2018年中考总复习专题：二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合 题型一 动点在线段上 如图 平面直角坐标系 中 已知 一次函数 的图像与 轴 轴xOy 1 0 B 5yx xy 分别交于点 两点 二次函数 的图像经过点 点 AC2yxbc AB 1 求这个二次函数的解析式 2 点 是该二次函数图像的顶点 求 的面积 PAPC 3 如果点 在线段 上 且 与 相似 求点 的坐标 QBOQ 如图 抛物线 与 轴交于 两点 在 的左侧 2yaxc 0 a x 3 0 A BA 与 轴交于点 抛物线的顶点为 0 3 C M 1 求 的值 c 2 求 的值 tanA 3 若点 是线段 上一个动点 联结 问是否存在点 使得以点 PCOPPOC 为顶点的三角形与 相似 若存在 求出 点坐标 若不存在 请说明理由 B 如图 已知抛物线 的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的一个交点为 A 2yaxc 1 0 顶点为 B 点 C 5 m 在抛物线上 直线 BC 交 x 轴于点 E 1 求抛物线的表达式及点 E 的坐标 2 联结 AB 求 B 的正切值 3 点 G 为线段 AC 上一点 过点 G 作 CB 的垂线交 x 轴于点 M 位于点 E 右侧 当 CGM 与 ABE 相似时 求点 M 的坐标 参考答案 24 本题满分 12 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 3 分 第 3 小题 5 分 解 1 抛物线 的对称轴为直线 x 1 2yaxc 1a 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 32c 抛物线的表达式为 2213yx 分 顶点 B 1 2 1 分 点 C 5 m 在抛物线上 C 点坐标为 5 6 m 设直线 BC 的表达式为 y kx b k 0 则 即 BC 的表达式为 y 2x 4 62kb 4 E 2 0 1 分 2 作 CH x 轴 垂足为 H 作 BP x 轴 垂足为 P C 5 6 A 1 0 CH 6 AH CAH 45 B 1 2 A 1 0 BP 2 AP BAP 45 CAB 90 1 分 CH 6 AH CH x 轴 62 C x y A B E C O 第 24 题图 BP 2 AP BP x 轴 2 AB 2 分 tan3 CB 3 CAB 90 B ACB 90 GM BC CGM ACB 90 CGM B 1 分 CGM 与 ABE 相似 BAE CMG 或 BAE MCG 情况 1 当 BAE CMG 时 BAE 45 CMG 45 GM BC MCE 45 MCE EAB AEB CEM ABE CME 1 分 即 EM 5 M 7 0 1 分 BEAMC 53 情况 2 当 BAE MCG 时 BAE CAM MCG CAM MC MA 1 分 设 M x 0 C 5 6 A 1 0 x 5 22 1 5 6 x M 5 0 1 分 题型二 动点在线段的延长线上 如图 7 已知抛物线 与 轴交于点 和点 点 在点 的左侧 与32 bxyAB 轴交于点 且 点 是抛物线的顶点 直线 和 交于点 yCOBDCDE 1 求点 的坐标 D 2 联结 求 的余切值 C 3 设点 在线段 延长线上 如果 和 相似 求点 的坐标 MAEM M 答案 1 2 3 3 D 4 6 5 解析 1 抛物线 与轴的交于点 和点 点 在点 的左侧 2yxb AB 与 轴交于点 且 yC 0 OCB 03 93 b 解 得 2 D1 4yx 2 OBC 5OBC y 45D 802 90 3cotD 3 由 可得 在 AOC 和 BCD 中 2yx 3CBAOD 90AOCB AOCB 又 E 45E 当 相似时 可知 M 和 又点在线段的延长线上 可得 ABMBAC 32BC 由题意 得直线的表达式为 设 y3x 3 x 解得 舍去 2 18x 12605 点 M 的坐标是 63 5 题型三 动点在对称轴上 如图 抛物线 经过点 为抛物线的顶点 cbxy 2 03 BCD 1 求抛物线的解析式及顶点坐标 2 点 关于抛物线 的对称点为 点 联结 求 的正C2EBECB 切值 3 点 是抛物线对称轴上一点 且 和 相似 求点 的坐标 MMBCM 答案 1 2 3 或32 xy 4 1 D 2 1 M 3 解析 1 抛物线 经过点 cb 0 BC 可解得 309c 32 顶点坐标2 xy 4 1 D 2 过点 作 垂直于 交于点EHBCH 点 与点 关于对称轴 对称 平行于 轴 3 Ex OC 45B23 C 在等腰直角三角形 