九年级学生相似形概念的范希尔几何水平的调查.doc

九年级学生相似形概念的范希尔几何水平的调查 目录目录1摘要21前言 1.1问题的提出 1.1.1 研究背景7 1.1.2 研究课题9 1.1.3 研究意义10 1.2 相关概念界定1.2.1 相似形概念11 1.2.2 范希尔几何11 1.3相关研究 2.1.1国外研究现状14 2.1.2国内研究现状15 2 研究对象与研究方法 2.1研究对象：九年级学生16 2.2研究设计16 2.3研究方法2.3.1 文献资料法182.3.2 专家访谈法182.3.3 问卷调查法182.3.4 数理统计法182.3.5 逻辑分析法183 调查研究 3.1 调查测试题目的编制 3.1.1 几何思维19 3.1.1 范希尔几何思维的五个水平193.2 调查的实施过程21 3.3 调查结果的数据整理和分析22 4 结论和教学建议 4.1 研究的主要结论24 4.2 教学建议25 4.3研究不足28参考文献附件后记 摘要几何教学是一门十分重要的教学课程，它有助于培养学生合理推理的思维习惯、有利于培养学生科学的世界观和理性精神、有利于培养学生严谨的数学精神、品质以及思想。但在实际的几何学习过程中，学生总是存在着各种各样的问题，导致对于几何的学习十分困难。范希尔夫妇根据自身的几何教学经验以及学生在几何学习过程中所遇到的几何教材所使用的语言与专业知识与学生思维水平不相符合的情况，结合皮亚杰的认知发展理论，最终他们在1957年发表的乌特勒克大学的博士论文上提出了范希尔几何思维水平这样一个理论。该理论主要包括两个核心内容：一是学生的几个思维水平；二是与这样一个几何思维水平相对应的五个教学阶段。该理论在提出后，迅速被运用到苏联和美国的几何教学中，并取得了惊人的成果。发展到二十世纪八十年代，范希尔几何思维水平逐渐成为几何教学研究的一个热点。即使是发展到21世纪的今天，范希尔几何思维水平仍然具有相当大的研究价值和实用价值。因此，本文就传统的范希尔几何思维水平进行了创新性的研究，将这样一个对整个学生几何学习进行分析研究的思维水平运用到对某一个阶段的学生对某一个几何知识点的学习研究之上。换而言之，本次课题研究就是把范希尔几何思维水平用来对九年级学生相似性概念的学习进行分析研究。在研究方法上本次课题研究主要采用了文献资料收集法、专家访谈法、调查问卷法以及数据统计分析法等。本次课题研究的主要内容是运用范希尔几何思维水平对九年级学生相似性概念的学习进行分析研究。具体内容框架如下：第一部分，是前言部分，在该部分，笔者对研究过程中需要的理论基础以及一定的研究背景、研究意义进行了简单的分析。第二部分，是对研究对象和研究方法的简单分析介绍。在研究对象上，由于多方面的原因，本次课题研究只是随机抽取了1191名学生进行了问卷调查。第三部分，是对整个问卷调查研究实施过程的简单陈述以及对整个问卷调查的数据进行的统计分析。第四部分，结论部分。在该部分，笔者结合本次问卷调查研究的数据分析，从学生和教师两个角度，提出了自己的教学建议。此外，在该部分也简单分析了，在本次课题研究中存在的不足之处。关键词：范希尔；几何思维；相似性；九年级 The Srvey about The Van Hill Geometric Level on The Similar Figures Concept of Ninth Graders Abstract Geometric is a very important course.It can helps to cultivate the habit of to thinking reasonable of the students.It can hepls to cultivate scientific worldview and rational spirit of the students.It can helps to cultivate the rigorous mathematical spirit and quality, thought of the students.But in actual the learning process of geometry, students always exist various problems, this has caused the studying of geometric become very hard for the students .The couple of Van Hill according to the geometry teaching experience of themselves and the problems that students have met in the learning process of the geometry -the