初一刷题资料

1 如图 1 在 ABC 中 B 90 分别作其内角 ACB 与外角 DAC 的平分线 且两条角平分线所在的直线交于点 E 1 E 2 分别作 EAB 与 ECB 的平分线 且两条角平分线交于点 F 依题意在图 1 中补全图形 求 AFC 的度数 3 在 2 的条件下 射线 FM 在 AFC 的内部且 AFM AFC 设 EC 与 AB 的交点为 H 射线 HN 在 AHC 的内部且 AHN AHC 射线 HN 与 FM 交 于点 P 若 FAH FPH 和 FCH 满足的数量关系为 FCH m FAH n FPH 请直接写出 m n 的值 2 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O 点 A 在射线 OP 上运动 点 B 在射线 OM 上运动 1 如图 1 已知 AE BE 分别是 BAO 和 ABO 角的平分线 点 A B 在运动 的过程中 AEB 的大小是否会发生变化 若发生变化 请说明理由 若不发 生变化 试求出其值 2 如图 2 延长 BA 至 G 已知 BAO OAG 的角平分线与 BOQ 的角平 分线及其延长线相交于 E F 则 EAF 在 AEF 中 如果有一个角 是另一个角的 3 倍 试求 ABO 的度数 3 已知 在 ABC 中 A C 点 F 和 E 分别为射线 CA 和射线 BC 上一点 连接 BF 和 FE 且 BFE FEB 1 如图 1 当点 F 在线段 AC 上时 若 FBE 2 ABF 则 EFC 与 FBE 的数 量关系为 2 如图 2 当点 F 在 CA 延长线上时 探究 EFC 与 FBA 的数量关系 并说 明理由 3 如图 3 在 2 的条件下 过 C 作 CH AB 于点 H CN 平分 BCH CN 交 AB 于 N 由 N 作 NM NC 交 CF 于 M 若 BFE 5 FBA MN FB 时 求 ABC 的度数 4 1 问题引入 如图 在 ABC 中 点 O 是 ABC 和 ACB 平分线的交点 若 A 则 BOC 用 表示 2 拓展研究 如图 CBO ABC BCO ACB A 试求 BOC 的度数 用 表示 3 归纳猜想 若 BO CO 分别是 ABC 的 ABC ACB 的 n 等分线 它们交于点 O CBO ABC BCO ACB A 则 BOC 用 表示 类比探索 1 特例思考 如图 CBO DBC BCO ECB A 求 BOC 的度数 用 表 示 2 一般猜想 若 BO CO 分别是 ABC 的外角 DBC ECB 的 n 等分线 它们交于点 O CBO DBC BCO ECB A 请猜想 BOC 用 表 示 5 1 如图 把 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCED 内部点 A 的位置 试写出 A 与 1 2 之间的关系 并说明理由 2 如果把 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCED 外部点 A 的位置 如图 所示 此时 A 与 1 2 之间存在什么样的关系 直接写出 3 如果把四边形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 A D 分别落在四边形 BCFE 内部点 A D 的位置 如图 所示 直接写出 A D 1 与 2 之间的关系 6 已知 BM CN 分别是 A 1BC 的两个外角的角平分线 BA 2 CA 2 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的角平分线 如图 BA 3 CA 3 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的三 等分线 即 A 3BC A 1BC A 3CB A 1CB 如图 依此画图 BAn CA n 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的 n 等分线 即 A nBC A 1BC A nCB A 1CB n 2 且 n 为整数 1 若 A 1 70 求 A 2 的度数 2 设 A 1 请用 和 n 的代数式表示 A n 的大小 并写出表示的过程 3 当 n 3 时 请直接写出 MBA n NCA n 与 A n 的数量关系 7 如图 在 ABC 中 AD BC 垂足为 D AE 平分 BAC 且 ABC C 求证 DAE ABC C 8 如图 在 ABC 中 AD BD 分别平分 CAB 和 CBA 相交于点 D 1 如图 1 过点 D 作 DE AC DF BC 分别交 AB 于点 E F 若 EDF 80 则 C 若 EDF x 证明 ADB 90 2 如图 2 若 DE BE 分别平分 ADB 和 ABD 且 EF BF 分别平分 BED 和 EBD 若 BFE 的度数是整数 求 BFE 至少是多少度 9 已知如图 BP CP 分别是 ABC 的外角 CBD BCE 的角平分线 BQ CQ 分别是 PBC PCB 的角平分线 BM CN 分别是 PBD PCE 的角 平分线 BAC 1 当 40 时 BPC BQC 2 当 时 BM CN 3 如图 当 120 时 BM CN 所在直线交于点 O 求 BOC 的度数 4 在 60 的条件下 直接写出 BPC BQC BOC 三角之间的数量关 系 10 Rt ABC 中 C 90 点 D E 分别是 ABC 边 AC BC 上的点 点 P 是一 动点 令 PDA 1 PEB 2 DPE 1 若点 P 在线段 AB 上 如图 1 所示 且 50 则 1 2 2 若点 P 在边 AB 上运动 如图 2 所示 则 1 