经典竞赛几何题

内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前2018年05月17日张朋松的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一解答题（共50小题）1已知ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF（1）如图1，求证：AFBADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由2在ABC中，AHBC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）求证：DEF=HFE3在ABC中，B=60，A，C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若ABBC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由4如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，在ABC外取一点E，使得EAB=ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK与DK有怎样的大小关系？并说明理由5已知如图，AC=BC，C=90，A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=AD6如图，已知AB=AC，BAC=60，BDC=120，求证：AD=BD+CD7如图ABC，D是ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD8如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由9如图，设点M是等腰RtABC的直角边AC的中点，ADBM于E，AD交BC于D求证：AMB=CMD（请用两种不同的方法证明）10如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G试猜想AHF与BGF的关系，并给出证明提示：若猜想不出AHF与BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将ABC旋转180，得到ABP11如图，D为ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N（1）求证：PN=QN；（2）求证：MNBC12在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：DEMDFN；PAE=PBF13如图：已知ABDC，BAD和ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明14如图，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，DGH是等边三角形求证：EG=FH15已知如图，CD是RTABC斜边上的高，A的平分线交CD于H，交BCD的平分线于G，求证：HFBC16已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA（1）若MFC=120，求证：AM=2MB；（2）试猜想MPB与FCM数量关系并证明17如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=C18已知A，C，B在同一条直线上，ACE，BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MGCN，垂足为G求证：CG=NG19如图所示，在ABC中，ABC=2C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之20如图，ABC是边长为l的等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：AMN的周长等于221已知如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且AE=（AB+AD），求证：B与D互补22如图，已知ABC中，A=90，AB=AC，1=2，CEBD于E求证：BD=2CE23AD是ABC的角平分线，M是BC的中点，FMAD交AB的延长线于F，交AC于E（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明24如图，AD是ABC的中线，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90判断线段AD与EF数量和位置关系25如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长26如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足ACB=ADB=60，ABD=90DBC求证：AC=AD27如图，正方形ABDE和ACFG是以ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论28如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，BPAD，垂足为P已知AB=5，BP=2，AC=9试说明ABC=3ACB29如图，在ABC中，B=90，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM相交于点P，试求APM的度数30已知如图，在ABC中，B=60，AD、CE是ABC的角平分线，并且它们交于点O，（1）求：AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD31如图，已知ABC中ABAC，P是角平分线AD上任一点，求证：ABACPBPC32如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于点O过点O作OPAC，OQAB，P、Q为垂足求证：DP=DQ33如图已知ABC中，AB=AC，ABD=60，且ADB=90BDC，求证：AB=BD+DC34如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51，求DFE度数35如图，已知ABC是等腰直角三角形，C=90，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM点E在射线NA上，且NE=2NA，求证：BDDE36如图，ABC中，BD为ABC的平分线；（1）若A=100，C=50，求证：BC=BA+AD； （2）若BAC=100，C=40，求证：BC=BD+AD37如图，ABC中，ACB=90，CAD=30，AC=BC=AD求证：BD=CD38如图所示，在ABF中，已知BC=CE=EF，BAC=CAD=DAE=45，求的值39如图，已知过ABC的顶点A，在BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC边中点求证：MD=ME40已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分BAC，DHAF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E求证：41已知：在ABC中，A=90，AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：ADB=CDF42如图，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：CD=2EC43如图，在ABC中，BD=CD，AG平分DAC，BFAG，垂足为H，与AD交于E，与AC交于F，过点C的直线CM交AD的延长线于M，且EBD=MCD，AC=AM求证：DE=CF44如图，BE、CF是ABC的高，它们相交于点O，点P在BE上，Q在CF的延长线上且BP=AC，CQ=AB，（1）求证：ABPQCA（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明45如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AF平分BAC交CD于E，交BC于F，EGAB交BC于G，说明BG=CF的理由46在ABC中，ACB=90，D是AB上一点，M是CD的中点，若AMD=BMD，求证：CDA=2ACD47如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H求证：AHF=BGF48如图，在等腰直角ABC中，AD=AE，AFBE交BC于点F，过F作FGCD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG49已知ABC，C=90，AC=BCM为AC中点，延长BM到D，使MD=BM；N为BC中点，延长NA到E，使AE=NA，连接ED，求证：EDBD50如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是ABC内一点，且DAC=DCA=15，求证：BD=BA试卷第13页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。2018年05月17日张朋松的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1已知ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF（1）如图1，求证：AFBADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明AFBADC；（2）四边形BCEF是平行四边形，因为AFBADC，所以可得ABF=C=60，进而证明ABF=BAC，则可得到FBAC，又BCEF，所以四边形BCEF是平行四边形；（3）易证AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60，可得FAB=DAC，即可证明AFBADC；根据AFBADC可得ABF=ADC，进而求得AFB=EAF，求得BFAE，又BCEF，从而证得四边形BCEF是平行四边形【解答】证明：（1）ABC和ADF都是等边三角形，AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60，又FAB=FADBAD，DAC=BACBAD，FAB=DAC，在AFB和ADC中，AFBADC（SAS）；（2）由得AFBADC，ABF=C=60又BAC=C=60，ABF=BAC，FBAC，又BCEF，四边形BCEF是平行四边形；（3）成立，理由如下：ABC和ADF都是等边三角形，AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60，又FAB=BACFAE，DAC=FADFAE，FAB=DAC，在AFB和ADC中，AFBADC（SAS）；AFB=ADC又ADC+DAC=60，EAF+DAC=60，ADC=EAF，AFB=EAF，BFAE，又BCEF，四边形BCEF是平行四边形【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键2在ABC中，AHBC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）求证：DEF=HFE【分析】EF为中位线，所以EFBC，又因为HFE和FHB，DEF和CDE分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证FHB=CDE【解答】证明：E，F分别为AC，AB的中点，EFBC，根据平行线定理，HFE=FHB，DEF=CDE；同理可证CDE=B，DEF=B又AHBC，且F为AB的中点，HF=BF，B=BHF，HFE=B=DEF即HFE=DEF【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半3在ABC中，B=60，A，C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若ABBC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由【分析】（1）可证明ACFCAE，再由角平分线的性质得出OAC=OCA，从而得出OE=OF；（2）过点O作OHAC，OMBC，ONAB，垂足分别为H，M，N，连接OB根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在B的平分线上，从而得出OBN=OBM=30，由已知得出OEM=OFN，能证明RtOFNRtOEM，则OE=OF成立【解答】证明：（1）B=60，AB=BC，A=C=60，AECF分别平分A，C，OAC=OCA=30，OA=OC，ACFCAE（ASA），AE=CF，OE=OF；（2）过点O作OHAC，OMBC，ONAB，垂足分别为H，M，N，连接OB点O在A，C的平分线上，ON=OH，OH=OM，从而OM=ON，点O在B的平分线上 （1分）OBN=OBM=30，ON=OM （2分）又OEM=B+A=60+AOFN=A+C=（A+C）+A=（18060）+A=60+AOEM=OFN（2分）RtOFNRtOEM（AAS），（1分）OE=OF（1分）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一题多解以及方法的简单性4如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，在ABC外取一点E，使得EAB=ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK与DK有怎样的大小关系？