language and professional knowledge that the geometry teaching material had used was not match with the thinking level of students.Combined with the theory of cognitive development of Piaget,Eventually they puts forward The Van Hill geometrical thinking level such a theory,on the doctoral thesis of Blacks Leg University which announced in 1957.There are two cort content includes in this thory,mainly.The first one is the several thinking level of the students. The second is five teaching stage which based on the thinking level of geometrical. After this theory has been put forward,it was used to taeching of thegeometry by the Soviet Union and the United States,soonly,and they had make a amazing achievements.Evevn through in the development of the 1980s,The Van Hill geometrical thinking level still has its own considerable value of research and practical.Therefore,on the basis of the traditional research of The Van Hill geometrical thinking level,this article has done a innovative research.Using the students learning geometry analysis research thinking level to studyt a certain stage of the students to a certain geometry knowledge.In other words,this research is use The Fan Hill geometrical thinking level to analysis the learning concept similarity of the nine grade students.In the method of the research , this research mainly adopts the method of the collection of literature data, interview the expert, the questionnaire and the statistical analysis of data, etc. The main content of this research is use The Van Hill geometrical thinking level to analysis the study on the concept of similarity in nine year students.The framework of the specific cotent is as follows:The first part is foreword part.In this part ,we have analysis the Foundations of the theory ,the background of the research and the significance of the research which needed in the study of process.The second part, is the introduced to theresearch object, and study method.Due to the various reasons,we only choice 1191students by random in the questionnaire survey.The