2 之间有何关系 3 若点 P 在 Rt ABC 斜边 BA 的延长线上运动 CE CD 则 1 2 之间有何关系 猜想并说明理由 11 1 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E AB CD ADC 40 ABC 30 求 AEC 的大小 2 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E ADC m ABC n 求 AEC 的大小 3 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E 则 AEC 与 ADC ABC 之间是否仍存在某种等量关系 若存在 请写出你得结论 并 给出证明 若不存在 请说明理由 12 1 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 分别为 x 轴正半轴和 y 轴 正半轴上的两个定点 点 C 为 x 轴上的一个动点 与点 O A 不重合 分别作 OBC 和 ACB 的角平分线 两角平分线所在直线交于点 E 直接问答 BEC 的 度数及点 C 所在的相应位置 2 如图 2 在平面直角坐标系 xOy 中 FGH 的一个顶点 F 在 y 轴的负半轴 上 射线 FO 平分 GFH 过点 H 的直线 MN 交 x 轴于点 M 满足 MHF GHN 过点 H 作 HP MN 交 x 轴于点 P 请探究 MPH 与 G 的数量 关系 并写出简要证明思路 13 在 ABC 中 点 D 为 ABC 的三条内角平分线的交点 BE AD 于点 E 1 当 BAC 80 ACB 60 时 BDC DBE 2 当 BAC ACB 时 用含有 的代数式表示 BDC 的度数 用含有 的代数式表示 DBE 的度数 3 如图 2 若 AD 平分 BAC CD 和 BD 分别平分 ABC 的外角 CBM 和 BCN BE AD 于点 E 2 中的两个结论是否发生变化 14 如图 AD 平分 BAC AE BC B 40 C 60 1 求 DAE 的度数 2 如图 若把 AE BC 变成 点 F 在 DA 的延长线上 FE BC 其他条件 不变 求 DFE 的度数 3 如图 若把 AE BC 变成 AE 平分 BEC 其他条件不变 DAE 的大 小是否变化 并请说明理由 15 如图 AF 平分 BAC DF 平分 BDC 求证 AFD H BGC 16 如图 已知 CD 是 ABC 的角平分线 E 是 BC 上的点 B 60 ACE CAE 20 求 CDE 的度数 17 如图 ABC 中 BD 平分 ABC 交 AC 于 D CE 平分 ACB 交 AB 于 E CE 与 BD 交于 F 连接 AF 并延长交 BC 于 H 过 F 作 FG BC 于 G 1 若 ABC 45 ACB 65 求 HFG 的度数 2 根据 1 中的规律探索 ABC ACB 与 HFG 之间的关系 3 试探究 BFH 与 CFG 的大小关系 并说明理由 18 如图 1 在 ABC 中 A 60 CBM BCN 是 ABC 的外角 CBM BCN 的平分线 BD CD 交于点 D 1 求 BDC 的度数 2 在图 1 中 过点 D 作 DE BD 垂足为点 D 过点 B 作 BF DE 交 DC 的延 长线于点 F 如图 2 求证 BF 是 ABC 的平分线 19 老师给了小胖同学这样一个问题 如图 1 ABC 中 BE 是 ABC 的平分线 点 D 是 BC 延长线上一点 2 D ACB 若 BAC 60 求 BED 小胖通过探究发现 过点 C 作 CM AD 如图 2 交 BE 于点 M 将 BED 转 移至 BMC 处 结合题目已知条件进而得到 CM 为 ACB 的平分线 在 ABC 中求出 BMC 从而得出 BED 1 请按照小胖的分析 完成此题的解答 2 参考小胖同学思考问题的方法 解决下面问题 如图 3 在 ABC 中 点 D 是 AC 延长线上的一点 过点 D 作 DE BC DG 平分 ADE BG 平分 ABC DG 与 BG 交于点 G 若 A m 求 G 的度数 用含 m 的式子表示 20 ABC 的三条角平分线相交于点 I 过点 I 作 DI IC 交 AC 于点 D 1 如图 1 求证 AIB ADI 2 如图 2 延长 BI 交外角 ACE 的平分线于点 F 判断 DI 与 CF 的位置关系 并说明理由 若 BAC 70 求 F 的度数 21 如图 1 已知 ABC 射线 CM AB 点 D 是射线 CM 上的动点 连接 AD 1 如图 2 若 ACB ABC CAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E 若 BAC 40 AD BC 则 AEC 的度数为 在点 D 运动的过程中 探索 AEC 和 ADC 之间的数量关系 2 若 ACB n ABC CAD 内部的射线 AE 与 BC 的延长线交于点 E CAE n EAD 那么 AEC 和 ADC 之间的数量关系为 22 如图 在 ABC 中 点 D 为 ABC 的平分线 BD 上一点 连接 AD 过点 D 作 EF BC 交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 1 如图 1 若 AD BD 于点 D BEF 130 求 BAD 的度数 2 如图 2 若 ABC BDA 求 FAD C 的度数 用含 和 的代 数式表示 23 如图 直线 m 与直线 n 互相垂直 垂足为 O A B 两点同时从点 O 出发 点 A 沿直线 m 向左运动 点 B 沿直线 n 向上运动 1 若 BAO 和 ABO 的平分线相交于点 P 