并说明理由【分析】首先作出EIAB，DHAB，证明EAIDCF再得出DH=DF进而得出EKIDKH即可证出【解答】解：结论：EK=DK（2分）理由：过点E作EIAB，过点D作DHAB于H，DFBC于F，在EAI和DCF中，EAIDCF（AAS），（2分）EI=DF，（2分）BD是ABC的平分线，DH=DF，（2分）DH=EI，在EKI和DKH中，EKIDKH（AAS），（2分）EK=DK（2分）【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法，根据题意作出EIAB，DHAB，从而利于全等证明是解决问题的关键5已知如图，AC=BC，C=90，A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=AD【分析】延长AC、BE交于点M，易证得ACDBCM，可得AD=BM，可证得AEMAEB，可得EM=BE，即BM=2BE，由即可得结论【解答】解：如图，延长AC、BE交于点M，A的平分线AD，BE垂直AD于E，MAE=BAE，AEM=AEB=90，AE=AE，AEMAEB（ASA），EM=BE，即BM=2BE；A的平分线AD，AC=BC，C=90，CAD=DAB=22.5，ABC=45，BE垂直AD于E，DAB+ABC+DBE=90，即DBE=22.5，CAD=DBE，又AC=BC，且ACB=BCM=90，ACDBCM（ASA），AD=BM；由得AD=2BE，即BE=AD【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键6如图，已知AB=AC，BAC=60，BDC=120，求证：AD=BD+CD【分析】先延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，根据已知条件得出A，B，D，C四点共圆，得出ACB=ADE，再根据等边三角形的性质得出ABC是等边三角形，在ABE和ACD中，根据SAS得出ABEACD，得出ADE是等边三角形，得出AD=DE，再根据DE=BD+BE，即可证出AD=BD+CD【解答】解：延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，BAC+ACD+BDC+ABD=360，BAC=60，BDC=120，ABD+ACD=180，A，B，D，C四点共圆，ACB=ADE，ABD+ABE=180，ABE=ACD，AB=AC，ABC是等边三角形，ACB=60，ADE=60，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），AE=AD，ADE是等边三角形，AD=DE，DE=BD+BE，AD=BD+CD【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是根据题意作出辅助线7如图ABC，D是ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD【分析】由三角形的中位线得，MSAE，MS=AE，HSCF，HS=CF，由已知得HS=SM，从而得出SHM=SMH，则得出TGH=THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD【解答】证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，GHM分别为BD，AC，EF的中点，MSAE，MS=AE，HSCF，HS=CF，GTCD，HTAB，GT=CD，HT=AB，GTHS，HTSM，SHM=TGH，SMH=THG，TGH=THG，GT=TH，AB=CD【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质8如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由【分析】延长CE、BA交于P，易证CDEBCF，可得CFB=DEC，即可求得CEBF，进而可以求证PAEPBC，可得PA=AB，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半性质即可解题【解答】解：延长CE、BA交于P，在CDE和BCF中，CDEBCF；（SAS）CFB=DEC，FCG+DEC=90，FCG+CFB=90，CEBF，PAEPBC，=，A是PB的中点，即AB=PB，RTBPG中，AG=PBAG=AB【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证CDEBCF是解题的关键9如图，设点M是等腰RtABC的直角边AC的中点，ADBM于E，AD交BC于D求证：AMB=CMD（请用两种不同的方法证明）【分析】法（1）先延长AD至F，使得CFAC，得出ABM=DAC，再根据AB=AC，CFAC，得出ABMCAF，从而证出BMA=F，AM=CF，再根据所给的条件得出FCDMCD，即可得出AMB=F=CMD；法（2）先作BAC的平分线交BM于N，得出ABN=CAE，再根据BAN=C=45，AB=AC，证出BANACD，得出AN=CD，证出NAMDCM，即可得出AMB=CMD【解答】证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CFAC，ABAC，ADBM，ABM=DAC，又AB=AC，CFAC，ABMCAF，BMA=F，AM=CF，BCA=BCF=45，AM=CM=CF，DC=DC，FCDMCD，AMB=F=CMD；法（2）AD交BM于E，作BAC的平分线交BM于N，AEBM，BAAC，ABN=CAE，BAN=C=45，AB=AC，BANACDAN=CD，NAM=C=45，AM=MC