third part is the statement to theProcess of the questionnaire investigation and the analysis of the questionnaire survey and the statistical of the data.The fourth part is a conclusion.In this part, on the basis of the analysis of questionnaire investigation data , the author puts forward his own suggestion from point of the students and teachers.In addition, I have analysis the insufficiency place.in ths research.Keywords:Van Hill;Geometrical thinking;Similarity;Nine year 九年级学生相似形概念的范希尔几何水平的调查 一、前言1.1问题的提出 1.1.1研究背景 数学主要是一门研究物质世界的位置、形状、结构、变化、数量以及空间模型等概念的自然学科。几何是数学中最基本的研究内容之一，它主要研究的是物体的位置、形状和大小的改变等空间的结构和性质。按照国际数学教育委员会的观点, “几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具,也许是数学中最直观、具体和真实的部分”。在发展过程中，数学家不断的将数学的理论和知识运用到几何之中，使得几何与数学之间的结合密度日益密切，几何也不再是最开始纯粹的几何。因此，我们可以说一部几何学的发展史，就是各种各样的描摹现实世界的数学框架。一般来说，人们对于几何的认识，应该是人们开始认识到的时间的几何模型也就是时间和实数集形成一一对应关系的一维直线；古希腊数学家在这些认识基础上建立起研究点、线、面三者间关系的公里体系，从而促使了欧式几何学的诞生；发展到笛卡尔时代，笛卡尔将数学的坐标系引入到几何之中，用三元有序数组来描述欧式几何空间里的点，用参数方程式来表示几何空间的曲线和曲面，将代数的研究方式运用到几何的研究中来，这就在一定程度使几何描述世界变得更加精华，从而诞生了解析几何学；数学家对欧式几何平行公理的进一步研究，发现欧式几何的公理体系并非在任何时候都能满足几何的研究，并且在现实世界里也并非只存在一种几何，在此基础上变诞生了非欧学；后来又诞生了以研究几何图形各种变换后的变和不变的射影几何学；高斯将微积分的原理运用到曲线和曲面的弯曲程度的解释之中，从而诞生了微分几何；爱因斯坦之后创立构建了“狭义相对论”和“广义相对论”，“狭义相对论”是将一维的时间和三维的空间放在一起，从而构建数学的思维空间以研究现实世界，“广义相对论”是将高维几何和微分几何相结合以研究宇宙空间。在几何这样一个历史发展长河之中，几何课程也在不断和丰富和发展着自己。从观察几何、实验几何,到欧几里德的综合几何；从变换几何、向量几何到以线性代数、群论为基础的现代几何。这一个世纪以来，几乎每一种几何都曾经做过几何兴衰史的见证人,直到今天它们仍然在世界各国的中学课程中保留着自己的足迹。因此，可以说,每一种几何都有其自身存在的价值和意义。 古希腊著名的哲学家柏拉图同时是一个伟大的教育家，其在理想国一书中提出了自己的教育理念，强调学生理性思维的培养，其更是十分重视几何学科的教育。他甚至在其创办的柏拉图学院的门前树立了一块“不懂几何者不得入内”的牌子。因为在他看来几何是一门要求严谨思维、理性思维与推理思维、逻辑演绎能力和丰富想象力的学科。 （1）、几何有助于培养学生合理推理的思维习惯。全日制义务教育数学课程标准历来都十分强调对学生合理推理能力的培养，其（发改稿）强调数学教育的目的不仅仅是让学生了解和掌握现代生活和学习中必须具备的数学知识和技能，更重要的是要培养学生科学推理和思维创新等方面的能力。尤其是在中学阶段培养学生合理推理能力最有时效性的训练手段便是几何教育。几何教育是让学生学会运用不同的方式方法解决问题，对所需证明的几何结果形成自己合理的猜想，为具体问题的解决提供更为直观的模型，从而养成讲求理据、讲求严谨性、讲求条理化的理性思维习惯；此外，几何是一门十分强调逻辑思维能力和推理能力的学科。因此，学生在对几何课程进行学习的过程就是一个不断的培养和提高自身几何逻辑思维能力和推断力的过程。 （2）、几何有利于培养学生科学的世界观和理性精神。爱因斯坦曾经说过:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的我这里说的是欧几里德几何。”