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概率教学主持人：介绍嘉宾，研讨主题。在进行概率教学时,我认为应注意以下几点：（1）注重试验教学，避免把概率课上成数字运算的练习课概率教学的重点是使学生掌握概率的思想和方法，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力.计算不是重点，应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，不要因为场地、素材、时间等因素的影响而忽视试验，只讲计算方法，而不注重学生的知识的发生发展过程.在实际生活中，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得到的，此时可以通过做试验，将大量重复试验时的频率稳定值作为事件发生的概率的估计值，如抛瓶盖、抛图钉的问题.在进行试验过程及对试验数据的分析中，学生体会到随机现象的不确定性，以及大量重复试验所呈现的规律性.建议有条件的老师运用几何画板进行直观的辅助教学，没有条件的老师们应该鼓励孩子们小组合作、班级合作，使实验数据可信度增强。（2）引导学生关注概率问题的本质在平常的教学中，经常发现一些学生看到一个问题就套用已学过的方法或解题模式，不太关心问题的实质，这对能力的形成是十分不利的，需要老师在教学中时刻注意引导.比如：在采用列举法解决问题时，老师应引导学生关注问题本身是否具备古典概型的两个条件：试验中所有可能出现的结果是有限个；每一个结果发生的可能性相等.同时，当列出可能的结果时，一定要引导学生验证每个结果出现的可能性是否相等.（3）要创造性的使用教材，开发新课程概率作为新课程的新增内容，课本上的资源有限，而且有的课本也是在探索和摸索的过程中，所提供的资源也可能是有局限的.我们要想提高概率的课堂教学效率，当我们的资源不够丰富的时候，可以通过各种渠道开发资源，完成概率内容的教学.（4）注意把握教学的深浅度教材中所介绍的知识属于概率最基础的知识，因此一些知识点不宜在抽象理论上做过多纠缠，如乘法法则和加法法则（高中内容）。在教学中要将着眼点放在一些重要概念的实际意义上，突出概率的基本思想方法，突出概率知识的实际应用，防止随意扩大教学范围，要重其所重，轻其所轻，抓住教学要求,把握教学的深浅度. （5）概率基本概念教学概率在我们应用数学中占有很重要的位置，也是我们解决日常生活中的问题不可缺少的知识。因而，在我们初中教材中很有必要加入有关概率的知识，这一点我们全体老师和专家的看法是一致的。用概率的知识预测随机事件发生的可能性大小，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用.学习概率知识，无论是今后继续深造还是参加社会实践活动都是十分必要的。但是概率的基本概念这一部分知识的深浅把握上和题目难易的设计上需要老师们和专家注意。首先，概率的基本概念比较抽象，学生较难理解。我们教材上是用可能性、频率、概率这样循序渐进的方法来引出概率的基本概念并讲解的.“一个事件发生的可能性的大小”这样的语言对于初中学生来说是比较抽象的，因为它不是实际的问题的解释，不直观，而是单纯的语言描述。我们是否可以用实际例子来解释概率的概念，而不是给出严格的概念呢?例如：口袋里有除颜色不同外其它都相同的9个白球和1个黑球，充分混合后，一次摸出白球和黑球的可能性各是多少？学生会非常直观的说出90%和10%，然后我们解释说：这两个数据分别叫做摸出白球和黑球的概率。这样做就会给学生一个直观的并且容易理解的概念，至于严格的语言描述可以到高中后，学生的知识丰富了然后再给出。其次，由于学生相关知识的欠缺，尽量避免出现计算较难问题的概率。初中学生知识是有限的，不要认为有难度的题目可以开发学生的智力、提高学生的积极性；恰恰相反，难度过大的题目会打消大多数学生学习概率知识的积极性。原因很简单，初中学生没有学习排列组合等知识，知识上有欠缺；同时这个年龄阶段的学生的逻辑思维能力也因为知识的欠缺而不太强。例如：口袋里有除颜色不同其它都相同的7个白球和3个黑球.有以下四个问题:1、求一次摸出白球的概率.这个问题学生是可以解决的。2、摸出一球记下颜色再放入，搅匀再摸一次，两次都是白球的概率是多少？这个问题在老师的指导下也可以解决。3、在问题2的基础上再摸一次, 求三次都摸出白球的概率对于有些同学来说就很难理解了，更不有说次数再多了，这一部分就应放在高一级学校再学习了。4、一次摸两个球或三个球等等全是白球的概率同样应放在高一级学校以后学习，课标上也有说明，中考不可能有此难度的概率题。再者，概率的基本概念应用在解决实际问题上，这样更能提高学生的学习积极性，从而使学生比较容易地学习接受概率基本知识。学生积极性的提高是解决问题的最有效途径，而学以致用，用概率的基本知识解决实际问题对学生有很大的吸引力，是提高学生积极性的很好的方法。