初中几何辅助线技巧秘籍

初中几何辅助线技巧大全 1 43 初中几何辅助线技巧大全 一 初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难 难点就在辅助线 辅助线 如何添 把握定理和概念 还要刻苦加钻研 找出规律凭经验 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 四边形 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形问题巧转换 变为 和 平移腰 移对角 两腰延长作出高 如果出现腰中点 细心连上中位线 上述方法不奏效 过腰中点全等造 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 圆形 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内接圆 内角平分线梦圆 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 要作等角添个圆 证明题目少困难 注意点 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 假如图形较分散 对称旋转去实验 初中几何辅助线技巧大全 2 43 基本作图很关键 平时掌握要熟练 解题还要多心眼 经常总结方法显 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 分析综合方法选 困难再多也会减 虚心勤学加苦练 成绩上升成直线 二 由角平分线想到的辅助线 口诀 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 角平分线具有两条性质 a 对称性 b 角平分线上的点到角两边的距离 相等 对于有角平分线的辅助线的作法 一般有两种 从角平分线上一点向两边作垂线 利用角平分线 构造对称图形 如作法是在一侧的长边上截取短边 通常情况下 出现了直角或是垂直等条件时 一般考虑作垂线 其它情况 下考虑构造对称图形 至于选取哪种方法 要结合题目图形和已知条件 与角有关的辅助线 一 截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试 但这种尝试与 猜想是在一定的规律基本之上的 希望同学们能 掌握相关的几何规律 在解决几何问题中大胆地 去猜想 按一定的规律去尝试 下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作 以介绍 如图 1 1 AOC BOC 如取 OE OF 并连接 DE DF 则有 OED OFD 从而为我们证明线段 角相等创造了条件 图 1 1 O A B D E F C 图 1 2 A D B C E F 初中几何辅助线技巧大全 3 43 例 1 如图 1 2 AB CD BE 平分 BCD CE 平分 BCD 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 分析 此题中就涉及到角平分线 可以利用角平分线来构造全等三角形 即利用解平分线来构造轴对称图形 同时此题也是证明线段的和差倍分问题 在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明 延长短 的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段 但无论延长还是截取都 要证明线段的相等 延长要证明延长后的线段与某条线段相等 截取要证明截 取后剩下的线段与某条线段相等 进而达到所证明的目的 简证 在此题中可在长线段 BC 上截取 BF AB 再证明 CF CD 从而达到证 明的目的 这里面用到了角平分线来构造全等三角形 另外一个全等自已证明 此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明 自已试一试 例 2 已知 如图 1 3 AB 2AC BAD CAD DA DB 求证 DC AC 分析 此题还是利用角平分线来构造全等三角形 构造的方法还是截取线 段相等 其它问题自已证明 例 3 已知 如图 1 4 在 ABC 中 C 2 B AD 平分 BAC 求证 AB AC CD 分析 此题的条件中还有角的平分线 在证 明中还要用到构造全等三角形 此题还是证明线 段的和差倍分问题 用到的是截取法来证明的 在长的线段上截取短的线段 来证明 试试看可 否把短的延长来证明呢 练习 图 1 3 A B C D E 图 1 4 A B CD E 初中几何辅助线技巧大全 4 43 1 已知在 ABC 中 AD 平分 BAC B 2 C 求证 AB BD AC 2 已知 在 ABC 中 CAB 2 B AE 平分 CAB 交 BC 于 E AB 2AC 求证 AE 2CE 3 已知 在 ABC 中 AB AC AD 为 BAC 的平分线 M 为 AD 上任一点 求证 BM CM AB AC 4 已知 D 是 ABC 的 BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点 连接 DB DC 求证 BD CD AB AC 二 角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证 明问题 例 1 如图 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求证 ADC