中考数学知识九年级.doc

初中数学知识概要一、实数(一)实数：1有理数：任意一个有理数都可以写成分数的形式，其中p与q是整数且最大公约数是1，这是有理数的重要特征，例：是无理数而不是分数2无理数：无限不循环小数。(1)两层意思：一是无限小数；二是不循环二者缺一不可(2)形式：开不尽方根，如 特殊常数，如圆周率 特定结构的无限小数，如01010010001(每两个1之间依次多一个0)(二)实数中的几个概念1相反数：(1)实数的相反数是 (2)和互为相反数2倒数：(1)实数(0)的倒数是(2)和互为倒数。(3)注意0没有倒数3绝对值：(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即：(2)从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离(3)非负数的和等于零则每个非负数都等于零。 例如：若，则，4n次平方根（1）平方根，算术平方根：设被开方数，称叫的算术平方根，叫的平方根正数有两个平方根，它们互为相反数0的平方根是0负数没有平方根（2）立方根：叫实数的立方根一个正数有一个正的立方根 0的立方根是0一个负数有一个负的立方根（3）算术平方根与绝对值的联系：（4）算术平方根的估算方法：两端逼近法例如：估算(精确到01)又，又6更靠近576，（三）近似数与科学记数法1.科学记数法：把一个数N写成的形式（其中，n是整数)，这种记数法叫做科学计数法。（1）确定：是只有一位整数数位的数（2）确定n：当原数1时，等于原数的整数位数减1；当原数0，y0点P(x，y)在第二象限x0点P(x，y)在第三象限x0，y0，y0时，y随x增大而增大；当k0直线与y轴交点在x轴的上方 b=0直线过原点b0抛物线与x轴有两个不同交点=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)0时，抛物线有最低点，函数有最小值当a0图象在一、三象限内(2)k0图象在二、四象限内第二部分统计与概率主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测，以下分别从各个知识点加以整理概述一、统计初步(一)总体和样本1总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体2样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量样本容量没有单位。3数据收集与处理的有关概念(1)普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查；(2)从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。(3)利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点：被调查的对象不得太少被调查的对象应有随机性被调查的数据应是真实的(二)反映数据集中趋势的特征数1平均数(1)，的平均数：(2)加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，出现次(这里)，则(3)平均数的简化计算：当一组数据，中各数据的数值较大，并且都与常数接近时，设，的平均数为，则2中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数3众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个4极差：最大值减去最小值的差(三)反映数据波动大小的特征数1方差(1)，的方差：（2）说明：当，为较小的整数时，用该公式计算方差较简便(3)，方差为，设、为常数，则，的方差为；，的方差为（，各数据较大且与常数较接近时，用该法。2标准差：方差()的算术平方根叫做标准差(s)(四)频率分布1有关概念(1)分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100个以内时，通常分成512组(2)频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数n(3)频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l(4)频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表(5)频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。每个小长方形的面积等于该组的频率。所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布2研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画频率分布直方图其步骤是：计算最大值与最小值的差 决定组距与组数决定分点 列频率分布表 绘频率分布直方图(五)各种统计图的特点1条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目2折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况3扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比二、概率1必然事件：对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称为必然事件不可能事件：对于一个事件，一定不能发生的事件称为不可能事件2等可能事件：一个事件只有两种结果，即一正一反，并且他们的可能性相同则称为等可能事件等可能事件必须具备条件均等及随机性3概率 简记作4几种概率(1)必然事件概率为1，记作P(必然事件)=1(2)不可能事件概率为0，记作P(不可能事件)=0(3)如果A为不确定事件，那么0P(A)15几何型概率=6余事件概率：一个事件A的余事件的概率=7实验频率与理论的关系当实验次数很大时，实验频率稳定在相应的附近但这并不意味着实验次数越大，就越为靠近8游戏规则公平性的标准是各方获胜的概率相同9计算概率的常用方法：一是画树状图；二是列表10求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率即正难则反易第三部分生活中的图形一、空间图形1图形是由点、线、面构成的点动成线，线动成面，面动成体面与面相交得线，线与线相交得点2常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球3棱柱的有关概念和特征(1)在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱(2)棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形4截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面5几何体的三视图：把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图二、图形的平移与旋转(一)平移1概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移2平移的特征(1)平移不改变图形的形状和大小(2)经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等(二)旋转1概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角2旋转的特征(1)旋转不改变图形的大小和形状(2)经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等(三)位似变换1位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比(四)空间的垂直关系1棱与平面的垂直：在长方体中，一条棱垂直于一个面内两条相交的棱，这条棱与这个面就互相垂直2面与面垂直：一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个面就互相垂直第四部分 平面图形与三角函数主要内容涉及到现实世界中的物体，几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具以下分别从各个知识点加以整理收集一、线段、角与三角形(一)命题、定理、逆定理1基本作图(1)作一条线段等于已知线段(2)作一个角等于已知角(3)平分已知角(4)经过一点作已知直线的垂线(5)作线段的垂直平分线2等腰三角形的性质定理：(1)等腰三角形的两个底角相等简写成：等边对等角推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简写成：等腰三角形底边上三线合一推论2：等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60(2)等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成：等角对等边推论1：三边都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么官所对的直角边等于斜边的一半3线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方即：逆定理：如果三角形边长a，b，c有关系：，那么这个三角形为直角三角形(二)线段与角1直线、射线、线段、角的有关概念2两点间的距离：连接两点的线段的长度3直线公理和线段公理(1)直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简写成：过两点有且只有一条直线(2)线段公理：两点之间，线段最短4余(补)角性质：同角或等角的余角(补角)相等(三)相交线与平行线1同一平面内两条直线的位置关系(1)平行线：在同一平面内，没有公共点的直线叫做平行线(2)相交线：在同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线2点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度3对顶角性质：对顶角相等4垂线性质(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简写成：垂线段最短5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行6平行线的判定公理和定理(1)判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简写成：同位角相等，两直线平行(2)判定定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简写成：内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角角互补，那么这两条直线平行简写成：同旁内角互补，两直线平行7.平行线的性质公理和定理(1)性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简写成：两直线平行，同位角相等。