以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 经典母题 如图 Z13 1 DB 为半圆的直径 A 为 BD 延长线上的一点 AC 切半圆于点 E BC AC 于点 C 交半圆于点 F 已知 AC 12 BC 9 求 AO 的长 图 Z13 1 经典母题答图 解 如答图 连结 OE 设 O 的半径是 R 则 OE OB R 在 Rt ACB 中 由勾股定理 得 AB 15 AC2 BC2 AC 切半圆 O 于点 E OE AC OEA 90 C OE BC AEO ACB 解得 R OEBC AOAB R9 15 R15 458 AO AB OB 15 R 758 思想方法 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形 从而得 到相似三角形 利用比例线段求 AO 的长 中考变形 1 如图 Z13 2 在 Rt ACB 中 ACB 90 O 是 AC 边上的一点 以 O 为圆心 OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D 连结 OD 1 求证 ADO ACB 2 若 O 的半径为 1 求证 AC AD BC 证明 1 AB 是 O 的切线 OD AB C ADO 90 A A 图 Z13 2 2 ADO ACB 2 由 1 知 ADO ACB ADAC ODBC AD BC AC OD OD 1 AC AD BC 2 2017 德州 如图 Z13 3 已知 Rt ABC C 90 D 为 BC 的中点 以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 AE EB 1 2 BC 6 求 AE 的长 图 Z13 3 中考变形 2 答图 解 1 证明 如答图 连结 OE EC AC 是 O 的直径 AEC BEC 90 D 为 BC 的中点 ED DC BD 1 2 OE OC 3 4 1 3 2 4 即 OED ACB ACB 90 OED 90 DE 是 O 的切线 2 由 1 知 BEC 90 在 Rt BEC 与 Rt BCA 中 B B BEC BCA BEC BCA BEBC BCBA BC 2 BE BA AE EB 1 2 设 AE x 则 BE 2x BA 3x BC 6 6 2 2x 3 x 解得 x 即 AE 6 6 3 如图 Z13 4 已知 AB 是 O 的直径 BC AB 连结 OC 弦 AD OC 3 直线 CD 交 BA 的延长线于点 E 1 求证 直线 CD 是 O 的切线 2 若 DE 2BC 求 AD OC 的值 图 Z13 4 中考变形 3 答图 解 1 证明 如答图 连结 DO AD OC DAO COB ADO COD OA OD DAO ADO COD COB 又 CO CO OD OB COD COB SAS CDO CBO 90 即 OD CD 又 点 D 在 O 上 直线 CD 是 O 的切线 2 由 1 知 COD COB CD CB DE 2BC DE 2CD AD OC EDA ECO ADOC DECE DEDE CD 23 4 2016 广东 如图 Z13 5 O 是 ABC 的外接圆 BC 是 O 的直径 ABC 30 过点 B 作 O 的切线 BD 与 CA 的延长线交于点 D 与半径 AO 的延长线交于点 E 过点 A 作 O 的切线 AF 与直径 BC 的延长线交于点 F 1 求证 ACF DAE 2 若 S AOC 求 DE 的长 34 3 连结 EF 求证 EF 是 O 的切线 4 图 Z13 5 中考变形 4 答图 解 1 证明 BC 为 O 的直径 BAC 90 又 ABC 30 ACB 60 又 OA OC OAC 为等边三角形 即 OAC AOC 60 AF 为 O 的切线 OAF 90 CAF AFC 30 DE 为 O 的切线 DBC OBE 90 D DEA 30 D CAF DEA AFC ACF DAE 2 AOC 为等边三角形 S AOC OA2 34 34 OA 1 BC 2 OB 1 又 D BEO 30 BD 2 BE DE 3 3 3 3 3 证明 如答图 过点 O 作 OM EF 于点 M OA OB OAF OBE 90 BOE AOF OAF OBE SAS OE OF EOF 120 OEM OFM 30 OEB OEM 30 即 OE 平分 BEF 又 OBE OME 90 5 OM OB EF 为 O 的切线 5 2017 株洲 如图 Z13 6 AB 为 O 的一条弦 点 C 为劣弧 