B 180 分析 可由 C 向 BAD 的两边作垂线 近而证 ADC 与 B 之和为平角 例 2 如图 2 2 在 ABC 中 A 90 AB AC ABD CBD 求证 BC AB AD 分析 过 D 作 DE BC 于 E 则 AD DE CE 则构造出 全等三角形 从而得证 此题是证明线段的和差倍分问题 从中利用了相当于截取的方法 例 3 已知如图 2 3 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 求证 BAC 的平分线也经过点 P 分析 连接 AP 证 AP 平分 BAC 即可 也就是证 P 到 A B AC 的距离相等 图 2 1 A B C DE F 图 2 2 A B C D E 图 2 3 P A B C MND F 初中几何辅助线技巧大全 5 43 练习 1 如图 2 4 AOP BOP 15 PC OA PD O A 如果 PC 4 则 PD A 4 B 3 C 2 D 1 2 已知在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB CD 1 5 DB 2 5 求 AC 3 已知 如图 2 5 BAC CAD AB AD CE AB AE AB AD 求证 D B 180 2 1 4 已知 如图 2 6 在正方形 ABCD 中 E 为 CD 的中点 F 为 BC 上的点 FAE DAE 求证 AF AD CF 5 已知 如图 2 7 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D A E 平分 CAB 交 CD 于 F 过 F 作 FH AB 交 BC 于 H 求证 CF BH 三 作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角 形 垂足为底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与 等腰三角形的三线合一的性质 如果题目中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角 的另一边相交 图 2 4 B O A P D C 图 2 5 A B D C E 图 2 6 E A B C D F 图 2 7 F D C BA E H 初中几何辅助线技巧大全 6 43 例 1 已知 如图 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中点 求证 DH AB AC 2 分析 延长 CD 交 AB 于点 E 则可得全等三角形 问题可证 例 2 已知 如图 3 2 AB AC BAC 90 AD 为 A BC 的平分线 CE BE 求证 BD 2CE 分析 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线 的垂线 可延长此垂线与另外一边相交 近而构造出等腰 三角形 例 3 已知 如图 3 3 在 ABC 中 AD AE 分别 BAC 的内 外角平分线 过顶点 B 作 BFAD 交 AD 的延长线于 F 连结 FC 并延 长交 AE 于 M 求证 AM ME 分析 由 AD AE 是 BAC 内外角平分线 可得 EA AF 从而有 BF AE 所以想到利用比例线段证相等 例 4 已知 如图 3 4 在 ABC 中 AD 平分 BAC AD AB CM AD 交 AD 延长线于 M 求证 AM AB AC 2 1 分析 题设中给出了角平分线 AD 自然想到以 AD 为轴作对称变换 作 A BD 关于 AD 的对称 AED 然后只需证 DM EC 另2 1 外由求证的结果 AM AB AC 即 2AM AB AC 也2 1 图 示 3 1 A B CD HE 图 3 2 D A B E F C 图 3 3 DB E F N A C M 图 3 4 n E B A D C M F 初中几何辅助线技巧大全 7 43 可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM 然后只需证 DF CF 即可 练习 1 已知 在 ABC 中 AB 5 AC 3 D 是 BC 中点 AE 是 BAC 的平分 线 且 CE AE 于 E 连接 DE 求 DE 2 已知 BE BF 分别是 ABC 的 ABC 的内角与外角的平分线 AF BF 于 F AE BE 于 E 连接 EF 分别交 AB AC 于 M N 求证 MN BC2 1 四 以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等 腰三角形 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相 交 从而也构造等腰三角形 如图 4 1 和图 4 2 所示 图 4 2图 4 1 C A B CB A F I E D H G 例 4 如图 AB AC 1 2 求证 AB AC BD CD 例 5 如图 BC BA BD 平分 ABC 且 AD CD 求证 A C 180 1 2A C D B B D C A 初中几何辅助线技巧大全 8 43 例 6 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 练习 1 已知 如图 C 2 A AC 2BC 求证 ABC 是直角三角形 2 已知 如图 AB 2AC 1 2 DA DB 求证 DC AC 3 已知 CE AD 是 ABC 的角平分线 B 