在点 A B 的运动过程中 APB 的大小是否会发生变化 若不发生变化 请求出其值 若发生变化 请说明理 由 2 若 ABO 的两个外角的平分线 AQ BQ 相交于点 Q AP 的延长线交 QB 的 延长线于点 C 在点 A B 的运动过程中 Q 和 C 的大小是否会发生变化 若不发生变化 请求出 Q 和 C 的度数 若发生变化 请说明理由 24 如图 1 在 ABC 中 ABC 的平分线与 ACB 的平分线交于点 D 我们可 以得到一个一般性的结论 BDC 90 A 请应用这一结论 解决下面的问 题 1 如图 2 过点 D 任意作直线 MN 分别交 AB 和 AC 于点 M 和 N 求 MDB NDC 的度数 用含 A 的代数式表示 2 如图 3 当过点 D 直线 MN 与 AB 的交点仍在线段 AB 上 而与 AC 的交点 在 AC 的延长线上时 MDB NDC A 三者之间存在怎样的数量关系 说 明你的理由 3 如图 4 当过点 D 直线 MN 与 AB 的交点在线段 AB 的延长线上 而与 AC 的交点在线段 AC 上时 2 问中 MDB NDC A 三者之间的数量关系是 否仍然成立 若成立 请说明你的理由 若不成立 请给出 MDB NDC A 三者之间的数量关系 并说明你的理由 25 ABC 中 三个内角的平分线交于点 O 过点 O 作 OD OB 交边 BC 于点 D 1 如图 1 猜想 AOC 与 ODC 的关系 并说明你的理由 2 如图 2 作 ABC 外角 ABE 的平分线交 CO 的延长线于点 F 求证 BF OD 若 F 35 求 BAC 的度数 一 解答题 共 25 小题 1 如图 1 在 ABC 中 B 90 分别作其内角 ACB 与外角 DAC 的平分线 且两条角平分线所在的直线交于点 E 1 E 45 2 分别作 EAB 与 ECB 的平分线 且两条角平分线交于点 F 依题意在图 1 中补全图形 求 AFC 的度数 3 在 2 的条件下 射线 FM 在 AFC 的内部且 AFM AFC 设 EC 与 AB 的交点为 H 射线 HN 在 AHC 的内部且 AHN AHC 射线 HN 与 FM 交 于点 P 若 FAH FPH 和 FCH 满足的数量关系为 FCH m FAH n FPH 请直接写出 m n 的值 解答 解 1 如图 1 EA 平分 DAC EC 平分 ACB CAF DAC ACE ACB 设 CAF x ACE y B 90 ACB BAC 90 2y 180 2x 90 x y 45 CAF E ACE E CAF ACE x y 45 故答案为 45 2 如图 2 所示 如图 2 CF 平分 ECB ECF y E EAF F ECF 45 EAF F y 同理可得 E EAB B ECB 45 2 EAF 90 y EAF 把 代入 得 45 F y F 67 5 即 AFC 67 5 3 如图 3 设 FAH AF 平分 EAB FAH EAF AFM AFC 67 5 22 5 E EAF AFC FCH 45 67 4 FCH FCH 22 5 AHN AHC B BCH 90 2 FCH 30 FCH FAH AFM AHN FPH 22 5 30 FCH FPH 把 代入 得 FPH FCH m FAH n FPH 22 5 m n 解得 m 2 n 3 2 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O 点 A 在射线 OP 上运动 点 B 在射线 OM 上运动 1 如图 1 已知 AE BE 分别是 BAO 和 ABO 角的平分线 点 A B 在运动 的过程中 AEB 的大小是否会发生变化 若发生变化 请说明理由 若不发 生变化 试求出其值 2 如图 2 延长 BA 至 G 已知 BAO OAG 的角平分线与 BOQ 的角平 分线及其延长线相交于 E F 则 EAF 90 在 AEF 中 如果有一个角是 另一个角的 3 倍 试求 ABO 的度数 解答 解 1 AEB 的大小不变 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O AOB 90 OAB OBA 90 AE BE 分别是 BAO 和 ABO 角的平分线 BAE OAB ABE ABO BAE ABE OAB ABO 90 45 AEB 135 2 AE AF 分别是 BAO 和 OAG 的角平分线 EAO BAO FAO GAO EAF BAO GAO 180 90 故答案为 90 BAO 与 BOQ 的角平分线相交于 E EAO BAO EOQ BOQ E EOQ EAO BOQ BAO ABO 即 ABO 2 E 在 AEF 中 有一个角是另一个角的 3 倍 故分四种情况讨论 EAF 3 E E 30 则 ABO 60 EAF 3 F E 60 ABO 120 舍去 F 3 E E 22 5 ABO 45 E 3 F E 67 5 ABO 135 舍去 ABO 为 60 或 45 3 已知 在 ABC 中 A C 点 F 和 E 分别为射线 CA 和射线 BC 上一点 连接 BF 和 FE 且 BFE FEB 1 如图 1 当点 F 在线段 AC 上时 若 FBE 2 ABF 则 EFC 与 FBE 的数 量关系为 ABF 2 EFC 2 如图 2 当点 F 在 CA 延长线上时 探究 EFC 与 FBA 的数量关系 并说 明理由 3 如图 3 在 2 的条件下 过 C 作 CH AB 于点 H CN 平分 BCH CN 交 AB 于 N 由 N 作 NM NC 交 CF 于 M 若 BFE 5 FBA MN FB 时 求 ABC 的度数 解答 解 1 如图 1 中 设 EFC z ABF x A C