中 H 2 E 在直角三角形 中 B2 2 EH 21tan BHEC 的正切值为 3 设抛物线对称轴 交 轴与点1xF 在直角三角形 中 D4 2 2tan BFCBE 点 在点 的下方M 当 与 相似时 有下列两种情况 CE 当 时 即 可解得 BD 10352 M6 D 2 1 当 时 即 可解得 CE 235 D310 32 1M 综上所述 或 32 1 2 动点在平移后的对称轴上 在平面直角坐标系中 点 是抛物线 上的一点 将此抛物线向下平 0 4 Acxay 2 移 个单位以后经过点 平移后的新抛物线的顶点记为 新抛物线的对称轴和线62BC 段 的交点记为 ABP 1 求平移后得到的新抛物线的表达式 并求出点 C 的坐标 2 求 的正切值 C 3 如果点 是新抛物线对称轴上的一点 且 和 相似 试求点 的坐标 QBQ AP Q 答案 1 2 3 或2 xy 3 1 C1tanCAB 25 1Q 1 解析 1 点 是抛物线 上的一点 代入得 0 4 Acxay2 086 ca 又 抛物线向下平移 个单位以后经过点 平移后的抛物线解析式为 6 0 2 cxay 代入得 由 得 8 8 1 ca 平移后得到的新抛物线的表达式 顶点22 xy 3 1 C 2 易得 0 4 A 2 B 3 1 C52 BAB 由勾股定理逆定理得 是直角三角形 3tan 3 设抛物线对称轴与 轴相交于点xH ABOPH 231 APCP 易得 45 C23 点 只能在对称轴点 的下方 和 相似 有以下两种情况 QBQ A CAPB 231 25 Q24CQ 2 综上 或 25 1 Q 1 题型四 动点在某直线上 如图 已知抛物线 经过 的三个顶点 其中点 点 2yaxc ABC 0 1 A 9 0 B 轴 ACx 1 求这条抛物线的解析式 2 求 的值 tanB 3 若点 D 为抛物线的顶点 点 E 是直线 AC 上一点 当 与 相似时 求点 E 的坐标 CE A 参考答案 24 解 1 抛物线 经过点 和点2yaxc 0 1 A 9 0 B 1 分810ca 解得 2 分3c 这条抛物线的解析式为 1 分213yx 2 过点 作 垂足为BHAC ACx 轴 0 9 又 0 是等腰直角三角形 1 分45B 点 也在该抛物线上Ax 轴 0 1 C6 C 过点 作 垂足为点G G 1 分sin4532 coA 又 在 Rt 中 BH92sin45BA 1 分9236G y A O C B x 第 24 题图 在 Rt 中 1 分BCG1tan2CGAB 3 过点 D 作 垂足为K 点 是抛物线 的顶点 1 分213yx 3 D 又 是等腰直角三角形C 90C K 45DK 又 BA 1 分 当 CDE 与 ABC 相似时 存在以下两种情况 1 分1 EC 6 923 E2 4 1 分2ADB C9 3 题型五 动点在 轴上x 如图 9 在平面直角坐标系 xoy中 顶点为 M的抛物线 2 0yaxb 经过点 A和x 轴正半轴上的点 B AO 2 012AB 1 求这条抛物线的表达式 2 联结 M 求 的大小 3 如果点 C在 x轴上 且 C与 O相似 求点 C的坐标 MABOxy 图 9 2017 年青浦一模 24 已知 如图 8 在平面直角坐标系中 抛物线 与142 axy 轴正半轴交于点 和点 与 轴交于点 且 点 是第一象限内的点 xAByCOB3P 联结 是以 为斜边的等腰直角三角形 BCP 1 求这个抛物线的表达式 2 求点 的坐标 P 3 点 在 轴上 若以 为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形相QxPO BAC 似 求点 的坐标 答案 1 2 3 点 坐标为 或1342 xy P Q 0 2 4 解析 1 由题意可得 0 C3 OB 代入 得42 axy3131 2 过点 作P轴轴 xFyE 为等腰直角三角形BC 90CPBFPE ASFRtEt BFEC 可证四边形 为正方形OO 3 1O 解得 在第一象限内BC 311 C2P 2 P 3 可得 为等腰直角三角形2 A 0 A ACC 则点 在 轴左侧 45O 35Qy i CBPQ 1 ABCOPQ 1 21 ABCOP 0 1 Q ii 2 2 42 ACBOPQ 0 4 2 若点 在 轴右侧 不存在y 综上所述 点 坐标为 或Q 0 2 4 在平面直角坐标系 中 抛物线 与 轴相交点 和点 与 轴xOy2 cyxb x 1 0 A By 相交于点 抛物线的顶点为点 联结 03 CDACBD 1 求这条抛物线的表达式及顶点 的坐标 2 求证 AB 3 如果点 在 轴上 且在点 的右侧 求点 的坐标 ExEO E 答案 1 2 略 3 6 0 E 解析 1 抛物线过点 A 和点 