60 求证 AC AE CD A B E CD C A B A E B D C A B D C 1 2 初中几何辅助线技巧大全 9 43 4 已知 如图在 ABC 中 A 90 AB AC BD 是 ABC 的平分线 求 证 BC AB AD 三 由线段和差想到的辅助线 口诀 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截长补短法 1 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等 于另一条 2 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线 段等于长线段 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于 第三边 之差小于第三边 故可想办法放在一个三角形中证明 一 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证不出来 可 连接两点或廷长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明 如 例 1 已知如图 1 1 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N A B C D ABCDENM1 图 初中几何辅助线技巧大全 10 43 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 图 1 2 延长 BD 交 AC 于 F 廷长 CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形两边之和大于第三边 1 GF FC GE CE 同上 2 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时 可连接两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角 的位置上 小角处于这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 例如 如图 2 1 已知 D 为 ABC 内的任一点 求证 BDC BAC 分析 因为 BDC 与 BAC 不在同个三角形中 没有直接的联系 可适 当添加辅助线构造新的三角形 使 BDC 处于在外角的位置 BAC 处于在 内角的位置 证法一 延长 BD 交 AC 于点 E 这时 BDC 是 EDC 的外角 ABCDEFG21 图 ABCDEFG12 图 初中几何辅助线技巧大全 11 43 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 证法二 连接 AD 并廷长交 BC 于 F 这时 BDF 是 ABD 的 外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理证明不等关系时 通常将大角放在某三角形的 外角位置上 小角放在这个三角形的内角位置上 再利用不等式性质证明 三 有角平分线时 通常在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 如 例如 如图 3 1 已知 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证 BE CF EF 可利用三角形三边关系定 理证明 须把 BE CF EF 移到同一个三角形中 而由 已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利用三角形全等对应边相等 把 EN FN EF 移到同个三角形中 证明 在 DN 上截取 DN DB 连接 NE NF 则 DN DC 在 DBE 和 NDE 中 DN DB 辅助线作法 1 2 已知 ED ED 公共边 DBE NDE SAS BE NE 全等三角形对应边相等 同理可得 CF NF ABCDEFN13 图 24 初中几何辅助线技巧大全 12 43 在 EFN 中 EN FN EF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF 注意 当证题有角平分线时 常可考虑在角的两边截取相等的线段 构造 全等三角形 然后用全等三角形的对应性质得到相等元素 四 截长补短法作辅助线 例如 已知如图 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任一点 求证 AB AC PB PC 分析 要证 AB AC PB PC 想到利用三角形三边关系 定理证之 因为 欲证的线段之差 故用两边之差小于第三边 从而想到构造第三边 AB AC 故 可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再连接 PN 则 PC PN 又在 PNB 中 PB PNPB PC 证明 截长法 在 AB 上截取 AN AC 连接 PN 在 APN 和 APC 中 AN AC 辅助线作法 1 2 已知 AP AP 公共边 APN APC SAS PC PN 全等三角形对应边相等 在 BPN 中 有 PB PN BN 三角形两边之差小于第三边 BP PCPM PC 三角形两边之差小于第三边 AB AC PB PC 例 1 如图 AC 平分 BAD CE AB 且 B D 180 求证 AE AD BE 例 2 如图 