y BE BF BEF BFE BEF y z BFE y z BFC A ABF y z z x y x 2z ABF 2 EFC 故答案为 ABF 2 EFC 2 结论 ABF 2 EFC 理由 如图 2 中 设 EFC z ABF x BAC BCA y BAC ABF BFA ACB EFC E BFA y x E y z E BFE y x z y z x 2z ABF 2 EFC 3 如图 3 中 设 EFC x 则 ABF 2x BFE 5 ABF E BFE 10 x MN BF MNA ABF 2x ANM ANC 90 ANC NCH 90 HCN ANM BCN 2x BCH 4x CBH 90 4x 在 BEF 中 EBF E BFE 180 2x 90 4x 10 x 10 x 180 x 5 ABC 90 4x 70 4 1 问题引入 如图 在 ABC 中 点 O 是 ABC 和 ACB 平分线的交点 若 A 则 BOC 90 用 表示 2 拓展研究 如图 CBO ABC BCO ACB A 试求 BOC 的度数 120 用 表示 3 归纳猜想 若 BO CO 分别是 ABC 的 ABC ACB 的 n 等分线 它们交于点 O CBO ABC BCO ACB A 则 BOC 用 表 示 类比探索 1 特例思考 如图 CBO DBC BCO ECB A 求 BOC 的度数 用 表 示 2 一般猜想 若 BO CO 分别是 ABC 的外角 DBC ECB 的 n 等分线 它们交于点 O CBO DBC BCO ECB A 请猜想 BOC 用 表示 解答 解 1 如图 点 O 是 ABC 和 ACB 平分线的交点 CBO ABC BCO ACB 而 A BOC 180 ABC ACB 180 180 A 180 180 180 90 90 故答案为 90 2 如图 CBO ABC BCO ACB A BOC 180 ABC ACB 180 180 A 180 180 180 60 120 故答案为 120 3 CBO ABC BCO ACB A BOC 180 ABC ACB 180 180 A 180 180 180 180 故答案为 1 如图 CBO DBC BCO ECB A BOC 180 DBC ECB 180 360 ABC ACB 180 360 180 A 180 180 180 60 120 2 CBO DBC BCO ECB A BOC 180 DBC ECB 180 360 ABC ACB 180 360 180 A 180 180 故答案为 5 1 如图 把 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCED 内部点 A 的位置 试写出 A 与 1 2 之间的关系 并说明理由 2 如果把 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCED 外部点 A 的位置 如图 所示 此时 A 与 1 2 之间存在什么样的关系 直接写出 2 A 1 2 3 如果把四边形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 A D 分别落在四边形 BCFE 内部点 A D 的位置 如图 所示 直接写出 A D 1 与 2 之间的关系 2 A D 1 2 360 解答 解 1 如图 根据翻折的性质 3 180 1 4 180 2 A 3 4 180 A 180 1 180 2 180 整理得 2 A 1 2 2 根据翻折的性质 3 180 1 4 180 2 A 3 4 180 A 180 1 180 2 180 整理得 2 A 1 2 3 根据翻折的性质 3 180 1 4 180 2 A D 3 4 360 A D 180 1 180 2 360 整理得 2 A D 1 2 360 即 2 A D 1 2 360 6 已知 BM CN 分别是 A 1BC 的两个外角的角平分线 BA 2 CA 2 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的角平分线 如图 BA 3 CA 3 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的三 等分线 即 A 3BC A 1BC A 3CB A 1CB 如图 依此画图 BAn CA n 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的 n 等分线 即 A nBC A 1BC A nCB A 1CB n 2 且 n 为整数 1 若 A 1 70 求 A 2 的度数 2 设 A 1 请用 和 n 的代数式表示 A n 的大小 并写出表示的过程 3 当 n 3 时 请直接写出 MBA n NCA n 与 A n 的数量关系 解答 解 1 A 1 70 A 1BC A1CB 180 70 110 BA 2 CA 2 分别是 A 1BC 和 A 1CB 的角平分线 A 2BC A2CB 110 55 A 2 180 55 125 2 在 A 1BC 中 A 1BC A 1CB 180 A nBC A 1BC A nCB A 1CB A nBC A nCB A 1BC A 1CB 180 A n 180 A nBC A nCB 180 180 3 2 MBA n NCA n n 2 A n 180 n 理由 如图 BM CN 分别是 A 1BC 的两个外角的角平分线 MBE A 1BE 180 A 1BC NCF A 1CF 180 A 1CB MBA n NCA n 360 MBE NCF A nBC A nCB 360 180 A 1BC 