从爱因斯坦的这句话我们可以看出，几何是一个精密的逻辑体系，从最简单明了的基础学习、各种逻辑演绎法推理的运用到一些列重要结论的有序推导出，这些都需要一定严谨的逻辑推理能力，而正是几何的这种严谨的逻辑推理能力有助于学生在学习几何的过程中培养理性的精神和形成科学的世界观；（3） 、有利于培养学生严谨的数学精神、品质以及思想。日本著名的教育家米山国藏曾经说过，“成功的数学教育，应当是数学的精神、思想方法深深地永远地铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时，数学的知识可能已经淡忘了。”所谓的数学精神是指敢于思考，在逆境中顽强思索的精神。在几何的学习过程中，大部分在遇到几何问题时都能够通过积极的思考添加辅助线等解决问题。几何越是难度大、越具有挑战性，越能激发学生的求知欲和探索欲，让他们在逆境中思考。所谓的数学品质是指学生在数学学习过程中所形成的“求真”、“求实”的品质。几何的学习能够让学生在逐步的学习过程中理性的判断真假，从而深刻的认识到“真是来不得半点虚的”的哲学道理，从而形成“求真务实”的思想品质。在思维上，几何添线与构造，联想与类比，直觉与变换等几何方法教会了学生如何围绕一个中心，进行灵活多变的探索，从而培养学生自我的创新意识。但在实际的几何教学中学生却是存在着各种各样的问题：其一、学生对几何概念和定理的理解，很多的是停留在文字表面，只会纸上谈兵。很多学生是理论学会了，掌握了，但在实际操作中却常常不知道该怎样用理论指导实践，将理论和实践相结合。此外，对于公式、概念、定理学习，许多学生也是学过就忘了。 其二、学生的空间想象力的发展还相当滞后。几何一般都是通过图形的变换等方式进行构建自己的体系。因此，在几何中常常会遇到三维图形，甚至是一个或几个的几何图形叠加，这就需要学生必须要具有一定的空间想象力。但很多学生由于空间想象力的滞后，在遇到几何中的立体图形和多个复杂的图形时常常会出现看不懂、头大的现象。其三、学生十分害怕做几何证明题。虽然在实际课程中学生学习过如何进行几何证明，但一旦到实际操作中学生却不知道该从何处该从何处下手，同时也不知道到哪一步才算是证明出来了。其四、由于学生具有形象思维的认知特点，并且过多的依赖于具体的操作和实际的经验，这就使得学生在根据前提推到结论的演绎推理过程中时常会使用非逻辑的演绎方式进行推理。其五、学生很少具有很强的“数学问题解决”意识，遇到需要添加辅助线的题型是不知所措，徘徊在模仿做现成题的阶段。 基于以上几何发展的历史、几何独特的教育价值以及学生学习几何中存在的问题，范希尔夫妇提出了范希尔几何水平的教育理念。范希尔夫妇（Van Hieles）认为，“学习过程是由各层次构成的，用低层次的方法组织活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材。”1.1.2、研究课题 本论文研究的课题是九年级学生对于相似形概念的范希尔几何水平的调查。本论文针对的调查研究对象是使用华师大版九年级数学教材的学生。此外，本论文以华师大版九年级数学教材的课程设计为标准，确定九年级学生的几何课程主要是相似图形的学习。本研究课题主要是针对学生在学生几何过程中存在的纸上谈兵、想象力滞后、害怕做几何题等问题，运用范希尔几何思维水平以华师大版九年级数学教材的课程设计为标准，确定九年级学生几何课程的主要内容是相似图形的学习，从而针对九年级的学生做了一份“九年级学生相似形概念的范希尔几何水平调查”的问卷调查。本次问卷调查主要题型有判断题、选择题、填空题、简单题、证明题等，调查内容则主要包括：相似图形的判断、位似图形的判断、图形的放大、相似性图形的求证、相似概念的判断题和一些相关的简答题等。本次问卷调查主要是为了了解学生对于“相似形”中的一些基本概念、性质、定理的认识、理解和掌握，以及学生利用这些理论进行几何证明的情况，以便教师在以后的教学过程中更具有针对性和有效性，学生也能够通过这次水平调查对自己的几何学习进行查缺补漏。本论文通过整理综合运用文献资料法、专家访谈法、问卷调查法、数据统计法以及数据析法等方式方法获取调查数据，并对调查结果的数据进行分析和整理，再将这些数据与范希尔夫妇的几何思维水平相结合，分析九年级学生在相似形上的几何思维水平，从而使得九年级的几何教师在以后的教学过程中能够做到有的放矢、因材施教，使教师和学生在相似性的学习上都能够轻松快乐的教和学。1.1.3、研究意义 范希尔几何思维水平是将所有学习几何对象纳入其中进行水平的划阶段分析，而本论文主要是针对九年级的学生进行问卷调查，从学生整个几何学习中截取一个知识点相似概念作为一个整体进行分析，并采用同样的方法，选取几何学习上一个阶段的学生九年级学生，作为调查对象。本次课题研究的创新之处在于用范希尔整体的阶段性理论对一个阶段的对象、一个知识点进行整合分析。本次问卷调查的主要目的是为了了解学生对于“相似形”中的一些基本概念、性质、定理的认识、理解和掌握，以及学生利用这些理论进行几何的情况。