在四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E AD AB 2AE 求证 ADC B 180 例 3 已知 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC A 108 BD 平分 ABC 求证 BC AB DC DA E C B A E B CD D CB A 初中几何辅助线技巧大全 14 43 例 4 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 AD 是 CAB 的平分线 DM AB 于 M 且 AM MB 求证 CD DB 2 1 1 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 2 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是过 A 的一条直线 且 B C 在 AE 的异侧 BD AE 于 D CE AE 于 E 求证 BD DE CE 四 由中点想到的辅助线 口诀 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 在三角形中 如果已知一点是三角形某一边上的中点 那么首先应该联想 到三角形的中线 中位线 加倍延长中线及其相关性质 直角三角形斜边中线 性质 等腰三角形底边中线性质 然后通过探索 找到解决问题的方法 M BDC A E D C BA 初中几何辅助线技巧大全 15 43 一 中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1 AD 是 ABC 的中线 则 S ABD S ACD S ABC 因为 ABD 与 A CD 是等底同高的 例 1 如图 2 ABC 中 AD 是中线 延长 AD 到 E 使 DE AD DF 是 DCE 的中线 已知 ABC 的面积为 2 求 CDF 的面积 解 因为 AD 是 ABC 的中线 所以 S ACD S ABC 2 1 又因 CD 是 ACE 的中线 故 S CDE S ACD 1 因 DF 是 CDE 的中线 所以 S CDF S CDE 1 CDF 的面积为 二 由中点应想到利用三角形的中位线 例 2 如图 3 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 BA CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G H 求证 BGE CHE 证明 连结 BD 并取 BD 的中点为 M 连结 ME MF ME 是 BCD 的中位线 ME CD MEF CHE MF 是 ABD 的中位线 MF AB MFE BGE AB CD ME MF MEF MFE 初中几何辅助线技巧大全 16 43 从而 BGE CHE 三 由中线应想到延长中线 例 3 图 4 已知 ABC 中 AB 5 AC 3 连 BC 上的中线 AD 2 求 BC 的 长 解 延长 AD 到 E 使 DE AD 则 AE 2AD 2 2 4 在 ACD 和 EBD 中 AD ED ADC EDB CD BD ACD EBD AC BE 从而 BE AC 3 在 ABE 中 因 AE2 BE2 42 32 25 AB2 故 E 90 BD 故 BC 2BD 2 例 4 如图 5 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AD 又是 BC 边上的中 线 求证 ABC 是等腰三角形 证明 延长 AD 到 E 使 DE AD 仿例 3 可证 BED CAD 故 EB AC E 2 又 1 2 1 E AB EB 从而 AB AC 即 ABC 是等腰三角形 初中几何辅助线技巧大全 17 43 四 直角三角形斜边中线的性质 例 5 如图 6 已知梯形 ABCD 中 AB DC AC BC AD BD 求证 AC BD 证明 取 AB 的中点 E 连结 DE CE 则 DE CE 分别为 Rt ABD Rt ABC 斜边 AB 上的中线 故 DE CE AB 因此 CDE DCE AB DC CDE 1 DCE 2 1 2 在 ADE 和 BCE 中 DE CE 1 2 AE BE ADE BCE AD BC 从而梯形 ABCD 是等腰梯形 因此 AC BD 五 角平分线且垂直一线段 应想到等腰三角形的中线 例 6 如图 7 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE 垂直于 BD 交 BD 的延长线于点 E 求证 BD 2CE 证明 延长 BA CE 交于点 F 在 BEF 和 BEC 中 1 2 BE BE BEF BEC 90 BEF BEC EF EC 从而 CF 2CE 又 1 F 3 F 90 故 1 3 在 ABD 和 ACF 中 1 3 AB AC BAD CAF 90 ABD ACF BD CF BD 2CE 注 此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线 六 中线延长 口诀 三角形中有中线 延长中线等中线 初中几何辅助线技巧大全 18 43 题目中如果出现了三角形的中线 常延长加倍此线段 再将端点连结 便 可得到全等三角形 例一 如图 4 1 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF E F 证明 廷长 ED 至 M 使 