例如：我们经常在一些娱乐环境中看到的游戏“套圈”，发现价值昂贵的物品一是放的比较远，二是它的大小几乎和所用圈圈差不多，这是为什么呢？给学生设置这个疑问，学生虽不能算出具体的概率值，但是可以利用概率的基本概念来解释上述问题。综上所述，概率的基本概念部分，一是比较抽象，难以理解，所以建议用实际例子引出概念，并不是严格的语言描述；二是由于初中学生知识的欠缺及思维能力不足，所以建议题目设计不要太深，以免挫伤学生学习的积极性；三是用解决实际问题的例子来提高学生的积极性，从而达到灵活掌握本部分知识的目的。频率和概率的关系 频率和概率是研究随机事件发生的可能性大小常用的特征量，它们既有区别也有联系。随机事件A发生的频率，是指在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，在大量重复试验时，也就是说试验次数很大时，频率会逐步趋于稳定，总在某个常数附近摆动，且摆动幅度很小，那么这个常数叫做这个事件发生的概率。由此可见，随着试验次数的增多，频率会越来越接近于概率，可以看作是概率的近似值。但频率又不同于概率，频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关 ， 概率可看作频率在理论上的期望值，并从数量上反映了随机事件发生的可能性。对于两者之间的联系和区别，可以通过做类似下面的实验进行理解：实验过程：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次实验。（1） 问题：一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？（2） 分组和分工：两个同学为一组，一个摸牌，另一个洗牌并做记录。（3） 每个组做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字,并根据试验结果填写下表:牌面数字和234频数频率（4）根据上表,制作相应的频数分布直方图，并思考下面两个问题：从上述的试验结果中你认为哪种情况的频率最大?两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少?一般而言，学生通过试验以及上面的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大，当然，30次不是太多，有可能出现3的频率不是最高的情况，这也是正常现象，有了中的结论，自然过渡到研究其频率的大小。当然两张牌的牌面数字之和等于3的频率因各组试验结果而异，正是有了学生的差异性，才顺理成章的展开问题（5），汇总全班各组的实验数据。（5）将全班各组的数据集中起来, 相应得到试验60次、90次、120次、150次、180次、240次、300次、360次、420次时两张牌的牌面数字和等于3的频率，并绘制相应的折线统计图。（6）在上面的试验中,你发现了什么?如果继续增加试验次数呢?当试验次数很大时,你估计两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少?你是怎样估计的? 两张牌的牌面数字和等于3的频率与两张牌的牌面数字和等于3的概率有什么关系？学生可能会发现随着试验次数的增加，频率的“波动”较小，学生会体会到试验次数较大时试验频率比较稳定。再由第使学生感悟到：当实验次数很大时，两张牌的牌面数字之和等于3频率稳定在相应的概率率附近。因此可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。再如，掷一枚硬币，出现的结果只有两种：正面和反面而且出现这两种结果的机会是均等的所以从理论上它们出现的概率相等，都是05，这是一个经验型结果。而在一次抛掷硬币实验中，某同学只掷20次，正面出现的频率为06，反面出现的频率仅为04。另一位同学掷100次，正面出现的频率为056，反面出现的频率为044。. 由此看来，实验次数不同，可能出现的结果的频率就不同。但是如果实验次数相当大，那么频率就会稳定在05左右。通过上面的实验，学生就能够更好的理解两者的联系与区别。联系：当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近，即试验频率稳定于理论概率，因此可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。区别：某随机事件发生的概率是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关。而频率是随机的，试验前无法确定。概率的统计定义是用频率表示的，但它又不同于频率的定义，只是用频率来估算概率。频率是试验值，有不确定性，而概率是稳定值。