(2)性质定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简写成：两直线平行，内错角相等两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简写成：两直线平行，同旁内角互补(四)三角形1(1)三角形的知识结构(2)三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180推论l：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角2全等三角形(1)定义：能够完全重合的两个三角形(2)性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等(3)判定边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS公理)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA定理)推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS推论)边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等(SSS定理)斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL定理)4角的平分线(1)定理l：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(2)定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上二、四边形(一)四边形1定理：四边形的内角和等于360，外角和等于3602多边形内角和定理：多边形的内角和等于（二）平行四边形1.平行四边形的性质和判定性质 对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形2.特殊平行四边形的性质和判定名称矩形菱形正方形性质对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等直角三角线斜边上的中线等于斜边一半 对边平行 四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，且平分一组对角 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等判定有三个角为直角的四边形有一个角为直角的平行四边形对角线相等的平行四边形四条边都相等的四边形一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形。有一个角为直角的菱形有一组邻边相等的矩形3中点四边形顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。任意四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形(三)轴对称和中心对称定义轴对称中心对称性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心判定关于某条直线对称的两个图形全等对应点连线被对称轴垂直平分如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上关于中心对称的两个图形全等对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称如果两个图形的对应点连线都经过某一点且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称轴对称图形中心对称图形(四)梯形1概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2等腰梯形(1)性质定理：等腰梯形在同一底上的两个底角等，等腰梯形的两条对角线相等(2)判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形为等腰梯形3平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(1)推论l：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰(2)推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边4中位线(1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段(2)性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半三、相似形(一)比例线段1线段的比和比例线段(1)比例的基本性质： 推论：(2)合比陛质：(3)等比性质：其中。2平行线分线段成比例(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例(3)逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(二)相似三角形1概念：对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形2相似三角形的判定(1)定理l：平行于三角形_边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(2)定理2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单说成：两角对应相等，两三角形相似(3)定理3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(4)定理4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单说成：三边对应成比例，两三角形相似(5)定理5：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似(6)定理6：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（7）射影定理3相似三角形的性质(1)定理l：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)定理2：相似三角形周长的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方四、解直角三角形(一)锐角三角函数1三角函数定义1在RtABC中，若C=90 2、同角三角函数的关系（1）平方关系：（2）商数关系：（3）倒数关系：3、互为余角的三角函数关系，或者：若A+B=90，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB4、特殊角的三角函数值(自画表格)sincostancot0010不存在1530451160759010不存在05、锐角三角函数的增减性(090)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。6、锐角三角函数的取值范围0sin1，0cos1，tan0，cot0.（二）解直角三角形1、直角三角形中边角关系在RtABC中，如果C=90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为A+B=90（3）30角所对直角边等于斜边的一半。（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）2、其他有关公式（1）=（2）Rt面积公式：（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径结论：直角三角形斜边上的高3、几个概念：(1)在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。(2)坡度：如图3，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.坡角：坡面与水平面的夹角；坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。.4应用解直角三角形的知识，可以解决：(1)测量物体高度(2)有关航行问题(3)计算坝体或边路的坡度等问题5测底部不可到达物体的高度如右图，在RtABP中，BP=xcot在RtAQB中，BQ=xcot8QBP=a，即xcot-xcot=a五、圆知识结构(一)圆的概念1圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合2定理：，不在同一直线上的三个点确定一个圆3作三角形外接圆的方法：先作三角形两边的中垂线得到三角形外心，再以外心为圆心，外心到三角形一个顶点的距离为半径作圆(二)圆的性质1圆为轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等2圆是以圆心为对称中心的中心对称图形定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等时，那么它们所对的其余各组量都分别相等3圆周角(1)定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角(2)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角为直角；90的圆周角所对的弦为直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形4圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角(三)直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系:设d为圆心到直线的距离，r为O的半径判定：直线和O相交 直线和O相切 直线和O相离2切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线为圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。3(1)三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆(2)三角形内切圆半径公式在一般三角形中，在Rt中，(四)圆和圆的位置关系1圆和圆的位置关系(1)判定(d为圆心距，R和r为两圆的半径)：两圆外离 两圆外切两圆相交 两圆内切 两圆内含(2)相切两圆的性质定理：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上(3)相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(五)正多边形和圆1正多边形的概念：各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形2多边形的有关计算(1)定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形。*（2）公式：中心角 边长边心距3圆周长、弧长：扇形弧长：4圆、扇形、弓形的面积：扇形的面积公式： 弓形面积公式：5、圆柱1、圆柱的母线长等于圆柱的高，2、圆柱的侧面展开图是一个矩形长等于底面圆周长，宽等于母线长。3、 4、6 圆锥:1、圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线长等于扇形的半径，底面圆的周长等于扇形的弧长。2、 3、 4、5、