DM DE 连接 CM MF 在 BDE 和 CDM 中 BD CD 中点定义 1 5 对顶角相等 ED MD 辅助线作法 BDE CDM SAS 又 1 2 3 4 已知 1 2 3 4 180 平角的定义 3 2 90 即 EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF 和 MDF 中 ED MD 辅助线作法 EDF FDM 已证 DF DF 公共边 EDF MDF SAS EF MF 全等三角形对应边相等 在 CMF 中 CF CM MF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF 上题也可加倍 FD 证法同上 注意 当涉及到有以线段中点为端点的线段时 可通过延长加倍此线段 构造全等三角形 使题中分散的条件集中 例二 如图 5 1 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 14 图 ABCDEFM1234 初中几何辅助线技巧大全 19 43 分析 要证 AB AC 2AD 由图想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而由 2AD 想 到要构造 2AD 即加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE CE AD 为 ABC 的中线 已知 BD CD 中线定义 在 ACD 和 EBD 中 BD CD 已证 1 2 对顶角相等 AD ED 辅助线作法 ACD EBD SAS BE CA 全等三角形对应边相等 在 ABE 中有 AB BE AE 三角形两边之和大于第三边 AB AC 2AD 练习 1 如图 AB 6 AC 8 D 为 BC 的中点 求 AD 的取值范围 2 如图 AB CD E 为 BC 的中点 BAC BCA 求证 AD 2AE 3 如图 AB AC AD AE M 为 BE 中点 BAC DAE 90 求证 AM D C ABCDE15 图 B A D C 86 B E C D A 初中几何辅助线技巧大全 20 43 4 已知 ABC AD 是 BC 边上的中线 分别以 AB 边 AC 边为直角边各向外 作等腰直角三角形 如图 5 2 求证 EF 2AD 5 已知 如图 AD 为 ABC 的中线 AE EF 求证 BF AC 五 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法 1 可以从结论出发 看要证明相等的两条线段 或角 分别在哪两个可 能全等的三角形中 2 可以从已知条件出发 看已知条件可以确定哪两个三角形相等 3 从条件和结论综合考虑 看它们能一同确定哪两个三角形全等 4 若上述方法均不行 可考虑添加辅助线 构造全等三角形 三角形中常见辅助线的作法 延长中线构造全等三角形 利用翻折 构造全等三角形 D M C D E D A D B D ABCDEF25 图 A B D C E F 初中几何辅助线技巧大全 21 43 D CB A E D F CB A 引平行线构造全等三角形 作连线构造等腰三角形 常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思 维模式是全等变换中的 对折 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等 三角形 利用的思维模式是全等变换中的 旋转 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的 思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是 全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等 或是将某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性 质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各 顶点的线段连接起来 利用三角形面积的知识解答 一 倍长中线 线段 造全等 1 希望杯 试题 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 B E CF 与 EF 的大小 初中几何辅助线技巧大全 22 43 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE ED CB A 中考应用 09 崇文二模 以 的两边 AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和ABC A 等腰 Rt 连接 DE M N 分别是 BC DE 的中点 探ACE 90 DE 究 AM 与 DE 的位置关系及数量关系 1 如图 当 为直角三角形时 AM 与 DE 的位置关系是 线段 AM 与 DE 的数量关系是 2 将图 中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转 0 AD AE 初中几何辅助线技巧大全 25 43 OE D CB A ED CB A 四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 O E OD 2 06 郑州市中考题 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE ab BE 的长 中考应用 06 北京中考 如图 OP 是 MON 的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答 下列问题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BA C BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量 关系 E D G FCB A 初中几何辅助线技巧大全 26 43 N M E F A C B A F E D CB A 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说 明理由 五 旋转 1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 2 D 为 等腰 斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F RtABC 1 当 绕点 D 转动时 求证 DE DF MN 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 第 23 题图 O P A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 初中几何辅助线技巧大全 27 43 3 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且ABC BDC 以 D 为顶点做一个 角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于012 06 点 N 连接 MN 则 的周长为 B C D N M AAMN 中考应用 07 佳木斯 已知四边形 中 BCDA BAB 绕 点旋转 它的两边分别交120ABC 60 C 或它们的延长线 于 EF 当 绕 点旋转到 时 如图 1 易证 MN EF 当 绕 点旋转到 时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结 AC 论是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 又有怎样的AC 数量关系 请写出你的猜想 不需证明 西城 09 年一模 已知 PA PB 4 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D2 两点落在直线 AB 的两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB 及 PD 的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应 APB 的大小 图 1 ABCDEFMN 图 2 BCDEFMN 图 3 BCEFMN 初中几何辅助线技巧大全 28 43 09 崇文一模 在等边 的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M NABC D 为 外一点 且 BD DC 探究 当 M N 分ABC 60MDN 120 别在直线 AB AC 上移动时 BM NC MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与A 等边 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 I 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且 DM DN 时 BM NC MN 之间的数 量关系是 此时 LQ II 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当 DM DN 时 猜想 I 问的两 个结论还成立吗 写出你的猜想并加以证明 III 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 AN 则 Q 用 L 表示 xx 六 梯形的辅助线 口诀 梯形问题巧转换 变为 和 平移腰 移对角 两腰延长作出高 如果 出现腰中点 细心连上中位线 上述方法不奏效 过腰中点全等造 初中几何辅助线技巧大全 29 43 通常情况下 通过做辅助线 把梯形转化为三角形 平行四边形 是解梯 形问题的基本思路 至于选取哪种方法 要结合题目图形和已知条件 常见的 几种辅助线的作法如下 一 平移 1 平移一腰 例 1 如图所示 在直角梯形 ABCD 中 A 90 AB DC AD 15 AB 16 BC 17 求 CD 的长 作法 图形 平移腰 转化 为三角形 平行四 边形 ABCDE 平移对角线 转化为三角形 平 行四边形 C 延长两腰 转 化为三角形 ABCDE 作高 转化为 直角三角形和矩形 EF 中位线与腰中 点连线 ABCDEFABCD 初中几何辅助线技巧大全 30 43 解 过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E 又 AB CD 所以四边形 BCDE 是平行四边形 所以 DE BC 17 CD BE 在 Rt DAE 中 由勾股定理 得 AE2 DE 2 AD 2 即 AE2 17 2 15 2 64 所以 AE 8 所以 BE AB AE 16 8 8 即 CD 8 例 2 如图 梯形 ABCD 的上底 AB 3 下底 