对古典概型的理解古典概型是最简单，而且最早被人们所认识的一种概率模型，大约在1812年著名数学家拉普拉斯就已经注意并研究了古典概型概率的计算。 古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的概率相等，不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可古典概型的教学应让学生通过实例理解,教师一定分析清楚，“有限性”和“等可能性”的含义。教学中不但要把重点放在“如何计数”上，同时还要鼓励学生自已动手做实验，亲自去体会这种模型的作用。 现在我们来看两个随机试验的概率模型是不是古典概型。 1.向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？ 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件有限性。所以，不是古典概型。 （1） 2.任取一些种子,用A表示种子发芽,B表示种子不发芽,则对于事件A和B,尽管它们都是基本事件,但一般来说不是等可能的,所以这个随机事件也不是古典概型.古典概型的应用：例1 随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率。分析：硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。每种结果出现的概率相等， P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）=1/4。两次出现相同面的概率为。这个问题完全可以让学生亲自动手去完成，然后再总结出现的结果。教师还可以给出以下问题让学生分析： 一袋中装有1个白球和1个黑球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，记下球的颜色后放回袋子中，摇动均匀手再从袋子中任意摸出一个球，两次都是颜色相同的球的概率。这个问题是否符合古典概型的特征呢？是不是古典概型问题呢？这样让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，不同问题归结为同一个概率模型的思想，逐渐养成分析问题的意识，充分体现了以学生为主体，培养学生的亲自动手的能力，观察与总结问题的能力。 例2.一个口袋中有形状、大小相同的2个黑球,3个红球,从中任取两球,(1) 一共有几种等可能事件？(2) 摸到的球都是红球的基本事件有几种？(3) 摸到的球都是红球的概率是多少？(4) 摸到的球都是黑球的概率是多少？(5) 摸到的球一红一黑的概率是多少？ 解：（同样，此题不能把基本事件简单地分为：都是红球，都是黑球，一红一黑。）（1）可能有的情况有： (2) 摸到的球都是红球的基本事件有3种(3) 摸到的球都是红球的概率是3/10(4) 摸到的球都是黑球的概率是1/10？(5) 摸到的球一红一黑的概率是6/10=3/5当基本事件的个数为有限个时,常用集合（列举法）和有序数组来表示基本事件以及基本事件空间解决这类问题的关键是数清了基本事件总数和事件A发生的次数。在教学过程中应通过举出大量的有关古典概型的实例，调动学生学习的积极性，让学生自主互动，合作交流，充分地参与到学习活动中来，从而自主建构古典概型的知识和解题方法。对几何概型的理解 几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 在几何概型中，事件A的概率计算公式为： 例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。 分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此可以看作长度比公式计算其概率。 注：这是与长度有关的几何概型问题 例2、在边长为2的正方形中随机撒一大把豆子,计算豆子落在正方形的内切圆中的概率。 分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的,于是豆子落入圆上的概率应等于圆面积与正方形面积的比.注：这是与面积有关的几何概型问题 例3、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出一升水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可能用体积比公式计算其概率。注：这是与体积有关的几何概型问题 以上三个题目分别是与长度、面积和体积相关的几何概型。这些例子都与我们的实际生活紧密相关，学生在做题时会感到很亲近也很有趣味，但在做题时却感到无从下手。