AB 的中点 E 为优弧 AB 上一点 点 F 在 AE 的延长线上 且 BE EF 线段 CE 交弦 AB 于点 D 1 求证 CE BF 2 若 BD 2 且 EA EB EC 3 1 求 BCD 的面积 5 图 Z13 6 中考变形 5 答图 解 1 证明 如答图 连结 AC BE 作直线 OC BE EF F EBF AEB EBF F F AEB 12 C 是 的中点 AB AC BC AEC BEC AEB AEC BEC AEC AEB AEC F CE BF 12 2 DAE DCB AED CEB ADE CBE 即 ADCB AECE ADCB 35 CBD CEB BCD ECB CBE CDB 6 即 BDCB BECE 2CB 15 CB 2 AD 6 AB 8 5 点 C 为劣弧 AB 的中点 OC AB 设垂足为 G 则 AG BG AB 4 12 CG 2 CB2 BG2 S BCD BD CG 2 2 2 12 12 6 如图 Z13 7 AB 是 O 的直径 C 为 O 上一点 AE 和过点 C 的切线互 相垂直 垂足为 E AE 交 O 于点 D 直线 EC 交 AB 的延长线于点 P 连 结 AC BC PB PC 1 2 1 求证 AC 平分 BAD 2 探究线段 PB AB 之间的数量关系 并说明理由 图 Z13 7 中考变形 6 答图 解 1 证明 如答图 连结 OC PE 是 O 的切线 OC PE AE PE OC AE DAC OCA OA OC OCA OAC DAC OAC AC 平分 BAD 2 线段 PB AB 之间的数量关系为 AB 3PB 理由 7 AB 是 O 的直径 ACB 90 BAC ABC 90 OB OC OCB ABC PCB OCB 90 PCB PAC P 是公共角 PCB PAC PC 2 PB PA PCPA PBPC PB PC 1 2 PC 2PB PA 4PB AB 3PB 7 2016 枣庄 如图 Z13 8 AC 是 O 的直径 BC 是 O 的弦 P 是 O 外 一点 连结 PA PB AB 已知 PBA C 1 求证 PB 是 O 的切线 2 连结 OP 若 OP BC 且 OP 8 O 的半径为 2 求 BC 的长 2 图 Z13 8 中考变形 7 答图 解 1 证明 如答图 连结 OB AC 是 O 的直径 ABC 90 C BAC 90 OA OB BAC OBA PBA C PBA OBA 90 即 PB OB PB 是 O 的切线 2 O 的半径为 2 OB 2 AC 4 2 2 2 8 OP BC BOP OBC C 又 ABC PBO 90 ABC PBO 即 BC 2 BCBO ACPO BC22 428 8 2017 聊城 如图 Z13 9 O 是 ABC 的外接圆 O 点在 BC 边上 BAC 的平分线交 O 于点 D 连结 BD CD 过点 D 作 BC 的平行线 与 AB 的延长线相交于点 P 1 求证 PD 是 O 的切线 2 求证 PBD DCA 3 当 AB 6 AC 8 时 求线段 PB 的长 图 Z13 9 中考变形 8 答图 解 1 证明 圆心 O 在 BC 上 BC 是 O 的直径 BAC 90 如答图 连结 OD AD 平分 BAC BAC 2 DAC DOC 2 DAC DOC BAC 90 即 OD BC PD BC OD PD OD 为 O 的半径 PD 是 O 的切线 2 证明 PD BC P ABC ABC ADC P ADC 9 PBD ABD 180 ACD ABD 180 PBD ACD PBD DCA 3 ABC 为直角三角形 BC 2 AB 2 AC 2 6 2 8 2 100 BC 10 OD 垂直平分 BC DB DC BC 为 O 的直径 BDC 90 在 Rt DBC 中 DB 2 DC 2 BC 2 即 2DC2 BC 2 100 DC DB 5 PBD DCA 2 即 PB PBDC BDAC DC BDAC 52 528 254 中考预测 2017 黄冈模拟 如图 Z13 10 AB 为 O 的直径 CD 与 O 相切于点 C 且 OD BC 垂足为 F OD 交 O 于点 E 证明 1 D AEC 2 OA2 OD OF 图 Z13 10 中考预测答图 证明 1 如答图 连结 OC CD 与 O 相切于点 C OCD 90 OCB DCF 90 D DCF 90 OCB D 10 OB OC OCB B B AEC D AEC 2 B AEC D B OD BC BFO OCD 90 BOF DOC 即 OCOF ODOB OAOF ODOA OA 2 OD OF