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1.4.1-1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质 学习目标1能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2了解周期函数及最小正周期的概念3熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题 学习重点、难点1能熟练运用“五点法”作图2会求一些简单三角函数的周期3掌握正、余弦函数的有关性质并会运用 学习过程任务一、课前准备（预习教材P30 P40，找出疑惑之处）任务二、新课导学一、正（余）弦函数的定义 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，这样，任意给定一个实数，有唯一确定的值（或）与之对应,由这个对应法则所确定的函数 (或)叫做正弦函数（或余弦函数）其定义域是，及叫做正弦函数，叫做余弦函数二、正（余）弦函数的图像注：1我们可以利用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象2为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数 探索新知：正弦函数的图像 函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线第二步：在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线 进行右移第三步：通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来问题1：观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？问题2：如何作的图象？（自己动手完成） 余弦函数y=cosx的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图像变换得到余弦函数的图象吗？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度即得余弦函数y=cosx的图象. 问题：为什么选第二个诱导公式而不选第一个？余弦函数，的五个关键点是： . 正弦曲线与余弦曲线：正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：例1画出下列函数的简图（1）（2）练1画出下列函数的简图：（1） （2）三、正（余）弦函数的性质1定义域：正(余)弦函数的定义域都是 2值域：（1）正弦函数的值域是 当且仅当, 时，取得最大值 ； 当且仅当，时，取得最小值 （2）余弦函数的值域是 当且仅当时，取得最大值 ； 当且仅当，时，取得最小值 例2求下列函数的定义域、值域（1）（2）（3）练2：（1）求函数的定义域（2）求函数的值域例3求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.（1） （2）课后作业（一）1函数的定义域 2的定义域为，的定义域 3.求函数的定义域:（1） （2） 4求下列函数的值域（1） （2）5求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.（1） （2） （3）6若的最大值为，最小值为，求的最值.3周期性：周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有：那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.（观察图象）正弦函数性质如下：（1）正弦函数的图象是有规律不断重复出现的.（2）规律是：每隔重复出现一次（或者说每隔,重复出现）.（3）这个规律由诱导公式可以说明.当增加（）时，总有（4） 2,4等叫做函数的周期.有关周期函数的说明：（1）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期. 我们通常所说的三角函数的周期是指三角函数的最小正周期.（2）并不是所有周期函数都存在最小正周期.（3）周期函数，则必有, 且若则定义域无上界；则定义域无下界.（4）“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）.（5）周期函数的周期不止一个，若T是周期，则一定也是这个函数的周期.问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ 同理当增加（）时，总有周期为（），最小正周期为2.例4.求下列函数的周期.（1）（2）（3）结论：函数的周期是练3.求下列函数的周期.（1）（2）注：有关三角函数的周期性：（1） （2)若函数满足，其中，则的周期为（3）若函数满足，其中，则的周期为（4）若函数满足，其中，则的周期为例5已知函数是奇函数，6是的一个周期，而且,求. 例6已知偶函数满足条件,且当时，,求的值. 课后作业（二）1设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ） 2函数的最小正周期是 ( )A B C D3在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数4若函数满足，则函数的一个周期是_5函数对于任意实数满足条件，若，则 _ 6判断下列函数是否为周期函数；若存在最小正周期，请求出. （1） （2） （3） （4） 4单调性：（1）正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大到 ；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减小 到 .即 ; .（2）余弦函数在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减小到 ；在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大到 .即 ; .例6确定下列函数的单调区间（1） （2），练4.确定下列函数的单调区间（1） （2），例7利用三角函数的性质比较下列各组数的大小（1）与 （2）与练5.利用三角函数的性质比较下列各组数的大小（1）与 （2）与 （3）例8解不等式，若呢？练6.解不等式（1）（2）课后作业（三）1.函数的单调递减区间是（ ） A B C D2.