NAMDCM，AMB=CMD【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可10如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G试猜想AHF与BGF的关系，并给出证明提示：若猜想不出AHF与BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将ABC旋转180，得到ABP【分析】方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EMAD，2EM=AD，同理FMBC，2FM=BC，再根据两直线平行，内错角相等可得AHF=MEF，两直线平行，内错角相等可得BGF=MFE，从而得证；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将ABC旋转180，得到ABP，根据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得APBC是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AP=BC=AD，连结AP，根据等边对等角可得APD=ADP，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFDP根据两直线平行，同位角相等可得AHF=ADP，根据两边互相平行的两个角相等或互补可得BGF=APD，然后等量代换即可得证【解答】答：AHF=BGF证明：方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，EM是ACD的中位线，EMAD，2EM=AD，同理FMBC，2FM=BC，EM=FM，MEF=MFE，AHF=MEF，BGF=MFE，AHF=BGF；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将ABC旋转180，得到ABP，F是AB的中点，APBC是平行四边形，AP=BC=AD，连结AP，则APD=ADP，EF是CDP的中位线，EFDP，AHF=ADP，GFDP，GBAP，BGF=APD，AHF=BGF【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线11如图，D为ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N（1）求证：PN=QN；（2）求证：MNBC【分析】（1）要证明PN=QN，只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以了，连接DN，利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了（2）BPM和CQM是直角三角形，由条件知道MB=CM，取BM、CM的中点S、T，连接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的关系证明SPN=TQN，再证明SPNTQN，从而得到NS=NT，利用等腰三角形的三线合一的性质证明MNBC【解答】证明：（1）方法一：连接DND为ABC中线AM的中点AD=MD，MB=CMMPAB，MQACAPM=AQM=90APM、AMQ是直角三角形PD=AM，QD=AMPD=QDRtDPNRtDQN（HL）NP=PQ；方法二：MPAB，MQACAPM=AQM=90，所以APM+AQM=180，所以四边形APMQ为圆内接四边形D为AM的中点，PD，DQ为以D为圆心的四边形APMQ内接圆的半径PNPD，QNQD，PN，NQ为圆的两条切线，PN=NQ（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TNSP=BM=MC=TQSPN=90BPSNPM=90BDPA=90BBAM=90AMC=90DMQQMT=90DQMMQT=TQNSPNTQNSN=TNSM=TMNMBC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质12在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：DEMDFN；PAE=PBF【分析】要证DEMDFN，由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，所以DM=BP，DN=AP，再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，所以EM=AP=DN，FN=BP=DM又DE=DF所以DEMDFN由得EMD=FND，由AMD=BND=APB所以AME=BNF，那么PAE=（180AME），PBF=（180BNF），即PAE=PBF【解答】证明：如图，在ABP中，D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，DM=BP，DN=AP，又PEAE，BFPFEM=AP=DN，FN=BP=DM，DE=DFDEMDFN（SSS）；由结论DEMDFN可知EMD=FND，DMBP，DNAP，AMD=BND=APB，AME=BNF又PEAE，BFPF，AEP和BFP都为直角三角形，又M，N分别为斜边PA与PB的中点，AM=EM=AP，BN=NF=BP，MAE=MEA，NBF=NFB，PAE=（180AME），PBF=（180BNF）即PAE=PBF，【点评】此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们应该熟练掌握13如图：已知ABDC，BAD和ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明【分析】在AD上截取AF=AB，连接EF，根据SAS证BAEFAE，推出B=EFA，求出C=EFD，证CDEFDE，推出DC=DF，即可得出答案【解答】答：AD=AB+DC，证明：在AD上截取AF=AB，连接EF，AE平分BAF，BAE=FAE，在BAE和FAE中BAEFAE（SAS），B=EFA，ABDC，B+C=180，EFD+EFA=180，C=EFD，DE平分CDA，CDE=FDE，在CDE和FDE中CDEFDE（AAS），DC=DF，AD=AF+DF=AB+DC【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，关键是能正确作辅助线14如图，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，DGH是等边三角形求证：EG=FH【分析】连接DE、DF，根据三角形中位线定理及等边三角形的性质，可证明DEGDFH，即可得结论【解答】证明：连接DE、DF，（如图）D、E、F是各边中点，DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，AB=BC=CA，A=B=C=60，DE=DF，EDF=DFA=C=60已知等边DHG，DG=DH，HDG=60=EDF，EDFFDG=HDGFDG，即1=2，DEGDFH（SAS），FH=EG【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，涉及到三角形中位线定理、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