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立体几何初步1已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B）（C）（D）2表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A B C D3给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.14已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是 （ ）（A）平面ABC必不垂直于（B）平面ABC必平行于（C）平面ABC必与相交（D）存在的一条中位线平行于或在内5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . ABAB6如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB ( )（A）21 （B）31（C）32 （D）437已知球的半径是，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，两点的球面距离是，则二面角的大小是( )（A） （B） （C） （D）8设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A B C D9. 关于直线、与平面、，有下列四个命题： 且，则； 且，则；且，则； 且，则.其中真命题的序号是：（D） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、10已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。11如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）A. S1S2C. S1=S2D. S1，S2的大小关系不能确定12给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)413已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为_，球心到平面的距离为_.14正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 15如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . 16如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.17如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角。18如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边 AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90，设AC=2a,BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.（18图）ABCDEFOP第19题图H19如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（）证明；（）求面与面所成二面角的大小。20如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为已知求：（I）直线AB分别与平面所成角的大小；（II）二面角的大小。21如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面BEF;（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围. 22如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。23如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；（2）设，证明平面24在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）图1图2答案：1.略 2.此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。3、正确，故选B. 4、D5. 6. A 7.C 8. B9解选D。在、的条件下，的位置关系不确定。 10底面正方形面积，底面边长，高，二面角的余切值。代入数据，得：。又必为锐角，所以。11. 解：连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C12. 【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案D。【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。13. 14. 15. 4/516. （）略；（）略；（）。 17.略 18（1）；（2）。19. 解：（）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，P在平面ABC内的射影为O，PO平面ABF，AO为PA在平面ABF内的射影；O为BF中点，AOBF，PABF。 （）略ABA1B1l第20题解法一图EFABA1B1l第20题解法二图yxyEF 20.解法一: ()如图, 连接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 则BAB1,ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30.故AB与平面,所成的角分别是45,30.() BB1, 平面ABB1.在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E,则A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1FAB, A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45,AB1=B1B=. RtAA1B中,A1B= = . 由AA1A1B=A1FAB得 A1F= = ,在RtA1EF中,sinA1FE = = , 二面角A1ABB1的大小为arcsin.解法二: ()同解法一.() 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1,1), 点F的坐标为(t, t,1t).要使,须=0, 即(t, t,1t) (,1,1)=0, 2t+t(1t)=0,解得t= , 点F的坐标为(, ), =(, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0, ). =(,).又=(,)(,1,1)= =0, , A1FE为所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,二面角A1ABB1的大小为arccos.21. 解法一：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面BEF. （）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知ECPA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图）.连结GD.因SCBD=BDGH=GBOF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2A,得BD=a第（41）图而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH= 因此tanEHG=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k解法二：（）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 E.从而=.=0,故.由此得CD面BEF.（）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故，即2x+y=2a 由解得x=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHC是锐角，由EHC得tanEHGtan即故k的取值范围为k.22. 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分解法一：（）证明：取的中点，连结 分别为的中点 面，面 面面 面（）设为的中点为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，从而在中，故：二面角的大小为 （）作，交于，由面得面在中，方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 分别是的中点（） 取，显然面 ，又面 面（）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得: 解得 即与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为（）设为平面的法向量，则 又 即 可取 点到平面的距离为 ， 23.略24. 解：不妨设正三角形的边长为3，则（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=60o，ADF为正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE。又BEEF=E，A1E面BEF，即A1E面BEP。（II）在图2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜线，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，则EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP为正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。图3QM（III）在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。CF=CP=1，C=60o，FCP为正三角形，故PF=1，又PQ=BP=1，PF=PQA1E面BEP，EQ=EF=，A1F=A1Q，A1FPA1QP，故A1PF=A1PQ由及MP为公共边知FMPQMP，故QMP=FMP=90o，且MF=MQ，FMQ为二面角BA1PF的一个平面角。在RtA1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，A1P=，MQA1P，MQ=，MF=。在FCQ中，FC=1，QC=2，C=60o，由余弦定理得QF=，在FMQ中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com
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