下列不等式成立的是（ ） A B C D3.若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ） A B C D4.函数的一个单调增区间是（ ） A B C D5 .、均为锐角,若,则、的大小顺序 是（ ) A. B. C. D.6.比较大小 （1） （2） 7.设，则的范围是 .8.在中，,则角、的大小关系是 .9.（1）求函数在区间上的单增区间. （2）求函数的单调增区间.10.解下列方程或不等式；（1）； （2） （3）5奇偶性：（1）正弦曲线关于 对称,及定义域关于原点对称且所以函数 为 函数；（2）余弦曲线关于 对称,及定义域关于原点对称且，所以函数 为 函数思考：请用诱导公式推导正（余）弦函数的奇偶性：例8求下列函数的奇偶性（1）（2）（3）练7.判断下列函数的奇偶性 （1） （2）例9若函数是上的偶函数，则= 练8.的图象关于原点轴对称，则= 6、对称性：（1）的对称轴为，；对称中心为，（2）的对称轴为，；对称中心为，例10函数的图象的一条对称轴的方程是（ ）A B C D 练9.函数 的对称轴是 例11设函数的一条对称轴是直线， 求的值例12函数的对称中心是 练10.函数的对称中心是 任务三、巩固训练一、选择题1函数的图象 （ ） A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D关于直线x=对称2函数的最小正周期是（ ） A B C D3. 已知的定义域为( )A. B. C. D. 4不等式的解集为（ ） ABCD5函数ysin（2x）图象的一条对称轴方程是 ( ) A B C D6.函数的图象 （ ） A关于点对称 B关于直线对称 C关于点对称 D关于直线对称7 函数为增函数的区间是 ( )A. B. C. D. 8.已知函数，下面结论错误的（ ） A函数的最小正周期为 B函数在区间上是增函数 C函数的图像关于直线对称 D函数是奇函数9.函数的一个单调增区间是 （ ） A B CD10.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离 的最小值，则的最小正周期是 A B C D 二、填空题11.最小正周期为，其中，则 .12.已知函数（、为常数），且，则 .13函数的周期是 ，对称轴是 ，对称中心是 ， 单调递增区间是 .14. 比较的大小 .15. 下列命题中正确命题的序号是 （1）的图象向左平移，得的图象.（2）的图象向上平移2个单位，得的图象.（3）的图象向左平移个单位，可得的图象.（4）的图象由的图象向左平移个单位得到.三、解答题16.用五点法画出函数的简图17.求下列函数的定义域（1）（2） （3）18求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x的取值集合.（1） （2）19.求下列函数的值域：（1） （2） （3）20.求下列函数的最小正周期.（1） （2） （3）21.判断下列函数的奇偶性.（1）（2）（3）22.已知定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，的内角满足，求角的取值范围.1.4.3 正切函数的图象与性质 学习目标：1.熟练运用正切函数的图象与性质解题.2.能借助正切函数的图象探求其性质. 学习重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象、性质的研究. 学习过程：任务一、课前准备（预习教材P42 P45，找出疑惑之处）任务二、新课导学复习回顾：1.正切函数的定义域： ，周期： .2.作正切线. 设置情境：前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质.知识探究1.利用正切线绘制在内图象.（将单位圆左移到y轴的左侧，正切线的大小和方向不变，不影响其应用）2.观察正切函数在定义域内的图象，填写正切函数性质：（1）定义域： .（2）值 域： .（3）周期性： .（4）奇偶性： .（5）单调性： .（6）对称性： .任务三、例题分析例1.求函数的定义域 .练1.求下列函数的定义域.（1） （2） 例2.求函数的值域.练2. 求函数的值域.例3.比较大小：与练3.比较大小：与例4.求函数的单调区间. 练4.求函数的单调区间. 例5.函数的周期为 . 练5.函数的周期为 . 结论：的周期为 .例6.求函数的对称中心 .例7.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围： 练6.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围： 任务四、巩固训练一、选择题1函数的定义域是（ ）A且 B且C且 D且2函数y=tan (2x+)的周期是 ( )A B2 C D 3已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是 ( )Aabc Bcba Cbca D bac4在下列函数中,同时满足(1)在(0,)上递增；(2)以2为周期；(3)是奇函数的是 ( )A y=|tanx| B y=cosx Cy=tanx Dy=tanx 5函数y=lgtan的定义域是 ( )Ax|kxk+,kZ Bx|4kx4k+,kZ Cx|2kx2k+,kZ D第一、三象限6函数 的图像对称于（ ）A原点B 轴C 轴D直线 7函数 的一个对称中心是（ ） ABCD8函数 的图像相邻的两支截直线 所得线段长为 ，则 的值是（ ）A B0 C1 D19已知函数y=tanx在(-,)内是单调减函数,则的取值范围是 ( )A0 1 B -10 C1 D -110如果、(,)且tantan，那么必有 ( ) A C + D+二、填空题11函数y=2tan(-)的定义域是 ,周期是 12函数y=tan2x-2tanx+3的最小值是 13函数y=tan(+)的递增区间是 14下列关于函数y=tan2x的叙述：直线y=a(aR)与曲线相邻两支交于A、B两点,则线段AB长为；直线x=k+,(kZ)都是曲线的对称轴;曲线的对称中心是(,0),(kZ),正确的命题序号为 三、 解答题15求下列函数的定义域（1） （2）16判断下列函数的奇偶性（1） （2）17（1）函数的大小关系是（用不等号连接）（2）若,试比较的大小18已知、,且tan(+)tan(-),求证: +19（1）求函数的单调区间（2）若x，求函数y2tanx1的最值及相应的x值20.是否存在实数，使得函数在时是单调递增的？若存在，求出的一个值；若不存在，说明理由
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