CD 8 腰 AD 4 求另一腰 BC 的 取值范围 解 过点 B 作 BM AD 交 CD 于点 M 在 BCM 中 BM AD 4 CM CD DM CD AB 8 3 5 所以 BC 的取值范围是 5 4 BC 5 4 即 1 BCCD 求证 BD AC 证 作 AE BC 于 E 作 DF BC 于 F 则易知 AE DF 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中 因为 AB CD AE DF 所以由勾股定理得 BE CF 即 BF CE 在 Rt BDF 和 Rt CAE 中 由勾股定理得 BD AC 五 作中位线 1 已知梯形一腰中点 作梯形的中位线 例 13 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC O 是 BC 的中点 AOD 90 求证 AB CD AD 证 取 AD 的中点 E 连接 OE 则易知 OE 是梯形 ABCD 的中位线 从而 OE AB CD 2 1 在 AOD 中 AOD 90 AE DE 初中几何辅助线技巧大全 36 43 所以 ADOE21 由 得 AB CD AD 2 已知梯形两条对角线的中点 连接梯形一顶点与一条对角线中点 并延 长与底边相交 使问题转化为三角形中位线 例 14 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 BD AC 的中点 求证 1 EF AD 2 21ADBC 证 连接 DF 并延长交 BC 于点 G 易证 AFD CFG 则 AD CG DF GF 由于 DE BE 所以 EF 是 BDG 的中位线 从而 EF BG 且 BEF21 因为 AD BG ADCG 所以 EF AD EF 3 在梯形中出现一腰上的中点时 过这点构造出两个全等的三角形达到解 题的目的 例 15 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 90 0 E 是 DC 上的中点 连接 AE 和 BE 求 AEB 2 CBE 解 分别延长 AE 与 BC 并交于 F 点 BAD 90 0且 AD BC FBA 180 0 BAD 90 0 又 AD BC DAE F 两直线平行内错角相等 AED FEC 对顶角相等 DE EC E 点是 CD 的中点 ADE FCE AAS 初中几何辅助线技巧大全 37 43 AE FE 在 ABF 中 FBA 90 0 且 AE FE BE FE 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在 FEB 中 EBF FEB AEB EBF FEB 2 CBE 例 16 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB BC E 是 CD 中点 试 问 线段 AE 和 BE 之间有怎样的大小关系 解 AE BE 理由如下 延长 AE 与 BC 延长线交于点 F DE CE AED CEF DAE F ADE FCE AE EF AB BC BE AE 例 17 已知 梯形 ABCD 中 AD BC E 为 DC 中点 EF AB 于 F 点 AB 3 cm EF 5cm 求梯形 ABCD 的面积 解 如图 过 E 点作 MN AB 分别交 AD 的延长线于 M 点 交 BC 于 N 点 DE EC AD BC DEM CNE 四边形 ABNM 是平行四边形 EF AB S 梯形 ABCD S ABNM AB EF 15cm2 模拟试题 答题时间 40 分钟 1 若等腰梯形的锐角是 60 它的两底分 别为 11cm 35 cm 则它的腰长为 cm A B D C E F A B C D E F M N 初中几何辅助线技巧大全 38 43 2 如图所示 已知等腰梯形 ABCD 中 AD BC B 60 AD 2 BC 8 则此等腰梯形的周长为 A 19 B 20 C 21 D 22ABCD 3 如图所示 AB CD AE DC AE 12 BD 20 AC 15 则梯形 ABCD 的面积为 A 130B 140 C 150 D 160ABCDE 4 如图所示 在等腰梯形 ABCD 中 已知 AD BC 对角线 AC 与 BD 互相 垂直 且 AD 30 BC 70 求 BD 的长 ABC 5 如图所示 已知等腰梯形的锐角等于 60 它的两底分别为 15cm 和 49 cm 求它的腰长 ABCD 6 如图所示 已知等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD BC 10 DE BC 于 E 求 DE 的长 初中几何辅助线技巧大全 39 43 ABCDE 7 如图所示 梯形 ABCD 中 AB CD D 2 B AD DC 8 求 AB 的长 ABD 8 如图所示 梯形 ABCD 中 AD BC 1 若 E 是 AB 的中点 且 AD B C CD 则 DE 与 CE 有何位置关系 2 E 是 ADC 与 BCD 的角平分线的交点 则 DE 与 CE 有何位置关系 ABCDE 初中几何辅助线技巧大全 40 43 1 圆中作辅助线的常用方法 1 作弦心距 以便利用弦心距与弧 弦之间的关系与垂径定理 2 若题目中有 弦的中点 和 弧的中点 条件时 一般连接中点和圆心 利用垂径定理的推论得出结果 3 若题目中有 直径 这一条件 可适当选取圆周上的点 连结此点与直径 端点得到 90 度的角或直角三角形 4 连结同弧或等弧的圆周角 圆心角 以得到等角 