再用 范希尔几何思维水平对调查的数据进行分析和整理，对九年级学生对“相似性概念”的掌握情况进行水平性的分析。其研究意义主要有以下几点： （1）、对于学生而言，九年级学生相似形概念的范希尔几何水平的调查分析可以让学生认识到自己在相似概念阶段的几何水平，做好对自己的定位，以便取长补短。本研究根据范希尔几何思维水平将学生相似形水平分为五个阶段：0水平阶段（前认知）；1水平：感受相似阶段（直观化）；2水平：分析相似阶段（描述与分析）；3水平：关系与推理阶段（抽象与关联、非形式化论证）；4水平：形式演绎阶段；5水平：拓展阶段（严密性元数学）。九年级学生可以根据这五个阶段的水平进行对号入座，找到自己相似性所在的水平位置，从而在以后的学习过程中能够进行有针对性的阶段性学习。（2）、对于教师而言，教师可以根据该项调查研究的分析对自己所教授的学生进行一次相似性的几何思维水平的分段分析，使自己对每一个学生的相似性几何思维水平都有一个相应的了解，从而做出具体的教学分析。只有充分的了解学生个体和整体的几何学习特点和水平等，教师才能在以后的教学过程中做到因材施教、有的放矢，从而使教师和学生在相似性概念的学习上都能做到轻松快乐的学和教，实现数学教学和教育的目的。（3）、对于教材编制方而言，九年级学生相似性概念的范希尔水平的调查可以为他们以后的教材编制提供一定的编制依据。教材的编制不是凭空编制的，它必须以学生的学习水平和思维能力为基础来开展相应的编制工作和做相应的调整工作。而本课程的主要研究便是针对九年级学生相似性概念的水平分析和研究。虽然笨课程研究是对九年级学生相似性概念的分阶段研究，但在这个分阶段的思维水平研究的基础上，同样在一定程度上反映着整个九年级学生对于相似性概念的把握程度和学习水平。1.2 相关概念的界定 1.2.1、相似性概念 相似性是人感官上对事物内在联系的一致性的认识。在语文里，相似性表现为比喻、拟人等修辞手法；在哲学里，相似性表现为实物间的内在联系或共性等；在数学里，相似性表现为相似数学和相似几何等。这些的共性都在于人的形象思维、逻辑思维、数学思维对于事物的认识度（即你对事物的认识越是深刻，就越能把握事物之间的本质联系），这也就是所谓的相似性。几何中的相似性概念则是投影几何中的一项不变性质。华师大版九年级的数学教材将具有相似性性质的图形定义为：日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形。 1.2.2、范希尔几何 范希尔妇是荷兰的数学教师，他们发现在实际的几何教学过程中存在着许多有关几何的问题，并且学生的思维水平也不能满足教材和作业中对语言和专业知识的要求。由于这一些列的问题，范希尔夫妇开始关注到皮亚杰的认知发展理论，将皮亚杰的理论与自己的实际教学相结合，经过实践和理论两方面的长期探索，他们最终提出了几何思维的五个水平，并逐步完成了对范希尔理论的完整构建。范希尔夫妇曾说过：“学习过程是由各层次构成的，用低层次的方法组织活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材。”对于这段话荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔进行了另一个角度的阐述：人们不懂音乐理论仍可以唱歌，不学机械力学照样可以获得熟练的手艺与实验技能，不掌握基本的天文学也可以了解天空，不研究语言照样可以熟练地说话。而数学必须将学生提高到更高层次，如果不是全面提高，也至少要在某部分上提高，那样他才能理解最低层次活动的意义。从这段话我们可以看出，学生几何思维水平层次的提高不会随着学生年龄的增加、生理的成熟而提高，而是依靠于逐步的教和学。因此，范希尔夫妇将逐步教和学过程中他们将学生几何思维的发展分为5个水平，后来又将这5个水平合并为3个水平。但是绝大多数研究学者还是更为认同5个水平的划分，他们认为5个水平更能够细致、准确的描述学生的几何思维水平。后来，学者将范希尔理论作为作为基础，结合皮亚杰认知发展的观点进行研究，表明还有一个更为原始的思维水平：0水平存在在范希尔水平之前。因此，经过逐步发展和完善的范希尔几何思维水平应该包括以下几个阶段： 水平0：前认知阶段。这个阶段的特征是学生仅能凭自己视觉的整体感知来区分一些基本的直观图形。如：不能很好的区别三角形和正方形，但能够区分圆和正方形。在这个水平阶段的学生能够识别一些“相同的形状”，其推理对象也只是一些触觉的刺激或具体的形象。 水平1：直观化阶段。这个阶段学生在心理上把图形转化为直观图形，并能够按照图形的轮廓来辨别和操作形状以及一些另外的几何图形。比如：学生所说给的图形是三角形，因为在他们看来三角形的图形外观看起来像座小山。但是，这个阶段的学生仅是通过已知的事物对图形进行联想记忆，而并不关心这些图形所表现出来的特征或这些图形所具有的几何性质。