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动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想中考数学（动点问题）考试分析200920102011动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）共同点 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； 求直线、抛物线解析式； 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 典型例题（历年真题）一、三角形边上动点1、如图，在ABC中，AB=AC，BC=acm，B=30动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x s时，PBC的面积为y cm2已知y与x的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，DOE与ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）首先作DFOE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得DOE是等腰三角形；（2）设D（,），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，DOEABC解答：解：（1）DOE是等腰三角形作DFOE于F，AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，点P在边AB和AC上的运动时间相同，点F是OE的中点，DF是OE的垂直平分线，DO=DE，DOE是等腰三角形（2）由题意得：D（,），DO=DE，AB=AC，当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，在RtDOF中，tanDOF=，由=tan30=，得a =，当a=时，DOEABC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用2、（2011郴州）如图，RtABC中，A=30，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动作PMPQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F（1）求证：PQEPMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。分析：（1）由EPF=QPM=90，利用互余关系证明PQEPMF；（2）相等运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，B=60，BPQ为等边三角形，可推出MPA=A=30，等角对等边；（3）由面积公式得SPEM=PEPF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解解答：证明：（1）PEBC，PFAC，C=90，PEQ=PFM=90，EPF=90，即EPQ+QPF=90，又FPM+QPF=QPM=90，EPQ=FPM，PQEPMF；（2）相等PB=BQ，B=60，BPQ为等边三角形，BQP=60，PQEPMF，PMF=BQP=60，又A+APM=PMF，APM=A=30，PM=MA；（3）AB=20，BP=x，则AP=20x，PE=xcos30=x，PF=（20x），SPEM=PEPF，y=x=（20xx2）=（x10）2+（0x10）当x=10时，函数的最大值为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系3、（2011成都，20，10分）如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若BKKC，求的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当AEAD时，猜想线段ABBCCD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当AEAD（n2），而其余条件不变时，线段AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：计算题；几何动点问题。分析：（1）由已知得，由CDAB可证KCDKBA，利用求值；（2）ABBCCD作ABD的中位线，由中位线定理得EFABCD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得GEBEBAGBE，则EGBGBC，而GFCD，EFAB，利用EFEGGF求线段ABBCCD三者之间的数量关系；当AEAD（n2）时，EGBGBC，而GFCD，EFAB，EFEGGF可得BCCD（n1）AB解答：解：（1）BKKC， 又CDAB，KCDKBA，； （2）当BE平分ABC，AEAD时，ABBCCD证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，由中位线定理，得EFABCD，G为BC的中点，GEBEBA，又EBAGBE，GEBGBE，EGBGBC，而GFCD，EFAB，EFEGGF，ABBCCD；当AEAD（n2）时，BCCD（n1）AB 二、特殊四边形边上动点1、（2011株洲，23，）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出ADBC，PDO=QBO，再根据O为BD的中点得出PODQOB，即可证出OP=OQ（2）本题需先根据已知条件得出A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，证出ODPADB，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBCPDO=QBO，又OB=OD，POD=QOBPODQOBOP=OQ（2）PD=8t四边形ABCD是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm当四边形PBQD是菱形时，PQBD，POD=A，又ODP=ADBODPADB，即，解得t=，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键2、（2011天水，26）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60，OAB=90，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止（1）设DEF运动时间为t，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式（2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；（2）依题意得D（4t，0），求出直线OC解析式，根据DFOC确定直线DF解析式，再由OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可解答：解：（1）依题意得OA=5，当0t1时，s=t2，当1t2时，s=（2t）2=t2+2t，当2t5时，s=；（2）不存在依题意，得C（1，），B（5，），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），将C点坐标代入，得a= ，y=x（x6）=x2+x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y=x，DFOC，设直线DF解析式为y=x+k，将D（4t，0）代入得k=（t4），直线DF：y=x+（t4），设OAG的OA边上高为h，由SOAG=S梯形OABC，得5h=（4+5），解得h=，将y=代入y=x（x6）中，得x=33，F（33，）或（3+3，），分别代入直线DF：y=x+（t4）中，得t=+3或3，但0t5，不存在三、直线上动点1、（2011年山东省东营市，24，12分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段0A上时，且tanDEC=若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由考点：一次函数综合题专题：综合题分析：（1）要表示出ODE的面积，要分两种情况讨论，如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E在AB边上，这时ODE的面积可用长方形OABC的面积减去OCD、OAE、BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化解答： 