数学思想方法之分类与整合学案.doc

数学思想方法之分类与整合学案2007年12月12日星期三 引言：分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法。要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干个类别。科学的分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏。划分只是手段，分类研究才是目的。因此，还需要在分好的类别下对分事物进行研究，在这其中体现的是由大化小，由整体化部分，由一般化特殊的解决问题的方法。它的研究基本方向是“分”，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”，当分类解决完这个问题之后，还必须把它们总合到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体。这样，有“分”有“合”，先“分”后“合”，不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性。高考将对分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答题为主进行考查。考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究，最后如何整合。考查中经常对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，由此重点考查考生思维的严谨性与周密性。课题分类与整合的思想关键词分类标准讨论整合一、 从庖丁解牛（目无全牛）谈起 有一个名叫庖丁的厨师替梁惠王宰牛，手所接触的地方，肩所靠着的地方，脚所踩着的地方，膝所顶着的地方，都发出皮骨相离声，刀子刺进去时响声更大，这些声音没有不合乎音律的。它竟然同桑林、经首两首乐曲伴奏的舞蹈节奏合拍。 梁惠王说：“嘻！好啊！你的技术怎么会高明到这种程度呢？” 庖丁放下刀子回答说：“臣下所探究的是事物的规律，这已经超过了对于宰牛技术的追求。当初我刚开始宰牛的时候，（对于牛体的结构还不了解），看见的只是整头的牛。三年之后，（见到的是牛的内部肌理筋骨），再也看不见整头的牛了。现在宰牛的时候，臣下只是用精神去接触牛的身体就可以了，而不必用眼睛去看，就象感觉器官停止活动了而全凭精神意愿在活动。顺着牛体的肌理结构，劈开筋骨间大的空隙，沿着骨节间的空穴使刀，都是依顺着牛体本来的结构。宰牛的刀从来没有碰过经络相连的地方、紧附在骨头上的肌肉和肌肉聚结的地方，更何况股部的大骨呢？技术高明的厨工每年换一把刀，是因为他们用刀子去割肉。技术一般的厨工每月换一把刀，是因为他们用刀子去砍骨头。现在臣下的这把刀已用了十九年了，宰牛数千头，而刀口却象刚从磨刀石上磨出来的一样。牛身上的骨节是有空隙的，可是刀刃却并不厚，用这样薄的刀刃刺入有空隙的骨节，那么在运转刀刃时一定宽绰而 有余地了，因此用了十九年而刀刃仍象刚从磨刀石上磨出来一样。虽然如此，可是每 当碰上筋骨交错的地方，我一见那里难以下刀，就十分警惧而小心翼翼，目光集中，动作放慢。刀子轻轻地动一下，哗啦一声骨肉就已经分离，象一堆泥土散落在地上了。我提起刀站着，为这一成功而得意地四下环顾，一副悠然自得、心满意足的样子。拭好了刀把它收藏起来。” 梁惠王说：“好啊！我听了庖丁的话，学到了养生之道啊。”“目无全牛”这个故事告诉我们：当我们掌握事物的规律后，办起事来就会得心应手，运用自如。对于数学的学习，“目无全牛”这则寓言揭示了：当我们对一个问题的整体无法下手时，可以通过研究问题的组成结构，“化整为零、个个突破”，逐步地去解决问题。它体现了一种重要的数学思想方法：分类与整合的思想。在数学学习中，引起分类讨论原因，通常有以下几种：1. 涉及的数学概念是分类定义的（如绝对值的概念，P点分线段的比等）；2. 公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;对数函数的单调性就分为，两种情况; 直线方程分为斜率存在与不存在等等；3. 几何图形中点、线、面的相对位置不确定；例如两点在同一平面的同侧,异侧。4. 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；5. 数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果分类讨论与整合的一般步骤是：1. 确定讨论对象和确定研究的全域；2. 进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果分类时，应不重复，不遗漏；3. 逐类讨论；4. 归纳小结，整合得出结论二、分类与整合的思想应用举例1 由概念的定义引起的分类讨论【例1】 (06辽宁)已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D) 【解析】即等价于，故选择答案C。【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。【例2】(05浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围【解】（I）解答略g(x).(II)由可得：，此时解此不等式就需要根据绝对值的意义来分类讨论去掉绝对值符号。当1时，此时不等式无解。当时，因此，原不等式的解集为-1, . (III) 因为二次项系数带有参数，故需对的取值进行讨论。 当时，在-1,1上是增函数，当时，对称轴的方程为(i) 当时，解得。(ii)当时，1时，解得综上,【点评】解绝对值不等式最常用的方法就是利用“零点分区间法”划分分类讨论的层次，去掉绝对值，把它转化为不含绝对值的不等式。2 由公式、定理的应用条件引起的分类讨论【例3】（06天津）. 如果函数（且）在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解】令，则是与的复合函数，即. 函数的对称轴为.现分和两种情况讨论：（1）若，则在区间上是增函数，要使在区间上是增函数，必须使也是增函数，所以.即对于一切都成立.于是，即，解得，与矛盾.（2）若，则在区间上是减函数，要使在区间上是增函数，必须使是减函数，所以. 即对于一切都成立.于是，即，解得,所以【例4】（06安徽）在等差数列中，前项和满足条件。（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。【解】（）（解答略） （）由，得。所以，此时需要根据P的取值进行分类。当时，；当时，即【评析】考查数列基本知识，考查分析问题能力和推理能力，重点考查了分类讨论的思想。3. 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论【例5】（06年广东）在约束条件下，当时，的最大值的变化范围是( )A. B. C. D. 解：由交点为，(1)当时可行域是四边形OABC，此时，(2)当时可行域是OA此时，. 故选D.【例6】(05全国卷)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A3个 B4个 C6个 D7个4. 由求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性引起的分类讨论【例7】（全国）5名志愿者分到所学校支教，要求每所学校至少有名志愿者，则不同的分法共有（）150种（）180种（）200种（）280种【解】3所学校志愿者的人数可能分别为3,1,1,或者2,2,1,因此不同的分法共有（种），故选（）。本题也可以先分组，再排列，列式如下：（种），故选（）。【评析】本题考查排列和组合的基本概念及运算，考查分类与整合的思想方法。【例8】（07山东）（文（12）设集合，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则n的所有可能值为（A）3 （B）4 （C）2和5 （D）3和4【解】 由于；故答案为（D）【评析】本小题主要考查古典概型和分类与整合的数学思想方法5. 由参数的取值引起的分类讨论【例9】(07上海)已知函数，常数 （1）当时，解不等式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由【解】（1）， ， 原不等式的解为 （2）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 【例10】（07安徽）设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力和分类与整合的数学思想 （I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为三、分类与整合的思想练习题1（2006辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_48_种.(以数作答)2（07安徽）在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为3（2006年湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 34（07全国）设，集合，则（ ）ABCD（提示：分和两种情况讨论）5.（06天津）已知函数，其中，为参数，且。（1）当时，判断函数是否有极值；（答案：无极值）（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；答案：（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（）内都是增函数，求实数的取值范围。（答案：）6（07浙江）（本题15分）已知（I）若，求方程的解；（答案：或）（II）若关于的方程在上有两个解，求的取值范围，并证明7（07江西）（本小题满分12分）已知函数满足（1）求常数的值；（答案：）（2）解不等式（答案：）8.（06天津） 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记。若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. （提示：分和两种情况讨论）9（07广东）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围（答案：或）10（07福建）设函数（）求的最小值；（答案：）（）若对恒成立，求实数的取值范围（答案：）