos 22 Bca2234 6 89 03 0018 18 53 CA047 点评 应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围 题型 2 三角形面积 例 3 在 中 求 的值和 Bsinco 2CAB 3tan 的面积 AC 解法一 先解三角方程 求出角 A 的值 21 45cos 2 45cos in A 又 08 4560 15 A 3tant 2 4620sin45co60s45in 6045si 10is A SCBAAB 21233i 解法二 由 计算它的对偶关系式 的值 sinco sincoA 0cos sin 1802cosin21 2 AA 23 si2 inco6 得 sinA 264 得 co 从而 sin264ta 23A 以下解法略去 点评 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 着重数学考查运算能力 是一 道三角的基础试题 两种解法比较起来 你认为哪一种解法比较简单呢 例 4 2009 湖南卷文 在锐角 ABC 中 1 2 A 则 cosC的值等于 AC 的取值范围为 答案 2 3 解析 设 2 B 由正弦定理得 12 sin2icoscsAAC 由锐角 得 029045 又 1836 故 233cos 2cos AC 例 5 2009 浙江理 本题满分 14 分 在 ABC 中 角 所对的边分别为 abc 且满足2cosA 3B I 求 C 的面积 II 若 6bc 求 a的值 解 1 因为 5s2 234os1 sin5A 又由3AB 得 cos b5bc si2ABCSbc 2 对于 又 6 5 1或 5 由余弦定理得2s20a a 例 6 2009 全国卷 理 在 ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为 a b c 已知2acb 且 sinco3sin 求 b 分析 此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手 对已知条件 1 2c 左侧是二次的右 侧是一次的 学生总感觉用余弦定理不好处理 而对已知条件 2 sino3sin AC过多 的关注两角和与差的正弦公式 甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差 导致找不到突破口而 失分 解法一 在 ABC 中 sinco3sin A 则由正弦定理及余弦定理有 2223 abcab 化简并整理得 22 acb 又由已知 2acb 24 解得 40 或 舍 解法二 由余弦定理得 22cosacA 又 2acb 0 所以 cosbA 又 sin3inC isin4osinCAC sin 4cosinAC 即 si4cosinBAC 由正弦定理得 ibB 故 由 解得 评析 从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查 在备考中应注意总结 提高自己对 问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力 另外提醒 两纲中明确不再考的知识和方法了解 就行 不必强化训练 题型 4 三角形中求值问题 例 7 的三个内角为 求当 A 为何值时 取得最大值 ABC BC cos2BC 并求出这个最大值 解析 由 A B C 得 所以有 cos sin B C2 2 A2 B C2 A2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C2 A2 A A2 A2 12 32 当 sin 即 A 时 cosA 2cos 取得最大值为 A2 12 3 B C2 32 点评 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式 通过三角函数的性 质求得结果 例 8 2009 浙江文 本题满分 14 分 在 A 中 角 B所对的边分别为 abc 且满足25cosA 3BC I 求 的面积 II 若 1c 求 a的值 解 53 2 cos2 A 又 0 A 41in2 而 35cos bACBA 所 以 5 bc 所以 BC 的面积为 2541sin bc 由 知 c 而 1 所以 所以 325os22 Aa 点评 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的三角函数的公式以及倍 角公式 考察应用 分析和计算能力 题型 5 三角形中的三角恒等变换问题 例 9 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c 2 ac bc 求 A 的大小及 的值 csin 分析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可用余弦定理 由 b2 ac 可变形为 a 再用正弦定理可求 的值 2cbsi 解法一 a b c 成等比数列 b 2 ac 又 a2 c 2 ac bc b 2 c2 a 2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA A 60 bca 2 1 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB b 2 ac A 60 sin sin60 acbcB 60sinsi23 解法二 在 ABC 中 由面积公式得 bcsinA acsinB 21 b 2 ac A 60 bcsinA b2sinB sinA cBsin3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用正弦定理 例 10 在 ABC 中 已知 A B C 成等差数列 求 的值 2tan32tant CAA 解析 因为 A B C 成等差数列 又 A B C 180 所以 A C 120 从而 60 故 tan 由两角和的正切公式 2 32 得 2tan1 t A 所以 2tan3tt CAC 32tan32tant CAA 点评 在三角函数求值问题中的解题思路 一般是运用基本公式 将未知角变换为已知角求解 同 时结合三角变换公式的逆用 题型 6 正 余弦定理判断三角形形状 例 11 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 答案 C 解析 2sinAcosB sin A B sin A B 又 2sin AcosB sin C sin A B 0 A B 点评 本题考查了三角形的基本性质 要求通过观察 分析 判断明确解题思路和变形方向 通畅 解题途径 例 12 2009 四川卷文 在 C 中 为锐角 角 所对的边分别为 abc 且 510sin siAB I 求 的值 II 若 21ab 求 abc 的值 解 I AB 为锐角 510sin siAB 2 23cos1i coin 5102 ssin ABAB 0 4 II 由 I 知 3C 2sin 由 siniiabcAB 得 5102abc 即 5abc 又 1 2 5ac 21 2009 四川卷文 在 ABC 中 为锐角 角 ABC 所对的边分别为 abc 且10sin si5 I 求 的值 II 若 21ab 求 abc 的值 解 I AB 为锐角 510sin siAB 2 23cos1i coin 5102 ssin ABAB 0 4 II 由 I 知 3C 2sin 由 siniiabcAB 得5102 即 5ab 又 ab 1 2 5ac 点评 三角函数有着广泛的应用 本题就是一个典型的范例 通过引入角度 将图形的语言转化为 三角的符号语言 再通过局部的换元 又将问题转化为我们熟知的函数 这些解题思维的4 ft 拐点 你能否很快的想到呢 五 思维总结 1 解斜三角形的常规思维方法是 1 已知两角和一边 如 A B C 由 A B C 求 C 由正弦定理求 a b 2 已知两边和夹角 如 a b c 应用余弦定理求 c 边 再应用正弦定理先求较短边所对的角 然后利用 A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如 a b A 应用正弦定理求 B 由 A B C 求 C 再由正 弦定理或余弦定理求 c 边 要注意解可能有多种情况 4 已知三边 a b c 应余弦定理求 A B 再由 A B C 求角 C 2 三角形内切圆的半径 特别地 2Srbc 2abcr 斜直 3 三角学中的射影定理 在 ABC 中 os 4 两内角与其正弦值 在 ABC 中 BABinsi 5 解三角形问题可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大角定理及几 何作图来帮助理解