这就要求教师在教学时帮助学生分析，解几何概型题关键是：找到本题中要用到是哪种几何度量，然后再考虑子区域A的几何度量占的几何度量的比例。除以上三种几何度量之外，还有与角度、时间相关的问题。对几何概型问题，我们只要初步体会意义:事件A理解为区域的某一子区域A，事件A发生的概率只与构成该事件的子区域A的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。 总之,几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量成比例；分析清楚几何概型的解题关键是既快又准地找到事件对应的几何度量。有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，需要更深入细致地研究。当然，要依照课程标准，不要把题目做的偏难。概率实验教学的基本目的和过程数学课程标准解读强调：要使学生全面理解概率的意义，逐步形成随机观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展随机观念的活动中去。因此在教学中，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自动手从事实验，收集实验数据，分析实验数据，从而了解随机现象的特点，体会概率的含义，探索计算概率的方法。下面以北师大教材中的一个有关概率的试验为例，简单介绍一下试验的目的与过程。在七年级下册概率这部分内容中有一节是游戏公平吗？，这节课中就安排了掷硬币的实验.一、七年级下册游戏公平吗？中的“掷硬币游戏”：1、实验的目的：主要通过掷硬币的试验，使学生体会“正面朝上”和“反面朝上”发生的可能性大小相同，了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，并在大量做试验的过程中初步了解概率的意义，初步体会可以通过做试验来大致估计事件发生的可能性，并为学习概率打下基础。2、（1）问题情景：小明和小丽都想去看周末的电影，但只有一张电影票，小明提议采用如下的办法来决定到底谁去看电影：任意掷一枚均匀的硬币，如果正面朝上小丽去；如果反面朝上，小明去。这样做公平吗?（2）让学生先猜测是否是公平的，再做实验验证猜测的结果。3、实验过程：（1）准备：分组和分工：同桌为一组，一个掷硬币，另一个做记录，并将数据记录填在表格中。老师把准备好的硬币和表格发给学生。（2）各小组开始做实验，掷硬币20次。并将数据填在下表中。要注意：掷硬币要有一定的高度。掷硬币时要有随机性。试验总次数20正面朝上的次数反面朝上的次数正面朝上的频率（正面朝上的次数/试验总次数）反面朝上的频率（反面朝上的次数/试验总次数）（3）累计全班同学的试验结果，分别累计进行到20、40、80、120、160、200、240、280、320、360、400次正面朝上的次数，并填入下表：204080120160200240280320360400正面朝上的次数正面朝上的频率（4）学生独立完成下面的折线统计图：正面朝上的频率1600200200640801200240280320360400实验总次数0.40.20.81.00.54、解决问题： 观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：试验者投掷次数n正面出现次数k正面出现的频率k/n布丰404020480.5069德摩根409220480.5005费勒1000049790,4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基80640396990.4923表中的数据支持你发现的规律吗？任意投掷一枚硬币,可能出现哪些结果?每种结果出现的可能性相同吗?小明的办法对双方公平吗？你能用自己的话来说一说，你是怎么理解“游戏对双方公平”的？学生经历了猜想及验证的过程，对上面提出的问题就会有自己的结论了，学生可以从折线统计图中发现，随着实验次数的增加，折线摆动的幅度会逐渐减小，也就是正面朝上的频率变化幅度小，最后差不多稳定在图中的0.5左右.由此学生体会到正面朝上与反面朝上发生的等可能性，进而逐步感悟到游戏公平是指双方获胜的可能性相同.引导学生积极参与实验学生通过大量试验还会发现，实验频率并不一定等于概率，虽然多次试验的频率逐渐稳定与其理论概率，但也可能无论做多少次试验，实验频率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同与理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说，偏差的存在是正常的。因此，学生对概率的理解应是多方面的，应尽量让学生通过具体实验领会这一点，从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机的观念，发展学生初步的辩证思维能力。