中考数学三角形复习.doc

三角形导学案1、 课前小测试：1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，BCA=90在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）A.6B.3 C.D.EDCAB 2.如图：ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则ABD的周长是（）. A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm 3.梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）A B.C.D. 4.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_ 5.如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一动点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_ 6. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？三角形的基本概念三角形的主要线段：三角形的角平分线这里我们要注意两点：一是三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的内心）；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线三角形的中线这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的外心）；二是三角形的中线是一条线段三角形的高线(简称三角形的高)这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线三角形的稳定性： 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：三角形有三条线段；三条线段不在同一条直线上；首尾顺次连接“三角形” 用符号“” 表示，顶点是的三角形记作“” ，读作“三角形” 三角形的分类及角边关系1. 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：三角形按角的关系可以如下分类：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形它是两条直角边相等的直角三角形注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角2. 三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围证明线段不等关系用于化简求值。用来判别一元二次方程中的3. 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互余三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角4. 三角形的面积三角形的面积底高 全等三角形 1. 全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角2. 全等三角形的表示和性质“全等”用符号“”来表示，读作“全等于” 注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的对应边相等，对应角相等这是全等三角形的性质3. 三角形全等的判定三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：可以简写成“边角边”或“SAS”(2)角边角公理：可以简写成“角边角”或“ASA”这个公理还有下面的推论：可以简写成“角角边”或“AAS”(3)边边边公理：可以简写成“边边边”或“SSS”直角三角形全等的判定：对于直角三角形，判断它全等时，用HL公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL”)注意：HL公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等等腰三角形 1. 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于等腰三角形的其它性质：1、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量2、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于3、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)4、 等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为，则5、 等腰三角形的三角关系：设顶角为，底角为，则有：，2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分等腰三角形的性质与判定：等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形例题：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求证：CF=CH；判断CFH的形状并说明理由（10分）例题：如图所示：ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E，则：图中有几个等腰三角形？为什么？BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明练习：如图，AF是ABC的角平分线，BDAF交AF的延长线于D，DEAC交AB于E。求证：AE=BE三角形相似、相似三角形的性质相似三角形的相等，成比例。相似三角形的、对应角平分线和对应中线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于，面积比等于。、 相似三角形的判定两个角对应相等，两个三角形相似；三边，两个三角形相似；两边对应成比例且相等，两三角形相似。、判定三角形相似的思路有平等截线用平行线的性质，找等角。有一对等角，找另一对等角或该角的两边对应成比例。有两边对应成比例，找夹角相等，或第三边对应成比例，或有一对直角。三角形，找一对锐角相等，或斜边、直角边对应成比例。等腰三角形，找顶角相等，或一对底角相等，或底和腰对应成比例。、 位似图形、概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线平行，对应边成比例，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。、位似图形与相似图形的关系：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。 例题：如图，梯形ABCD中，ABCD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点已知两底差是6，两腰和是12，则EFG的周长是 .解直角三角形1. 直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余 即：2、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半 即：3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即：4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方即： 注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求线段的长5、射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项 即：注意：1、它是线段计算、比例求等积式或证明中的常用定理；2、这个双垂直图形中还有：两对等角(除直角)；三个相似三角形即；由面积公式推导出来另一等积式：2. 直角三角形的判定、有一个角是直角的三角形是直角三角形、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理、勾股定理逆定理：如果三角形三边长有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想3. 锐角三角函数的概念如图，在中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作， 即：；邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即：；锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即：；锐角A的邻边与对边之比叫做的余切，记作，即：说明：当固定时，的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与的两边长短无关锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位4. 特殊角度的三角函数值特殊角度()的三角函数值：三角函数011001105. 各锐角三角函数之间的关系式(1)互余关系：，(2)平方关系：(3)倒数关系：(4)相除关系：6. 锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)7. 解直角三角形解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的方法：在RtABC中，所对边分别为1、三边之间的关系：(勾股定理)2、锐角之间的关系：+=3、边角之间的关系：，说明：利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有一个边)，就可以求出其余的3个未知元素已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等因此其边的大小不确定直角三角形解法：直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：1、已知一条直角边和一个锐角(如，)其解法为：；2、已知斜边和一个锐角(如，)其解法为：；3、已知两直角边(如，)，其解法为：；4、已知斜边和一直角边(如，)，其解法为：8. 解直角三角形的应用仰角、俯角：如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 图1坡度、坡角：如图2，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，用字母表示，即坡面与水平面的夹角叫坡角坡度与坡角(若用表示)的关系：坡角越大，坡度也越大，坡面越陡 图2 图3方向角：如图3，平面上，过观测点作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角例如，图中“北偏东”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西”(或“西偏北” )例题：如图,AD是直角ABC斜边上的高,DEDF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证:。例题2：、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在NMQPEDCBAAB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？练习：1、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高2.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式(2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大?AGHCBDEMF作业：2. 如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点P为x轴上的个动点，点P不与点0、点A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D (1)求点B的坐标； (2)当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； (3)当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）11