键15已知如图，CD是RTABC斜边上的高，A的平分线交CD于H，交BCD的平分线于G，求证：HFBC【分析】根据角平分线性质作辅助线连接FE，进而证得HCEF是菱形从而证得【解答】证明：连接FE，CD是RtABC斜边上的高，A=DCB，又AE平分A，CF平分BCD，DCF=DAE，又AHD=CHE，ADH=90度，CGE=90度，在三角形ACF中，AE是高，中线，角平分线，CFHE，CG=FG，CH=FH，CE=EF，CF是CHE的高，中线，角平分线，CH=CE，CH=HF=EF=CE，四边形HCEF是菱形，HFBC【点评】本题考查了角平分线性质以及其应用，问题有一定难度16已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA（1）若MFC=120，求证：AM=2MB；（2）试猜想MPB与FCM数量关系并证明【分析】（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MD=MC，然后利用“边边边”证M明MFC与MAD全等，根据全等三角形对应角相等可得MAD=MFC，根据两直线平行，同旁内角互补求出BAD，然后求出BAM=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半证明；（2）根据全等三角形对应角相等和轴对称的性质可得BMP=FMD=DMA，然后用BMP表示出FCM，再根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解【解答】（1）证明：连接MD，点E是CD的中点，MED，MD=MC，在MFC与MAD中，MFCMAD（SSS），MAD=MFC=120，ADBC，ABC=90，BAD=180ABC=18090=90，BAM=MADBAD=12090=30，ABM=90，AM=2MB；（2）解：2MPB+FCM=180理由如下：由（1）可知BMP=FMD=DMA，FCM=ADM=DMC=2BMP，BMP=FCM，ABC=90，MPB+BMP=90，MPB+FCM=90，2MPB+FCM=180【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键17如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=C【分析】作OBF=OAE交AD于F，由已知条件用“ASA”可判定AOEBOF，所以AE=BF，再有条件AE=BD得BF=BD，所以BDF=BFD，再利用三角形的外角关系证得BOF=C，又因为BOF=BAD+ABE=2BAD，所以：BAD=C【解答】证明：作OBF=OAE交AD于F，BAD=ABE，OA=OB又AOE=BOF，AOEBOF（ASA）AE=BFAE=BD，BF=BDBDF=BFDBDF=C+OAE，BFD=BOF+OBF，BOF=CBOF=BAD+ABE=2BAD，BAD=C，【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA常用到的性质是：对应角相等，对应边相等在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的对顶角AOE=BOF18已知A，C，B在同一条直线上，ACE，BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MGCN，垂足为G求证：CG=NG【分析】先证ACF与ECB全等，得到AFC=ABE，再证FMCBNC得到MC=MN，有条件MG垂直于NC而得到结论【解答】证明：ACE，BCF都是等边三角形，AC=EC，FC=BC，ACE=BCF=60，ECN=60，BCE=ACF，ACFECB，AFC=ABE，FCM=BCN=60，CF=CB，FMCBNC，CM=CN，ECN=60，CNMN是等边三角形，CM=MN，MGNC，GC=GN【点评】本题考查了等边三角形的性质，通过两次全等得到MC=MN，通过MG垂直于NC得到结论19如图所示，在ABC中，ABC=2C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之【分析】根据等边对等角可得E=BDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出ABC=2BDE，从而求出C=BDE，再求出C=CDF，然后根据等角对等边求出DF=FC，再根据等角的余角相等求出CAD=ADF，根据等角对等边求出DF=AF，即可得到AF=FC【解答】解：AF=FC理由如下：BE=BD，E=BDE，ABC=E+BDE=2BDE，ABC=2C，C=BDE，又BDE=CDF，C=CDF，DF=FC，AD为BC边上的高，CDF+ADF=ADC=90，C+CAD=18090=90，CAD=ADF，DF=AF，AF=FC【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记性质与判定并准确识图是解题的关键20如图，ABC是边长为l的等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：AMN的周长等于2【分析】可在AC延长线上截取CM1=BM，得RtBDMRtCDM1，得出边角关系，再求解MDNM1DN，得MN=NM1，再通过线段之间的转化即可得出结论【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC=ACB=60，DBC=DCB=30，ABD=ACD=90，DCM1=90，BD=CD，在BDM和CDM1中，BDMCDM1（SAS），得MD=M1D，MDB=M1DC，MDM1=120MDB+M1DC=120，NDM1=60，在MDN和M1DN中，MDNM1DN（SAS），MN=NM1，故AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论21已知如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且AE=（AB+AD），求证：B与D互补【分析】可在AB上截取AF=AD，可得ACFACD，得出AFC=D，再由线段之间的关系AE=（AB+AD）得出BC=CF，进而通过角之间的转化即可得出结论【解答】证明：在AB上截取AF=AD，连接CF，AC平分BAD，BAC=CAD，又AC=AC，ACFACD（SAS），AF=AD，AFC=D，AE=（AB+AD），EF=BE，又CEAB，BC=FC，CFB=B，B+D=CFB+AFC=180，即B与D互补【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题22如图，已知ABC中，A=90，AB=AC，1=2