实验作为教学的一部分，教师要注重考察学生在活动过程中表现出来的直观经验的合理性与局限性，以调整教学。在开始进行实验前，请学生猜测试验的结果，并说明自己的理由。在实验过程中，深入到各小组中，及时了解学生的思想变化。在实验结束并进行理论分析后，再请学生谈谈自己的想法。通过这样的实验过程使学生发展了他们的随机直觉，并得到相应的感性认识与理性认识。这样就达到了我们做实验的目的。求解事件发生概率值的基本方法初中数学主要研究等可能性事件的概率。从概率的意义来看，求某一事件发生的概率，必须弄清两个数：操作过程中所有可能发生的结果数和该事件发生的结果数。解答概率问题的基本方法是分析列举法。通过分析某一事件所有等可能的结果和其中某些结果的可能性，得出相应事件的概率。如：向空中抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是多少？再如：任意掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），“6”朝上的概率是多少？只涉及一步试验的随机事件，出现的结果数目较少时，我们看到结果很容易被全部列举出来，事件发生的概率也很容易求出来。但要求涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，可以借助“树状图”或运用“列表法”计算事件发生的概率。借助“树状图”求等可能事件的概率，应注意的问题是要将所有的结果都列出来，这样，既能避免重复和遗漏，又直观条理。在用树状图表示等可能事件出现的结果时，对于相同的物体或事物要进行编号。如在摸球活动中，如果袋中同一种颜色的球不只一个时，要将其编号。如：口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一球。把第一次摸出的球放回，搅匀，再摸出一球。问：两次摸球会出现哪些结果？这些事件发生的机会一样吗？先把两个白球编号为白1，白2，画出两次摸球的树状图。 第一次： 白1 白2 红第二次红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2 这样，就会直观地列举出两次摸球共出现9种等可能情况再如：小明有两件不同的衬衣和三条不同的裤子，一件衬衣和一条裤子配套。问小明有多少种不同的穿法？先把衬衣、裤子进行编号：衬衣1，衬衣2， 裤子1 ， 裤子2， 裤子3 。衬衣1 衬衣2 裤子1 裤子2 裤子3 裤子1 裤子2 裤子3 共有6种不同的穿法。求某些较复杂事件发生的概率问题，还可以用列表法把所有等可能的结果全部列出，然后，再求事件发生的概率。列表法适合出现的结果比较多时的情况。如：有两组牌，它们牌面数字分别为1、2、3，4。那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和等于5的牌概率是多少？第一张牌的牌面数字第二张牌的牌面数字123411+1=21+2=31+3=41+4=522+1=32+2=42+3=52+4=633+1=43+2=53+3=63+4=744+1=54+2=64+3=74+4=8该事件发生的等可能的结果共有16个，两张牌的牌面数字之和为5的结果有4个，所以，P（两张牌的牌面数字之和为5）=4/16=1/4用列表法求事件发生的概率时，列出的表是一个二维表格。借助“树状图”和运用“列表法”求概率的局限性若计算涉及两步或两步以上试验的随机事件发生的概率，通常要画树状图和列表。若出现的等可能的结果较多时，画树状图比较繁琐，一般采用列表的方法。如：任意掷两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），求两个小立方体朝上的面上的数字之和是9的概率是多少？本事件共出现36种等可能的结果，画树状图显然比较麻烦，列表则比较方便。在摸球事件中，若在第一次摸出的球不放回的情况下进行第二次摸球，不适合用列表法；若某一事件的发生分两步以上进行，也不适合用列表法，在这两种情况下求概率，用画树状图的方法比较方便。如：现有三枚质地均匀的硬币，在第一枚正反面贴上红、蓝两色，在第二枚正反面贴上蓝、黄两色，在第三枚正反面贴上红、黄两色。将三枚硬币同时抛出，求颜色各不相同的概率。 红 蓝 蓝 黄 黄 蓝 红 黄 红 黄 红 黄 红 黄该事件共出现8种等可能的结果。其中颜色各不相同的结果有2种，故P（颜色各不相同）=2/8=1/4 。求等可能性事件的概率，一般采用画树状图和列表的方法，至于选用哪一种，还要根据题目的具体内容来定。不论采用哪一种方法，一定要将所有可能出现的的结果全部列出来，确定出该事件发生的结果数，求出其发生的概率。
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