导数练习题及答案

章末检测一、选择题1已知曲线yx22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )A(1,3)B(1，3)C(2，3) D(2,3)答案B解析f(x)2x20，x1.f(1)(1)22(1)23.M(1，3)2函数yx42x25的单调减区间为()A(，1)及(0,1)B(1,0)及(1，)C(1,1)D(，1)及(1，)答案A解析y4x34x4x(x21)，令y0得x的范围为(，1)(0,1)，故选A.3函数f(x)x3ax23x9，在x3时取得极值，则a等于()A2 B3C4 D5答案D解析f(x)3x22ax3.由f(x)在x3时取得极值，即f(3)0，即276a30，a5.4函数yln的大致图象为()答案D解析函数的图象关于x1对称，排除A、C，当x1时，yln(x1)为减函数，故选D.5二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点所在象限是()A第一 B第二C第三 D第四答案C 解析yf(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数yf(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限6已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，) B，C(，) D(，)答案B解析f(x)3x22ax10在(，)恒成立，4a2120a.7设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 Bln 2C. De答案D解析f(x)x(ln x)(x)ln x1ln x.f(x0)1ln x02，ln x01，x0e.8设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间(，1)(1，e)内均有零点 B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f(x)，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1ln 30；又f(1)0，f(e)10，f()10.9设函数f(x)x3x2tan ，其中0，则导数f(1)的取值范围是()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f(x)x2sin xcos ，f(1)sin cos 2(sin cos )2sin()0，sin()1.2sin()2.10方程2x36x270在(0,2)内根的个数有()A0 B1C2 D3答案B解析令f(x)2x36x27，f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0得x2或x0；由f(x)0得0x2；又f(0)70，f(2)10，方程在(0,2)内只有一实根二、填空题11若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案1解析求导得yk，依题意k10，所以k1.12已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案a3解析由题意应有f(x)3x2a0，在区间(1,1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒成立，故a3.13在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_答案(2,15)解析y3x2102x2，又点P在第二象限内，x2，得点P的坐标为(2,15)14函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，那么a，b的值分别为_答案4，11解析f(x)3x22axb，f(1)2ab30，f(1)a2ab110，或，当a3时，x1不是极值点，a，b的值分别为4，11.三、解答题15设a1，函数f(x)x3ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解令f(x)3x23ax0，得x10，x2a.f(0)b，f(a)b，f(1)1ab，f(1)1ab因为a1，所以1a0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大17统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时，要耗油(403408)2.517.5(升)(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)(x3x8).x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升18已知函数f(x)x3aln x(aR，a0)(1)当a3时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若对任意的x1，)，都有f(x)0成立，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)x33ln x，f(1)0，f(x)x2，f(1)2，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程2xy20.(2)f(x)x2(x0)当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0，)当a0时，令f(x)0，解得x或x(舍).x(0，)(，)f(x)0f(x)减极小值增函数f(x)的递增区间为(，)，递减区间为(0，)(3)对任意的x1，)，使f(x)0成立，只需对任意的x1，)，f(x)min0.当a0时，f(x)在1，)上是增函数，只需f(1)0，而f(1)aln 10，a0满足题意，当0a1时，01，f(x)在1，)上是增函数，只需f(1)0而f(1)aln 10，0a1满足题意；当a1时，1，f(x)在1，上是减函数，)上是增函数，只需f()0即可，而f()f(1)0，a1不满足题意；综上，a(，0)(0,1