180 A 1CB 180 A n A 1BC A 1CB A n 180 A 1 A n 由 2 可得 A n 180 180 A 1 A 1 n A n 180 n 180 MBA n NCA n 180 n A n 180 n 180 An 90 n A n 2 MBA n NCA n n 2 A n 180 n 7 如图 在 ABC 中 AD BC 垂足为 D AE 平分 BAC 且 ABC C 求证 DAE ABC C 解答 证明 AD BC D 90 ABC 是 ABD 的外角 DAB ABC D ABC 90 AE 平分 BAC BAE BAC 在 ABC 中 BAC 180 ABC C BAE 90 ABC C DAE DAB BAE DAE ABC 90 90 ABC C ABC C 即 DAE ABC C 8 如图 在 ABC 中 AD BD 分别平分 CAB 和 CBA 相交于点 D 1 如图 1 过点 D 作 DE AC DF BC 分别交 AB 于点 E F 若 EDF 80 则 C 80 若 EDF x 证明 ADB 90 2 如图 2 若 DE BE 分别平分 ADB 和 ABD 且 EF BF 分别平分 BED 和 EBD 若 BFE 的度数是整数 求 BFE 至少是多少度 解答 解 1 EDF 80 DEF EDF 180 80 100 DE AC BED BAC 同理得 EFD ABC ABC BAC DEF EDF 100 C 80 故答案为 80 EDF x DEF EFD 180 x DE AC BED BAC AD 平分 BAC BAC 2 BAD DEF 2 BAD 同理得 EFD 2 ABD BAD ABD ADB 180 ABD BAD 180 90 90 2 BED EBD 180 BDE EF BF 分别平分 BED 和 EBD BEF BED EBF EBD BEF EBF BED EBD 180 BDE 180 BDE 180 BFE BFE 90 BDE 同理得 ADB 90 C DE 平分 ADB BDE ADB 45 C 把 代入 得 BFE 90 BDE 90 45 C 112 5 BFE 的度数是整数 当 C 4 时 BFE 113 答 BFE 至少是 113 度 9 已知如图 BP CP 分别是 ABC 的外角 CBD BCE 的角平分线 BQ CQ 分别是 PBC PCB 的角平分线 BM CN 分别是 PBD PCE 的角 平分线 BAC 1 当 40 时 BPC 70 BQC 125 2 当 60 时 BM CN 3 如图 当 120 时 BM CN 所在直线交于点 O 求 BOC 的度数 4 在 60 的条件下 直接写出 BPC BQC BOC 三角之间的数量关 系 BPC BQC BOC 180 解答 解 1 DBC A ACB BCE A ABC DBC BCE 180 A 220 BP CP 分别是 ABC 的外角 CBD BCE 的角平分线 CBP BCP DBC BCE 110 BPC 180 110 70 BQ CQ 分别是 PBC PCB 的角平分线 QBC PBC QCB PCB QBC QCB 55 BQC 180 55 125 2 BM CN MBC NCB 180 BM CN 分别是 PBD PCE 的角平分线 BAC DBC BCE 180 即 180 180 解得 60 3 120 MBC NCB DBC BCE 180 225 BOC 225 180 45 4 60 BPC 90 BQC 135 BOC 45 BPC BQC BOC 三角之间的数量关系 BPC BQC BOC 90 135 45 180 故答案为 70 125 60 BPC BQC BOC 180 10 Rt ABC 中 C 90 点 D E 分别是 ABC 边 AC BC 上的点 点 P 是一 动点 令 PDA 1 PEB 2 DPE 1 若点 P 在线段 AB 上 如图 1 所示 且 50 则 1 2 140 2 若点 P 在边 AB 上运动 如图 2 所示 则 1 2 之间有何关系 3 若点 P 在 Rt ABC 斜边 BA 的延长线上运动 CE CD 则 1 2 之间有何关系 猜想并说明理由 解答 解 1 如图 连接 PC 由三角形的外角性质 1 PCD CPD 2 PCE CPE 1 2 PCD CPD PCE CPE DPE C DPE 50 C 90 1 2 50 90 140 故答案为 140 2 连接 PC 由三角形的外角性质 1 PCD CPD 2 PCE CPE 1 2 PCD CPD PCE CPE DPE C C 90 DPE 1 2 90 3 如图 1 由三角形的外角性质 2 C 1 2 1 90 如图 2 0 2 1 90 如图 3 2 1 C 1 2 90 11 1 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E AB CD ADC 40 ABC 30 求 AEC 的大小 2 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E ADC m ABC n 求 AEC 的大小 3 如图 BAD 的平分线 AE 与 BCD 的平分线 CE 交于点 E 则 AEC 与 ADC ABC 之间是否仍存在某种等量关系 若存在 请写出你得结论 并 给出证明 若不存在 请说明理由 解答 解 1 CE 平分 BCD AE 平分 BAD ECD ECB BCD EAD EAB BAD D ECD E EAD B EAB E ECB D ECD B EAB E EAD E ECB D B 2 E E D B ADC 40 ABC 30 AEC 40 30 