因此，在这个水平阶段，直觉决定了学生的推力行为。这个阶段的学生尽管不能说出图形的性质特征，但他们可以根据已学过的知识以及自己的直观化水平来判断图形以及图形是否全等。 水平2：描述/分析阶段。这个阶段的学生开始学会通过图形的性质来辨别图形以及确定图形所具有的基特征，并能够根据图形全部要素间的关系进行归纳建立一个图形的集合。他们识别图形并确定图形的特征主要是通过图形的性质，而不再是单纯的直观化认知。比如：一个学生可能会认为正方形是一个四条边和四个角均相等的图形。通过对图形性质的分析，学生可以正确的区别出两种不同的图形，但却不能看出两个图形间的关系。水平3：抽象/关联阶段。在这个阶段的学生能形成抽象和关联的能力。可以对图形形成抽象的定义、能够区分要领的充分条件和必要条件、能理解几何的逻辑论证、甚至有时候还能做出一些论证。能用层次分析方法对图形进行分类、并用非形式化的论证判别图形的类别和性质。同时，这个阶段也是学生推理能力和逻辑思维能力开始建立的阶段。随着学生对不同图形性质的了解，会开始对这些图形性质进行分类的组织，而组织分类正是正确推理的第一步逻辑组织的表现。水平4：形式推理阶段。这个阶段的学生能够在公理化系统中建立理论。他们能够辨别未定义术语、公理、定理以及定义间的区别，构造原始的几何证明。即他们能够对作为“已知条件”的结果的进行逻辑上的判断，从而做出一些列的陈述。其推理的对象主要是图形分类性质间的关系；推理目的是为了建立关系之间的亚序关系，并用逻辑链在几何系统中表述出来。 水平5：严密性/元数学阶段。这个阶段的学生能够在数学系统中进行形式推理。即使是没有模型类的参照物，他们也能独立的通过对定义、定理、公理的形式化操作对立的研究几何。他们推理的结果是建立几何公理系统并对其进行详细化的比较和阐释，其主要的推理对象时形式化结构之间的相互关系。对于范希尔几何思维水平发展模式的特点，不同的学者有着不同的描述。克劳雷认为该理论具有以下特点：其一、次序性。即学生的几何思维水平大发展过程是逐步渐进的过程。只有掌握好了前一个水平中的各种概念和理论，形成特定的几何水平，学生才能顺利的进入到下一个水平。换而言之，就是学生没有通过前认知阶段，便无法进入到直观化阶段。其二、进阶性。学生的几何思维水平不会随着年龄的增长或心理的发展而自然形成，它必须要经过一个逐步的教学过程。其三、内隐性及外显性。这是指某一水平的内隐性质会成为下一个水平的外显性质。比如：在下一个水平阶段可以通过外显的符号等表征工具使得上一个水平的个人化的模糊概念得到澄清。其四、语言性。即每个水平都有其特定的阶段性语言符号。在某一水平适用的语言符号可能到另一个水平就不再适用，而必须改成与另一个水平相适应的语言符号。其五、不适配性。如果教师的教学和学生的思维处在不同的水平，那肯定是不能取到预期的教学目标的。尤其是教师在教具选择、教材内容以及教学词汇等方面的选择都不符合当前学生的几何思维水平，学生将无法对其过程和结果进行正确的理解和思考。其六、不连续性。是指学生的几何思维水平的发展是跳跃式过程，而不是一个平缓过渡的过程。 发展到20世纪80年代，范希尔夫妇曾经将这样五个思维水平合并为三个。 （1）、直观水平。这个水平还是主要指的水平1。这个水平的学生只能够从整体上对几何的研究对象进行感性的认识。有学者曾经认为，这样一个阶段的学生一般是凭借对几何图形的外形形状来实现对图形的认识、命名，甚至是将这些图性进行比较和绘画描述。 （2）、描述水平。这一水平是将水平2和水平3相结合而构成。这个水平的学生能够通过对几何性质的认识了解来实现对几何研究对象的认识。由于这个水平是对水平2和水平3的融合，因此，学生对于几何的学习水平也差不多是处于两者之间。这一水平阶段的学生能够依据自身几何学习的经验来对几何图形的性质进行确定认识，并会灵活的将这些认识到的性质运用到实际的几何证明中去；此外，这一水平阶段的学生还能够通过对图形组成部分的认识以及对几何图形组成部分间的关系的分析来对几何图形进行整体性的认识。（3）、理论水平。这一水平基本上是将水平4和水平5融合在一起。发展到这一阶段的学生已经能顺利的运用几何逻辑演绎推理的方式对几何关系进行证明。这一个水平阶段的学生能够对几何相关的概念和定理等进行正确的接受和理解。并且，学生也能够对位于几何图形内部和几何图形之间的关系进行正确的理解和把握。除此之外，这个水平的学生已经具有一定的逻辑思维能力，能够熟练的运用“如果那么”这样一个逻辑思维模式。虽然，从根本上说，范希尔的五个思维水平和三个思维水平没有本质上的区别。但尽管范希尔后面提出的三个思维水平层次更加清晰，在提法上也更加接近于皮亚杰的一般认知心理理论，但就目前而言，使用的最多，最容易被人们接受的还是五个思维水平的分类方法。从上面的分析，我们知道学生的学习水平是一个逐步发展的过程，是由一个水平进入到下一个水平。