将两点坐标代入解析式可得 可解得 根据顶点公式可得 2 代入 到 求得 所以有0y 214x 1x 23 3 0B 可以求得 OA3C20224CD 2B 00B 在 和 中 有 A2DAOC O 3 在 OC 上取一点 F 使得 OF OA 由 2 得 B 3 0 C 0 3 OB OC OBC 45 CBE 135 OA OF AFO 45 AFC 135 AFC CBE 又 BCE ACO AFC BCE BEACF 360 O 6 题型六 动点在抛物线上 如图 1 已知抛物线的方程 C1 m 0 与 x 轴交于点 B C 与 y 轴 2 yx 交于点 E 且点 B 在点 C 的左侧 1 若抛物线 C1 过点 M 2 2 求实数 m 的值 4 在第四象限内 抛物线 C1 上是否存在点 F 使得以点 B C F 为顶点的三角形 与 BCE 相似 若存在 求 m 的值 若不存在 请说明理由 图 1 解析 1 将 M 2 2 代入 得 解得 2 yxm 124 m m 4 4 如图 3 过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F 过点 F 作 FF x 轴于 F 由于 BCE FBC 所以当 即 时 BCE FBC CE 2BCE 设点 F 的坐标为 由 得 1 2 xxm OF 1 2 xm 解得 x m 2 所以 F m 2 0 由 得 所以 CEB 24BF 4 B 由 得 整理 得 0 16 此方程2CEB 22 4 m 无解 图 2 图 3 图 4 如图 4 作 CBF 45 交抛物线于 F 过点 F 作 FF x 轴于 F 由于 EBC CBF 所以 即 时 BCE BFC BEC 2BE 在 Rt BFF 中 由 FF BF 得 1 2 2xmx 解得 x 2m 所以 F 所以 BF 2m 2 2 0 BF 由 得 解得 BCE 2 综合 符合题意的 m 为 2 动点在直线下方的抛物线 24 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 的图像与 轴交于 两点 2yxbc xAB 点的坐标为 与 轴交于点 点 是直线 下方抛物线上的任意B 3 0 y 0 3 C PBC 一点 1 求这个二次函数 的解析式 2xbc 2 联结 并将 沿 轴对折 得到四边形POCPOy 如果四边形 为菱形 求点 的坐标 3 如果点 在运动过程中 能使得以 为顶点的CB 三角形与 相似 请求出此时点 的坐标 A 正确答案 3 动点在直线上方的抛物线 如图 11 所示 已知抛物线 21yx 与 轴交于 A B 两点 与 y轴交于点 C 1 求 A B C 三点的坐标 2 过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面积 3 在 x轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MG x轴 于点 G 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说明理由 解析 1 令 0y 得 210 x 解得 1x 令 x 得 A B C 2 分 2 OA OB O C 1 BAC ACO BCO 45 AP CB PAB 过点 P 作 PE x轴于 E 则 APE 为等腰直角三角形 令 OE a 则 PE 1 P 1 a 点 P 在抛物线 2y 上 2 解得 1 2 不合题意 舍去 PE 3 4 分 四边形 ACBP 的面积 S 1AB OC 2AB PE 34 6 分 3 假设存在 PAB BAC 45 PA AC MG x轴于点 G MGA PAC 90 在 Rt AOC 中 O A OC 1 AC 2 在 Rt PAE 中 AE PE 3 AP 7 分 设 M 点的横坐标为 m 则 M 2 1 点 M 在 y轴左侧时 则 图 11 C P B y A ox G M 第 28 题图 2 C B y P A ox 当 AMG PCA 时 有 AG MC AG 1m MG 2 即 23 解得 1 舍去 23 舍去 当 MAG PCA 时有 AC MG 即 23m 解得 1 舍去 2m M 2 10 分 点 M 在 y轴右侧时 则 当 AMG PCA 时有 AG MC AG 1m MG 2 32 解得 1 舍去 243 M 47 39 当 MAG PCA 时有 AC MG 即 213m 解得 1 舍去 24m M 4 5 存在点 M 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 2 3 47 9 15 13 分 G M 第 28 题图 3 C B y P A ox