35 2 CE 平分 BCD AE 平分 BAD ECD ECB BCD EAD EAB BAD D ECD E EAD B EAB E ECB D ECD B EAB E EAD E ECB D B 2 E E D B ADC m ABC n AEC 3 延长 BC 交 AD 于点 F BFD B BAD BCD BFD D B BAD D CE 平分 BCD AE 平分 BAD ECD ECB BCD EAD EAB BAD E ECB B EAB E B EAB ECB B BAE BCD B BAE B BAD D B D 即 AEC 12 1 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 分别为 x 轴正半轴和 y 轴 正半轴上的两个定点 点 C 为 x 轴上的一个动点 与点 O A 不重合 分别作 OBC 和 ACB 的角平分线 两角平分线所在直线交于点 E 直接问答 BEC 的 度数及点 C 所在的相应位置 2 如图 2 在平面直角坐标系 xOy 中 FGH 的一个顶点 F 在 y 轴的负半轴 上 射线 FO 平分 GFH 过点 H 的直线 MN 交 x 轴于点 M 满足 MHF GHN 过点 H 作 HP MN 交 x 轴于点 P 请探究 MPH 与 G 的数量 关系 并写出简要证明思路 解答 解 1 分三种情况 如图 当点 C 在 x 轴负半轴上时 由题意可知 1 2 3 4 90 BE CE 分别平分 OBC 与 ACB 2 1 2 3 90 1 3 45 BEC 135 即当点 C 在 x 轴负半轴上时 BEC 135 如图 所示 当点 C 在 OA 的延长线上时 与情况 1 同法可得 BEC 135 如图 所示 当点 C 在线段 OA 上 且与点 O A 不重合 时 1 2 3 4 90 2 1 2 4 90 1 4 45 1 4 45 即 BEC 45 故当点 C 在线段 OA 上 且与点 O A 不重合 时 BEC 45 2 MPH 与 G 的数量关系为 MPH G 如图 2 MHF GHN HP MN FHE GHE 即 EH 平分 GHF 又 FE 平分 GFH FEH 中 FEF 180 EHF EFH 180 GHF GFH 180 180 G 90 G FEH 是 EOP 的外角 FEH EOP MPH 90 MPH 90 G 90 MPH 即 MPH G 13 在 ABC 中 点 D 为 ABC 的三条内角平分线的交点 BE AD 于点 E 1 当 BAC 80 ACB 60 时 BDC 130 DBE 30 2 当 BAC ACB 时 用含有 的代数式表示 BDC 的度数 用含有 的代数式表示 DBE 的度数 3 如图 2 若 AD 平分 BAC CD 和 BD 分别平分 ABC 的外角 CBM 和 BCN BE AD 于点 E 2 中的两个结论是否发生变化 解答 解 1 BAC 80 ACB 60 ABC 40 点 D 为 ABC 的三条内角平分线的交点 ABD 20 BAD CAD 40 ACD 30 BDC BDE CDE ABD BAD ACD CAD 20 40 30 40 130 BDE 60 BE AD DBE 90 60 30 故答案为 130 30 2 BAC CBA ACB 180 BAC CBA ACB 180 BAC 180 DB 平分 ABC DC 平分 ACB DBC DCB CBA ACB 180 BCD 中 BDC 180 DBC DCB 180 180 90 BAC ACB ABC 180 DB 平分 ABC AD 平分 BAC ABD ABC 180 BAD BDE 是 ABD 的外角 BDE ABD BAD 180 90 BE AD DBE 90 BDE 90 90 3 若 AD 平分 BAC CD 分别平分 ABC 的外角 CBM 和 BCN BE AD 于 点 E 则 2 中的两个结论发生变化 理由 BAC CBA ACB 180 BAC CBA ACB 180 BAC 180 MBC ABC 180 NCB ACB 180 MBC NGB 360 ABC ACB 360 180 180 BD CD 分别平分 ABC 的外角 CBM 和 BCN DBC MBC DCB NCB DBC DCB MBC NCB 180 90 BDC DBC DCB 180 BDC 180 DBC DCB 180 90 90 BAC ACB MBC 是 ABC 的外角 MBC BD 平分 MBC MBD MBC MBD 是 ABD 的外角 AD 平分 BAC BAD MBD BAD ADB BE AD Rt BDE 中 DBE 90 ADB 90 MBD BAD 90 MBD BAD 90 90 故结论发生变化 14 如图 AD 平分 BAC AE BC B 40 C 60 1 求 DAE 的度数 2 如图 若把 AE BC 变成 点 F 在 DA 的延长线上 FE BC 其他条件 不变 求 DFE 的度数 3 如图 若把 AE BC 变成 AE 平分 BEC 其他条件不变 DAE 的大 小是否变化 并请说明理由 解答 解 1 B 40 C 60 BAC 80 AD 平分 BAC BAD CAD 40 ADE B BAD 80 AE BC AEB 90 DAE 90 ADE 10 2 B 40 C 60 BAC 80 AD 平分 BAC BAD CAD 40 ADE B BAD 80 FE BC FEB 90 DFE 90 ADE 10 3 结论 DAE 的度数大小不变 理由 AE 平分 BEC AEB AEC C CAE B BAE CAE CAD DAE BAE BAD DAE C CAD DAE B BAD DAE AD 