但学生这种几何思维水平是经过不断的学习培养而成的。因此，学生的几何思维水平在一定程度上是离不开学习的。因此，针对这样一个水平发展阶段，范希尔夫妇相应的提出了5个不同的几何教学阶段。这样五个水平教学阶段分别为：学前咨询阶段、引导定向阶段、阐明阶段、自由定向阶段以及整合阶段。（1）、阶段1学前咨询阶段。这个阶段主要是教师和学生之间的双向交流。通过交流，教师对学生的理解能力等各方面进行了一定的了解，再在此基础之上对学生进行相应的几何教学，从而帮助学生正确的理解自己所需要理解掌握的学习内容。并根据学生的具体学生情况，确定下一步的教学计划。（2）、阶段2引导定向阶段。在这样一个阶段过程中教师主要是一个引导者的身份，对学生学习的学习活动、学习步骤等进行详细而科学合理的安排。让学生明确自身学习的目标，并且能够朝着这样一个目标有条不紊，坚定不移的迈进。在这样一个教师实行引导定向的阶段，在这个环节上的许多活动都是可以引起一定特定反应的步骤。（3）、阶段3阐明教学阶段。通过前面两个学前咨询和引导定向阶段，学生已经能够对相应词汇的意义进行明确和了解，并且，也能够正确的表达自己对于内在结构的一些看法。在这些基础，教师就可以开展对于学生的阐明教学。让学生通过这样一个阶段的学习，能够形成一定的学习关系系统。1984年，范希尔曾经这样一个教学阶段，指出：在这个阶段的学习过程中，学生在课堂上对自己所观察到的结构知识的讨论以及语言符号的正确使用等，都可以帮助学生获得相应的经验知识，促进学生不断的成长。因此，为了使学生在该阶段能够获取正确的语言符号信息，教师应该在讨论的过程中，要对自己的习惯用词进行相应的注意。而在阐明阶段的教学设计，主要是帮助学生形成一定的关系系统。（4）、阶段4自由定向阶段。在自由定向的阶段，学生在学习上开始所遇到一些多部作业或者要运用多种步骤方式才能完成的作业。在这样对作业进行发现问题、寻找解决方法以及最后解决问题这样一个不断探索发现的过程中，学生通过自主的学生发现问题、解决问题，从而为自己的学习获取了相应的经验。并且，在这样一个探索发现的学习过程中，学生可以逐步确定自己所要进行的学习领域的方向。并且，对于学习对象之间的关系认识也会在这样一个学习过程中日渐清晰。按照范希尔最初的观点，认为：这个阶段主要就是学生在其所知道的范围内进行不断的自主探索性学习。（5）、阶段5整合教学阶段。在通过前面几个阶段的不断学习，学生的几何思维水平已经发展到一定的水平。因此，发展到这个阶段的学生已经具备一定的自主学习能力。并且也能够开始对自己在学习过程的知识、经验等进行综合的分析整合。换而言之，这些学生就已经开始进入到范希尔五个学习阶段的第五个阶段整合教学阶段。在这样一个阶段，学生已经具备一定的自我分析整合能力，因此，他们能够对自己在学习过程中所使用的知识点和方法等进行一定的总结，并能够在这样一个整合分析的过程中形成自己一定的观点。他们还能够将这些内化融合到一个新的思维领域内。因为，这样一个阶段是学生的一个整合教育阶段，因此，在这样一个过程中，除了学生需要不时的对自己的学习进行整合分析，教师也要不时的对学生的学习过程作一个全面性的述评，从而给予学习过程中的学生以正确的、及时的知道，帮助学生顺利的完成自身的一个学习过程。1.3 相关研究1.3.1国外研究现状 范希尔几何思维水平最初是 范希尔夫妇已博士论文的形式发表的。该论文一经发表，便很快引起了前苏联学者的关注，1963年皮什卡罗久对该论文做了详细的报道。美国在十年之后才考试了解 范希尔的理论。芝加哥大学的威兹普在1974年召开的大西洋城全美数学教师学会（简称NCTM）上，正式将范希尔的思想以及其前苏联几何教学的“惊人进展”介绍给了美国的学者。这些使得全世界开始对范希尔理论进行广泛的关注，使之成为几何教学研究的一个热点。 1968年，前苏联学者皮什卡罗参考范希尔的论文，设计了一项新的八年级几何教学大纲。在大纲里，他根据范希尔理论的几个水平分析了了在1960年的18年级学生所使用的学习材料进行了达四年的长期调查研究。其主要发现包括：其一、在前五个年级中，大部分的儿童对图形的认知都是“整体”上的感知。其二、学生在范希尔水平0停留的时间较长，只有10%15%的学生能在五年级末的时候达到水平2的。其三、学生到七年级才能对立体图形进行理解。其四、为促进学生的发展可以对其进行有目的性的几何材料学习，如让2年级的学生熟悉立体可以使他们提前达到水平，超过传统学校7年级的进度。其五、小学儿童的有序思维能力要比人们通常所认为的要高，也比传统教学开始时的水平要高。在这些研究的基础上，皮什卡罗最终提出了“学生几何发展的连续路线”。 弗斯等人利用利用范希尔水平对美国的三套K8年级的数学教材进行了分析评估。维特曼等人还利用范希尔思维水平对日、美两国几何教材中的范希尔水平差异进行了对比性的分析研究。 