5 若题中有与半径 或直径 垂直的线段 如图 1 圆 O 中 BD OA 于 D 经常是 如图 1 上 延长 BD 交圆于 C 利用垂径定理 如图 1 下 延长 AO 交圆于 E 连结 BE BA 得 Rt ABE 图 1 上 图 1 下 6 若题目中有 切线 条件时 一般是 对切线引过切点的半径 7 若题目中有 两圆相切 内切或外切 往往过切点作两圆的切线或作出 它们的连心线 连心线过切点 以沟通两圆中有关的角的相等关系 8 若题目中有 两圆相交 的条件 经常作两圆的公共弦 使之得到同弧上 的圆周角或构成圆内接四边形解决 有时还引两连心线以得到结果 9 有些问题可以先证明四点共圆 借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明 10 对于圆的内接正多边形的问题 往往添作边心距 抓住一个直角三角形 去解决 例题 1 如图 2 在圆 O 中 B 为 的中点 BD 为 AB 的延长线 OAB 50 0 求 CBD 的度数 解 如图 连结 OB OC 的圆 O 的半径 已知 OAB 50 0 B 是弧 AC 的中点 弧 AB 弧 BC AB BC 又 OA OB OC AOB BOC S S S 图 2 OBC ABO 50 0 初中几何辅助线技巧大全 41 43 ABO OBC CBD 180 0 CBD 180 0 500 500 CBD 80 0 答 CBD 的度数是 800 例题 2 如图 3 在圆 O 中 弦 AB CD 相交于点 P 求证 APD 的度数 弧 AD 弧 BC 的度数 21 证明 连接 AC 则 DPA C A C 的度数 弧 AD 的度数21 A 的度数 弧 BC 的度数 APD 弧 AD 弧 BC 的度数 图 3 一 造直角三角形法 1 构成 Rt 常连接半径 例 1 过 O 内一点 M 最长弦 AB 26cm 最短弦 CD 10cm 求 AM 长 2 遇有直径 常作直径上的圆周角 例 2 AB 是 O 的直径 AC 切 O 于 A CB 交 O 于 D 过 D 作 O 的切线 交 AC 于 E 求证 CE AE 3 遇有切线 常作过切点的半径 例 3 割线 AB 交 O 于 C D 且 AC BD AE 切 O 于 E BF 切 O 于 F 求证 OAE OBF 4 遇有公切线 常构造 Rt 斜边长为圆心距 一直角边为两半径的差 另一直角边为公切线 长 例 4 小 O 1与大 O 2外切于点 A 外公切线 BC DE 分别和 O 1 O 2切于点 B C 和 D E 并相交于 P P 60 求证 O 1与 O 2的半径之比为 1 3 5 正多边形相关计算常构造 Rt 例 5 O 的半径为 6 求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面积 二 欲用垂径定理常作弦的垂线段 例 6 AB 是 O 的直径 CD 是弦 AE CD 于 E BF CD 于 F 1 求证 EC DF 2 若 AE 2 CD BF 6 求 O 的面积 三 转换割线与弦相交的角 常构成圆的内接四边形 例 7 AB 是 O 直径 弦 CD AB M 是 上一点 AM 延长线交 DC 延长线于 F AC 初中几何辅助线技巧大全 42 43 A C B O1 P CEBOAD 求证 F ACM 四 切线的综合运用 1 已知过圆上的点 常 例 8 如图 已知 O 1与 O 2外切于 P AC 是过 P 点的割线交 O 1 于 A 交 O 2于 C 过点 O1的直线 AB BC 于 B 求证 BC 与 O 2相 切 例 9 如图 AB 是 O 的直径 AE 平分 BAF 交 O 于 E 过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF 延长线于 D 点 且交 AB 于 C 点 求证 CD 与 O 相切于点 E 2 两个条件都没有 常 例 10 如图 AB 是半圆的直径 AM MN BN MN 如果 AM BN AB 求证 直线 MN 与半圆相切 例 11 等腰 ABC 中 AB AC 以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点 求证 AC 与 D 相切 例 12 菱形 ABCD 两对角线交于点 O O 与 AB 相切 求证 O 也与其他三边都相切 五 两圆相关题型 1 两圆相交作 例 13 O 1与 O 2相交于 A B 过 A 点作直线交 O 1于 C 点 交 O 2于 D 点 过 B 点作直 线交 O 1于 E 点 交 O 2于 F 点 求证 CE DF 2 相切两圆作 例 14 O 1与 O 2外切于点 P 过 P 点的直线分别交 O 1与 O 2于 A B 两点 AC 切 O 1于 A 点 BC 交 O 2于 D 点 求证 BAC BDP 3 两圆或三圆相切作 例 15 以 AB 6 为直径作半 O 再分别以 OA OB 为直径在半 O 内作半 O 1与半 O 2 又 O 3与三个半圆两两相切 求 O 3的半径 4 一圆过另一圆的圆心 作 例 16 两个等圆 O 1与 O 2相交于 A B 两点 且 O 1过点 O2 过 B 点作直线交 O 1于 C 点 交 O 2于 D 点 求证 ACD 是等边三角形 六 开放性题目 例 17 已知 如图 以 的边 为直径的 交边 于点 且过点 的切线C ACD 平分边 EB 1 与 是否相切 请说明理由 COA 2 当 满足什么条件时 以点 为顶点的四边形是平行四边形 OB 并说明理由 CEBOAD 第 23 题 初中几何辅助线技巧大全 43 43