初中数学规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导广南县篆角乡初级中学 郭应龙新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。 2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。 正整数n-1,n,n+1 奇数2n-3,2n-1,2n+1,2n+3 偶数2n-2,2n,2n+2 3.熟记常见的规律 1、4、9、16. n2 1、3、6、10 1、3、7、152n -1 1+2+3+4+n= 1+3+5+(2n-1)= n2 2+4+6+2n=n(n+1) 12+22+32.+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+33.+n3=n2(n+1） 数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：1=1- 2=2- 3=3- 4=4-猜想第几个等式为 （用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1=1- 观察相应位置上变化的数字与序列号2=2- 的对应关系（注意分清正整数的奇偶）3=3- 易观察出结果为：4=4- n=n-例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，那么32009的个位数字是 。分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：32.函数法例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表：所剪次数1234n正三角形个数471013an则an= （用含n的代数式表示）分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1an=3n+1例4.有一组数：1、2、5、10、17、26请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 。分析：对这组数据做求差处理： 原数 1 2 5 10 17 26 第一次求差：1 3 5 7 9 第二次求差：2 2 2 2第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 当=8时，y=50尝试练习：1.观察下列等式：13=12+21；24=22+22；35=32+23请将你猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来： 。2.观察下列各式：2=+2；3=+3；4=+4；5=+5设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为 。3.观察下列各式：=2；=3；=4请你将猜想到的规律用含正整数n(n1)的代数式表示出来为 。4.已知：2+=22；3+=32；4+=42；5+=52，若10+=102符合前面式子的规律，则a+b= 。5.已知下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102由此规律可推 出第n等式： 。二、图形规律探究由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。拆图法例5如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第图用了4根火柴，第图用了7根火柴棒，第图用了10根火柴棒，依次类推，第图用 根火柴棒，摆第n个图时，要用 根火柴棒。（1）（2）（3） 分析：本例 可拆为 即1+3=4（根）第拆为 即1+32=7（根）；第图可拆为 即1+33=10(根)由此可知，第图为1+310=31（根），第n个图为：（3n+1）根。例6按如下规律摆放三角形：则第堆三角形的个数为 ；第（n）堆三角形的个数为 。 分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：第堆有2个，第堆有3个，第堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第n堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。尝试练习：1.如图7，图7，图7，图7，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是_，第个“广”字中的棋子个数是_2观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 n=1n=2n=33图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则 （用n的代数式表示）（1）（2）（3）4用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 _块，第个图形中需要黑色瓷砖_块（用含的代数式表示）5如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！三、课外拓展：1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729那么32008的个位数字是 。2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041由此可判断7100的个位数字是 。3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是 。4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=按此规律，则a99= 。5.已知=1-，=-，=-，则+= ；用相同思路探究：+= 。6如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个第1幅第2幅第3幅第n幅图57如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_个圆组成8将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依次规律，第6个图形有 个小圆第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形第1次 第2次 第3次 第4次 9用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_cm（用含n 的代数式表示）。图1010.如图10，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，则CA1= ， 5