解：（1）四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），B（-3，1），若直线经过点A（-3，0）时，则b= ，若直线经过点B（-3，1）时，则b= ，若直线经过点C（0，1）时，则b=1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图1，此时E（2b，0），S= OECO= 2b1=b；若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2S=S矩-（SOCD+SOAE+SDBE）=3- （2b-2）1+ （5-2b）（ -b）+ 3（b- ）= b-b2，S=；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，MED=NED，又MDE=NED，MED=MDE，MD=ME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，= ，DH=1，HE=2，设菱形DNEM的边长为a，则在RtDHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，a= ，S四边形DNEM=NEDH= 矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度2、（2011江苏镇江常州，27，9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数yx3的图象是直线l1，l1与x轴y轴分别相交于AB两点直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a0点PQ同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位（1）写出A点的坐标和AB的长；（2）当点PQ运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2y轴都相切，求此时a的值考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：几何动点问题；分类讨论分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出APQAOB，以及当Q在y轴右侧与y轴相切时，当Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案解答：解：（1）一次函数yx3的图象是直线l1，l1与x轴y轴分别相交于AB两点，y=0时，x=4，A（4，0），AO=4，图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，AB=5；（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，= =t，又PAQ=OAB，APQAOB，APQ=AOB=90，点P在l1上，Q在运动过程中保持与l1相切，当Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与Q相切于F，由APQAOB，得： ，PQ=6；连接QF，则QF=PQ，由QFCAPQAOB，得： ，QC=，a=OQ+QC=，当Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与Q相切于E，由APQAOB得：=，PQ=，连接QE，则QE=PQ，由QECAPQAOB得：=，QC=，a=QCOQ=，a的值为和，点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案4、 抛物线上动点1、（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值考点：二次函数综合题。分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值解答：解：（1）点A（1，0）在抛物线y=x2+bx2上，（1 ）2+b（1）2=0，解得b=抛物线的解析式为y=x2x2 y=x2x2 =（ x23x4 ）=（x）2，顶点D的坐标为 （，）（2）当x=0时y=2，C（0，2），OC=2当y=0时，x2x2=0，x1=1，x2=4，B （4，0）OA=1，OB=4，AB=5AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点EEDy轴，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM，m=解法二：设直线CD的解析式为y=kx+n，则，解得n=2，当y=0时，点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形2、（2011郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1m）（m为常数）（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式；（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；（3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，因为抛物线过原点O（0，0）所以c=0，所以y=x2+x；（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=所以它不会随P的移动而改变；（3）点O（0，0）可满足设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则Q1PB，Q2PB是等腰三角形因为P点的坐标是（，）所以Q1Q2的解析式是：y=x，抛物线的解析式为：y=2x2+2x所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是（，），（，）点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标3. （2011四川广安，30，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B( 1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线yax2bxc经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得PAPC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值考点：抛物线，存在，动态，压轴专题：压轴题、综合题分析：（1）由题意可知点M的坐标为（0，2），根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的，由此可知N（3，2），把D、M、N三点的坐标代入即可得到抛物线的解析式（2）由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程组确定交点坐标，若能求得，则说明存在，否则说明不存在（3）由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，所以QEQD，所以，延长DC交抛物线的对称轴相交，当点Q在交点上时，QDQCCD，此时的值最大，恰好为线段CD的长解答：（1）解：由题意可得M（0，2），N（3，2）， 解得：y（2）PAPC， P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（1，2）、（1，0），其所在的直线为yx1根据题意可列方程组解得：P1（）、P2（）（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得CD所在的直线的解析式为抛物线的对称轴为直线点Q在直线x1.5上，又在直线上Q（1 .5，4.5），QEQD即当点Q的坐标为（1.5，4.5）时，有最大值，最大值为点评：（1）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，运用时要确定好图象上关键点的坐标，本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到（2）求函数的交点坐标，通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解本题综合性强，解答时需具备较强的数学基本功，若知识掌握欠缺，则不容易得分
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