尤西斯金在芝加哥大学针对近2900名学习高中几何的学生开展了一项题为“中学生几何课上学生认知的发展和成就”的研究，确定了所研究对象所处的认知发展阶段以及学生数学基础知识的水平对他们掌握几何概念和证明的影响。其初步研究结果包括：其一、有8%的初中生在纸笔测验中显示，其可以达到范希尔水平3以上。其二、范希尔几何思维水平与几何测验分数间有显著地关系。其三、部分学生的解答介于两个水平之间，难以判断属于某一水平。其四、有40%的学生在完成中学几何课程后其几何发展仍然处于范希尔水平3一下。其五、范希尔水平在性别间存在着差异现象。其六、利用范希尔几何思维水平可以预测学生在综合几何的学习上可能会遇到的困难。尤西斯金的研究还发现大约75%的中学生适用于范希尔模式。 伯格和肖内西通对从幼儿园到大学不同阶段的学生实施诊断性谈话，发现学生的行为与范希尔夫妇关于思维水平的一般描述相一致。DavidFuys等人曾通过6-8次45分钟的教学评估对话方式结合范希尔几何思维理论来研究学生在不同水平或者同一水平能力的发展。1.3.2 国内研究现状李明振(1989) 根据对初中二年级的部份测试分析以及他的实地调查研究，结合范希尔几何思维水平理论，对当时贵州边远民族地区初二学生的几何思维水平作描述性“度量”。他发现：50%的学生尚基本处于水平2并有向水平三过度的迹象；40%的学生正处于向水平3过渡扥阶段；10%的学生已达到水平3。为实现学生思维水平由低级向高级的过渡和发展的教学目标，他建议教师在进行几何教学时，因材施教，使其都得到充分发展。林军治（1992）研究了范希尔几何思维水平与几何概念理解及错误概念间的关系。其研究发现：1、范希尔几何思维水平越高，学生越倾向于场独立型。2、乡村学生的几何概念理解测试分数明显低于城市学生。3、在错误概念出现率上，描述层次的学生第一视觉层次的学生，而理论层次的学生又高于描述层次的学生。王文正、纪妙贞（1992）以小学四、五、六年级学生为施测对象，研究小学生三角形概念的几何思维水平，发现：其一、四年级学生大多位于水平1和水平2；其二、五六年级学生大多水平2和水平3；其三、四五六年级学生在范希尔几何思维水平上的分布是有年级差异的，但在性别上则无显著差异。何森豪（1999,2000）用试题反应理论取代传统的“全有全无”的测试模式，提出了范希尔几何思维水平的量化模式。吴德邦、马秀兰（1999）在讲试题关联结构分析法应用于小学生范希尔几何思维水平的研究中，以小学各年级随机抽取的3514名学生为研究对象，以范希尔几何思维模式为基础，采用笔试测验方式，探讨学生范希尔几何思维水平分布情形。其初步的分析结果如下：其一、学生的范希尔几何思维水平，随着年级的增加而增加的；其二、在正方形、等腰三角形、圆形、直角三角形等概念中，学生的范希尔思维水平的分布，对年级作卡方检验发现均有显著地差异；其三、在正方形、等腰三角形、圆形、直角三角形等概念中，对县市作卡方检验发现也有显著地差异；其四、在等腰三角形、圆形、直角三角形等概念中，性别因素对范希尔几何思维水平分布均有显著地差异，但在正方形的概念中，这种性别因素对范希尔几何水平的分析却无显著的差异；其五、对于基本的几何图形概念，绝大多数（91%以上）一到六年级的学生都可以被分派到相应的范希尔几何思维水平中区。 二、研究对象与研究方法2.1 研究对象 本次研究对象的确定，首先是范围上的确定，由于条件及课题的限制，本次调查研究只能在自己学校所在地区使用华师大版九年级数学教材的学校中开展；其次是具体调查对象的确定。确定好调查范围，便开始对所在范围内的学生进行随机抽调，以保证调查数据和调查结果的正确性和科学性。此次随即抽调一共抽取了1191名在校的九年级学生。2.2研究设计 本次研究主要包括以下几个方面的设计：相关文献资料的搜集、问卷调查试卷的设计、对调查数据的分析整理等。 （1）、相关文献资料的搜集：在前言的“相关研究”部分就已经对所收集到的相关文献资料做了简单的综述介绍。前人的研究是本文开展研究的基础，只有站在前人研究的基础上才能站得更高看得更远。在前言部分本文综述了国内外的相关研究情况，对范希尔几何思维水平理论的发展以及国内外学者所做的研究有了一个大致的了解，并在前人资料的综述研究中找到一个突破口，做一次创新性的研究。前面综述部分讲授的国内外关于范希尔几何思维水平的研究都是局限在范希尔几何思维水平对不同阶段学生几何认知思维的研究以及该项理论对课程编制等方面的研究上，可以说都是一个阶段的历时性研究。而本文开拓性的认为，对于学生几何思维水平的研究，不应该仅仅局限在对不同阶段的学生水平层面上，对于同一个阶段的学生也因人学习能力等各方面的原因都存在着几何思维水平上的差异性。因此，本文就抓住这样一个创新开拓点，在前人文献资料研究的基础上，以范希尔几何思维水平为理论指导，结合本人熟悉的华师大版九年级数学教材，截取其中具有研究价值的相似性概念这一点，针对九年级的学生开展相似性概念的几何思维水平调查研究。当然在研究的过程中，本人