概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

概率论与数理统计习题及答案 第一章 1 略 见教材习题参考答案 2 设 A B C 为三个事件 试用 A B C 的运算关系式表示下列事件 1 A 发生 B C 都不发生 2 A B C 都发生 3 A B C 至少有一个发生 4 A B C 都不发生 5 A B C 不都发生 6 A B C 至多有 1 个不发生 解 1 2 ABC 3 4 5 ABC 6 3 略 见教材习题参考答案 4 设 A B 为随机事件 且 P A 0 7 P A B 0 3 求 P AB 解 P 1 P AB 1 P A P A B 1 0 7 0 3 0 6 5 设 A B 是两事件 且 P A 0 6 P B 0 7 求 1 在什么条件下 P AB 取到最大值 2 在什么条件下 P AB 取到最小值 解 1 当 AB A 时 取到最大值为 0 6 0 6 AB 2 当 A B 时 取到最小值为 0 3 0 3P P 6 设 A B C 为三事件 且 P A P B 1 4 P C 1 3 且 P AB P BC 0 P AC 1 12 求 A B C 至少有一事件发生的概率 解 因为 P AB P BC 0 所以 P ABC 0 由加法公式可得 ABABCPA 14324 7 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张 问有 5 张黑桃 3 张红心 3 张方块 2 张梅花的概 率是多少 解 设 表示 取出的 13 张牌中有 5 张黑桃 3 张红心 3 张方块 2 张梅花 A 则样本空间 中样本点总数为 中所含样本点 所求概率为 12nC A53211kC 5323115 P 8 对一个五人学习小组考虑生日问题 1 求五个人的生日都在星期日的概率 2 求五个人的生日都不在星期日的概 率 3 求五个人的生日不都在星期日的概率 解 1 设 A1 五个人的生日都在星期日 基本事件总数为 75 有利事件仅 1 个 故 P A 1 5 亦可用独立性求解 下同 57 2 设 A2 五个人生日都不在星期日 有利事件数为 65 故 P A 2 56 3 设 A3 五个人的生日不都在星期日 P A 3 1 P A1 1 57 9 略 见教材习题参考答案 10 一批产品共 N 件 其中 M 件正品 从中随机地取出 n 件 n0 试证明 不论 0 如何小 只要不断地 独立地重复做此试验 则 A 迟早会出现的概率为 1 证 在 n 重独立试验中 事件 都不发生概率为 1np 由于 为随机事件 发生的概率 而题目给定 0 因此其定义域为 0 1 D 假设 n 足够大 即 在 上 由极限定义可得n lim li nnnp 即假设 n 足够大 n 次独立试验中 都不发生的概率为 时 A 0p 因而在 n 足够大时 至少发生一次的概率为 证毕 li 1n 46 袋中装有 m 只正品硬币 n 只次品硬币 次品硬币的两面均印有国徽 在袋中任取一只 将它投掷 r 次 已知每次都得到国徽 试问这只硬币是正品的概率是多少 解 设 A 投掷硬币 r 次都得到国徽 B 这只硬币为正品 由题知 mnPB 1 12rAPB 则由贝叶斯公式知 APB 122rrrmnn A 47 求 n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率 解 设在一次试验中 A 出现的概率为 p 则由 0120 CC1nnnnnqpqqpq Cnnnn 得所求概率为 13nnpqp 21n 若要计算在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率 则只要将两式相加 即得 2 npp 48 某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为 求此人第 4 次 01 p 射击恰好第 2 次命中目标的概率 解 根据独立重复的伯努利试验 前 3 次射击中 1 次成功 2 次失败其概率为 再加上第 4 次射击命中目标 其概率为 根据独立性 所求概率为13 Cp 2 1 p 49 设 是随机事件 互不相容 求 ABAC与 PAB 1 3C PABC 解 因为 互不相容 所以 当然 于是与 3 14PABC 50 设 A B 是任意两个随机事件 求 P B A B A 的值 B 解 因为 A B A B B A AB 所求 AB B 故所求值为 0 51 设两两相互独立的三事件 A B 和 C 满足条件 ABC P A P B P C 1 2 且 P A B C 9 16 求 P A 解 由 CBC 293 16 故 或 按题设 P A 故 P A 1 4PA4 52 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等 求 P A 解 1 1 9 故 PABPAB 故 由 A B 的独立性 及 式有 1 9 22 PA 1 故 13 故 或 舍去 2 PA4 即 P A 23 53 随机地向半圆 0 y0 P A B 1 试比较 P A B 与 P A 的大小 2006 研考 解 因为 所以 PABPBA 57 设随机事件 相互独立 且 求 0 5 0 3 P 解 因为 相互独立 所以 相互独立 ABAB与 与 而 所以 3 PP 6 因此 051 02