，CEBD于E求证：BD=2CE【分析】延长CE、BA交于F，根据角边角定理，证明BEFBEC，进而得到CF=2CE的关系再证明ACF=1，根据角边角定理证明ACFABD，得到BD=CF，至此问题得解【解答】证明：如图，延长CE、BA交于FCEBD，BEF=BEC=90，1=2，在BEF和BEC中，BEFBEC（ASA），EF=EC，CF=2CE，BAC=90，FAC=90=BACCEBD，ACF=1，在ACF和ABD中，ACFABD（ASA），BD=CF，BD=2CE【点评】本题考查全等三角形的判定与性质解决本题主要是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决23AD是ABC的角平分线，M是BC的中点，FMAD交AB的延长线于F，交AC于E（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC【解答】（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，G=CAD、GBA=BADAD平分BAC，BAD=CAD，AG=AB，FMADF=BAD、FEA=DACBAD=DAC，F=FEA，EA=FA，GE=BF，M为BC边的中点，BM=CM，EMGB，CE=GE，CE=BF；（2）AB+AC=2EC证明：EA=FA、CE=BF，AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是正确地构造辅助线，另外题目中还考查了平行线等分线段定理24如图，AD是ABC的中线，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90判断线段AD与EF数量和位置关系【分析】猜想：EF=2AD，EFAD证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明ABDMCD，可得AB=MC，BAD=M，即可求得EAF=MCA，即可证明AEFCMA，可得EF=AM，CAM=F，即可解题【解答】解：EF=2AD，EFAD证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，AD=DM，AM=2AD，AD是ABC的中线，BD=CD，在ABD和MCD中，ABDMCD，（SAS）AB=MC，BAD=M，AB=AE，AE=MC，AEAB，AFAC，EAB=FAC=90，FAC+BAC+EAB+EAF=360，BAC+EAF=180，CAD+M+MCA=180，CAD+BAD+MCA=180，即BAC+MCA=180，EAF=MCA在AEF和CMA中，AEFCMA，EF=AM，CAM=F，EF=2AD；CAF=90，CAM+FAN=90，CAM=F，F+FAN=90，ANF=90，EFAD【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABDMCD和AEFCMA是解题的关键25如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长【分析】作辅助线构建直角三角形，求证CFDCEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根据DF求CF，根据CF、AF求AC【解答】解：过C作CEAB，CFAD，CEA=90，CFD=90，AC平分BAD，CF=CE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），又BC=DC，CFDCEB（HL），DF=EB，同理可得ACFACE，AF=AE，AD+DF=ABBE，即9+DF=21BE，解得DF=BE=6，由勾股定理得，AC=17答：AC长为17【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中构建直角CFD是解题的关键26如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足ACB=ADB=60，ABD=90DBC求证：AC=AD【分析】以AB为轴作ABC的对称ABC，则AC=AC，C=C=60，ABC=ABC，再证明D、B、C共线，根据ADC是等边三角形，即可证明；【解答】证明：以AB为轴作ABC的对称ABC，如图：则AC=AC，C=C=60，ABC=ABC，因为ABD=90DBC所以2ABD+DBC=180所以ABD+DBC+ABD=180即ABC+ABD=180所以ABC+ABD=180所以D、B、C共线又因为D=60所以DAC=180CD=60=D=C所以ADC是等边三角形，所以AD=AC=AC【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是以AB为轴作ABC的对称ABC27如图，正方形ABDE和ACFG是以ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论【分析】取AB和AC的中点分别为H和K，连接PH、PM、HM、QK、KM、QM，由正方形的性质可知三角形APB与三角形ACQ都为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PH等于AB的一半，QK等于AC的一半，然后由MH和MK都为三角形ABC的中位线，根据中位线定理得到HM等于AC的一半，MK等于AB的一半，等量代换得到PH=MK，HM=QK，然后由中位线定理得到MH与AC平行，MK与AB平行，根据两直线平行同位角相等，再等量代换得到BHM=CKM，两边都加上直角，得到PHM=MKQ，利用SAS即可得到三角形PMH与三角形KQM全等，根据全等三角形的对应边相等得到PM=QM；由全等得到MPH=QMK，再由MK与AB平行，得到同位角相等，由PH与AB垂直得到一对锐角互余，等量代换得到PMK与KMQ互余，即PMQ为直角，从而得到PM与QM垂直【解答】解：MP、MQ之间的关系是MP=MQ，MPMQ，证明：取AB得中点H，AC的中点K，连接PH，HM，PM，QK，KM，MQ，P和Q分别为两正方形的中心，APB与AQC都为等腰直角三角形，QK=AC，PH=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又HM与KM都为ABC的中位线，HM=AC，MK=AB，QK=HM，MK=PH，HMAC，MKAB，BHM=BAC，CKM=BAC，BHM=CKM，又PHAB，QKAC（等腰三角形的三线合一），PHB=QKC=90，BHM+PHB=CKM+QKC，即MHP=QKM，MHPQKM（SAS），PM=QM；设PM与AB交于点O，MHPQKM，HPM=KMQ，KMAB，AOP=PMO，PHB=90，HPO+POH=90，PMK+KMQ=90，即PMQ=90，PMQM【点评】本