平分 BAC BAD CAD 2 DAE C B 20 DAE 10 15 如图 AF 平分 BAC DF 平分 BDC 求证 AFD H BGC 解答 证明 延长 AF 交 DH 于 E 点 由三角形外角定理得 AFD FDE FED FDE H HAE AF 平分 BAC DF 平分 BDC AFD BDC BAC H BGC BDC ACD BDC BAC H BGC H BDC BAC H H BDC BAC H AFD 16 如图 已知 CD 是 ABC 的角平分线 E 是 BC 上的点 B 60 ACE CAE 20 求 CDE 的度数 解答 解 B 60 ACE CAE 20 BAC 100 BAE 80 AE CE 设为 1 在 ABE 中 由正弦定理得 BE CD 是 ABC 的角平分线 DE AC CDE ACD 10 17 如图 ABC 中 BD 平分 ABC 交 AC 于 D CE 平分 ACB 交 AB 于 E CE 与 BD 交于 F 连接 AF 并延长交 BC 于 H 过 F 作 FG BC 于 G 1 若 ABC 45 ACB 65 求 HFG 的度数 2 根据 1 中的规律探索 ABC ACB 与 HFG 之间的关系 3 试探究 BFH 与 CFG 的大小关系 并说明理由 解答 解 1 BD 平分 ABC CE 平分 ACB AH 平分 BAC ABC 45 ACB 65 BAC 180 45 65 70 BAH BAC 35 AHG ABC BAH 45 35 80 FG BC FGH 90 HFG 90 80 10 2 BD 平分 ABC CE 平分 ACB AH 平分 BAC BAC 180 ABC ACB BAH BAC 90 ABC ACB AHG ABC BAH ABC 90 ABC ACB 90 ABC ACB FG BC FGH 90 HFG 90 90 ABC ACB ACB ABC 3 BFH CFG 理由是 BFH BAC ABC 180 ABC ACB ABC 90 ACB CFG 180 90 ACB 90 ACB BFH CFG 18 如图 1 在 ABC 中 A 60 CBM BCN 是 ABC 的外角 CBM BCN 的平分线 BD CD 交于点 D 1 求 BDC 的度数 2 在图 1 中 过点 D 作 DE BD 垂足为点 D 过点 B 作 BF DE 交 DC 的延 长线于点 F 如图 2 求证 BF 是 ABC 的平分线 解答 解 1 ABC 中 A 60 ABC ACB 120 又 ABM ACN 180 CBM BCN 360 120 240 又 CBM BCN 的平分线 BD CD 交于点 D CBD CBM BCD BCN BCD 中 DBC BCD CBM BCN 240 120 D 180 120 60 2 如图 2 DE BD BF DE DBF 180 90 90 即 2 3 90 1 4 90 又 3 4 1 2 BF 是 ABC 的平分线 19 老师给了小胖同学这样一个问题 如图 1 ABC 中 BE 是 ABC 的平分线 点 D 是 BC 延长线上一点 2 D ACB 若 BAC 60 求 BED 小胖通过探究发现 过点 C 作 CM AD 如图 2 交 BE 于点 M 将 BED 转 移至 BMC 处 结合题目已知条件进而得到 CM 为 ACB 的平分线 在 ABC 中求出 BMC 从而得出 BED 1 请按照小胖的分析 完成此题的解答 2 参考小胖同学思考问题的方法 解决下面问题 如图 3 在 ABC 中 点 D 是 AC 延长线上的一点 过点 D 作 DE BC DG 平分 ADE BG 平分 ABC DG 与 BG 交于点 G 若 A m 求 G 的度数 用含 m 的式子表示 解答 1 证明 如图 1 过点 C 作 CM AD 交 BE 于点 M BED BMC DAC ACM BCM D ACB 2 D BCM ACM ACB BE 是 ABC 的平分线 MBC ABC BED BMC 180 MBC MCB 180 ABC ACB 180 180 BAC 180 180 60 120 2 如图 2 延长 BC 交 DG 于点 M BG 平分 ABC DG 平分 ADE GBM ABC GDE ADE DE BC ACM ADE BMD GDE ADE ACM A ABC A GBM 在 BGM 中 G BMD GBM A GBM GBM A m 20 ABC 的三条角平分线相交于点 I 过点 I 作 DI IC 交 AC 于点 D 1 如图 1 求证 AIB ADI 2 如图 2 延长 BI 交外角 ACE 的平分线于点 F 判断 DI 与 CF 的位置关系 并说明理由 若 BAC 70 求 F 的度数 解答 1 证明 AI BI 分别平分 BAC ABC BAI BAC ABI ABC BAI ABI BAC ABC 180 ACB 90 ACB 在 ABI 中 AIB 180 BAI ABI 180 90 ACB 90 ACB CI 平分 ACB DCI ACB DI IC DIC 90 ADI DIC DCI 90 ACB AIB ADI 2 解 结论 DI CF 理由 IDC 90 DCI 90 ACB CF 平分 ACE ACF ACE 180 ACB 90 ACB IDC ACF DI CF 解 ACE ABC BAC ACE ABC BAC 70 FCE FBC F F FCE FBC FCE ACE FBC ABC F ACE ABC ACE ABC 35 21 如图 1 已知 ABC 射线 CM AB 点 D 是射线 CM 上的动点 连接 AD 1 如图 2 若 ACB ABC CAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E 若 BAC 40 AD BC 则 AEC 的度数为 35 在点 D 运动的过程中 探索 AEC 和 ADC 之间的数量关系 2 若 ACB n ABC CAD 内部的射线 AE 与 BC 的延长线交于点 E CAE n EAD 那么 AEC 和 ADC 之间的数量关系为 AEC ADC 解答 解 1 如图 2 BAC 40 ACB ABC 180 40 140 ACB ABC ACB 70 AD BC DAC ACB 70 AE 平分 DAC DAE DAC 70 35 AD BC AEC DAE 35 故答案为 35 ADC 2 AEC 理由是 设 CAE x BAC y 则 EAD x ABC AB CM ACM BAC y ADC 180 2x y ABE 中 AEC 180 x y 90 x ADC 2 AEC 2 AEC ADC 理由是 如图 3 设 ABC x EAD y 则 ACB nx CAE ny ACE 中 AEC nx ny n x y x y ABC 中 BAC 180 nx x AB CM ACD BAC 180 nx x ADC 中 ADC 180 ny y 180 nx x ny y nx x n x y x y x y n 1 x y ADC AEC ADC AEC ADC 故答案为 AEC ADC 22 如图 在 ABC 中 点 D 为 ABC 的平分线 BD 上一点 连接 AD 过点 D 作 EF BC 交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 1 如图 1 若 AD BD 于点 D BEF 130 求 BAD 的度数 2 如图 2 若 ABC BDA 求 FAD C 的度数 用含 和 的代 数式表示 解答 解 1 EF BC BEF 130 EBC 50 AEF 50 又 BD 平分 EBC EBD BDE DBC 25 又 BDA 90 EDA 65 BAD 65 2 如图 2 过点 A 作 AG BC 则 BDA DBC DAG DBC FAD FAG DBC FAD C 则 FAD C DBC ABC 23 如图 直线 m 与直线 n 互相垂直 垂足为 O A B 两点同时从点 O 出发 点 A 沿直线 m 向左运动 点 B 沿直线 n 向上运动 1 若 BAO 和 ABO 的平分线相交于点 P 在点 A B 的运动过程中 APB 的大小是否会发生变化 若不发生变化 请求出其值 若发生变化 请说明理 由 2 若 ABO 的两个外角的平分线 AQ BQ 相交于点 Q AP 的延长线交 QB 的 延长线于点 C 在点 A B 的运动过程中 Q 和 C 的大小是否会发生变化 若不发生变化 请求出 Q 和 C 的度数 若发生变化 请说明理由 解答 解 1 不变化 理由 AP 和 BP 分别是 BAO 和 ABO 的平分线 AOB 90 APB 180 OAB ABO 180 90 135 2 都不变 理由 AQ 和 BQ 分别是 BAO 的邻补角和 ABO 的邻补角的平分线 AP 和 BP 分别是 BAO 和 ABO 的平分线 CAQ QBP 90 又 APB 135 Q 45 C 45 24 如图 1 在 ABC 中 ABC 的平分线与 ACB 的平分线交于点 D 我们可 以得到一个一般性的结论 BDC 90 A 请应用这一结论 解决下面的问 题 1 如图 2 过点 D 任意作直线 MN 分别交 AB 和 AC 于点 M 和 N 求 MDB NDC 的度数 用含 A 的代数式表示 2 如图 3 当过点 D 直线 MN 与 AB 的交点仍在线段 AB 上 而与 AC 的交点 在 AC 的延长线上时 MDB NDC A 三者之间存在怎样的数量关系 说 明你的理由 3 如图 4 当过点 D 直线 MN 与 AB 的交点在线段 AB 的延长线上 而与 AC 的交点在线段 AC 上时 2 问中 MDB NDC A 三者之间的数量关系是 否仍然成立 若成立 请说明你的理由 若不成立 请给出 MDB NDC A 三者之间的数量关系 并说明你的理由 解答 解 1 MDB NDC BDC 180 MDB NDC 180 BDC BDC 90 A MDB NDC 180 90 A 90 A 2 MDB NDC 90 A 理由如下 MDB BDN 180 BDN BDC NDC MDB BDC NDC 180 BDC 90 A MDB 90 A NDC 180 MDB NDC 90 A 3 NDC BDM 90 A 理由如下 MDC NDC 180 BDC BDM MDC BDC BDM NDC 180 BDC 90 A 90 A BDM NDC 180 NDC BDM 90 A 25 ABC 中 三个内角的平分线交于点 O 过点 O 作 OD OB 交边 BC 于点 D 1 如图 1 猜想 AOC 与 ODC 的关系 并说明你的理由 2 如图 2 作 ABC 外角 ABE 的平分线交 CO 的延长线于点 F 求证 BF OD 若 F 35 求 BAC 的度数 解答 解 1 AOC ODC 理由 三个内角的平分线交于点 O OAC OCA BAC BCA 180 ABC OBC ABC AOC 180 OAC OCA 90 ABC 90 OBC OD OB BOD 90 ODC 90 OBD AOC ODC 2 BF 平分 ABE EBF ABE 180 ABC 90 DBO ODB 90 OBD FBE ODB BF OD BF 平分 ABE FBE ABE BAC ACB 三个内角的平分线交于点 O FCB ACB F FBE BCF BAC ACB ACB BAC F 35 BAC 2 F 70