华罗庚学校数学教材(六年级上)第02讲比和比例.doc

本系列共 14 讲第二讲 比和比例文档贡献者：winner_d1975在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作 出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量一种量（记作 x）变 化时另一种量（记作 y）也随着变化与这两个量联系着，有一个不 变的量（记为 k）在判断变量 x 与 y 是否成正、反比例时，我们要 紧紧抓住这个不变量 k如成正比例；如果 k 是 y 与 x 的积，即在 x 变化时，y 与 x 的积不变：xyk，那么 y 与 x 成反比例如果这两 个关系式都不成立，那么 y 与 x 不成（正和反）比例下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始 例 1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程与时间路程一定，速度与时间路程一定，已走的路程与未走的路程总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间总产量一定，亩产量和播种面积整除情况下被除数一定，除数和商同时同地，竿高和影长半径一定，圆心角的度数和扇形面积两个齿轮啮合转动时转速和齿数圆的半径和面积 (11)长方体体积一定，底面积和高 (12)正方形的边长和它的面积 (13)乘公共汽车的站数和票价 (14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数 (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键 是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不 成比例例如零件数总时间，总时间一定，制造每个零件用的 时间与要制造的零件总数成反比例路程一定，已走的路程和未走 的路程是加减法关系，不成比例解：成正比例的有：、(15) 成反比例的有：、(11)、(14) 不成比例的有：、(12)、(13)例 2 一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路 程长的比依次是 1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是 456， 已知他上坡的速度是每小时 3 千米，问此人走完全程用了多少时间？ 分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求 出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行 3 千米）和上坡路的路程，已知全程 60 千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是 123，就可以求出上坡路的路程 解：上坡路的路程：60 1 =10（千米）1 + 2 + 3走上坡路用的时间：103=3 1 （小时）3上坡路所用时间与全程所用时间比： 4 = 44 + 5 + 6 15走完全程所用时间：3 1 43 15=12 1 （小时）2答：此人走完全程共用12 1 小时。2例 3 一块合金内铜和锌的比是 23，现在再加入 6 克锌，共得 新合金 36 克，求新合金内铜和锌的比？分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌 各自的重量应该注意到铜和锌的比是 23 时，合金的重量不是 36 克，而是（366）克铜的重量始终没有变解：铜和锌的比是 23 时，合金重量：36630（ 克 ） 铜的重量：30 2 =12（克）2 + 3新合金中锌的重量：361224（ 克 ）新合金内铜和锌的比：122412 答：新合金内铜和锌的比是 12例 4 师徒两人共加工零件 168 个，师傅加工一个零件用 5 分钟， 徒弟加工一个零件用 9 分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析 师傅加工一个零件用 5 分钟，每分钟可加工 1 个零件；徒5弟加工一个零件用 9 分钟，每分钟可加工零件 1 个。师、徒两人效率9 工作量 的 比 是1 ： 15 9， 由 于 两 人 的 工 作 时 间 是 一 定 的 ， 根 据= 工作时间（一定），工作量与工作效率成正比例工作效率解法 1：设师傅加工 x 个，徒弟加工（168x）个1 x = 5168 x 19解得 x108168x16810860（ 个 ） 答：师傅加工 108 个，徒弟加工 60 个解法 2：由于师、徒两人工作效率的比是 1 : 1 ，那么他们工作量5 9的比也是 1 : 1 ，因此师傅工作量是徒弟工作量的 1 1 =1 4 （倍），徒5 9 5 9 5弟的工作量为 1 倍量。168（ 1 1 1）=60（个）（徒弟）5 960（ 1 1 ）=108（个）（师傅）5 9解法 3：师傅每分钟加工 1 个，徒弟每分钟加工 1 个，用相遇问5 9题思考方法可求出两人各用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以 540 就是各自加工零件的个数。168（ 1 1 ）=540（分钟）5 91 540=108（个）51 540=60（个）9解法 4：按比例分配做。 1 ： 1 =9：55 9 168 9 =108（个）9 + 5168 5 =60（个）9 + 5例 5 洗衣机厂计划 20 天生产洗衣机 1600 台，生产 5 天后由于 改进技术，效率提高 25，完成计划还要多少天？分析 这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划 生产 5 天后剩下的台数从工效看，有原来的效率 16002080 台/ 天，又有提高后的效率 80（125）100 台/天从时间看， 有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数根据工效和工时成反比例的关系，得： 提高后的效率所需天数剩下的台数 解法 1：设完成计划还需 x 天160020（125%）x16001600205801.25x1600400100x1200 x12答：完成计划还需 12 天解法 2：此题还可以转化成正比例根据实际效率是原来效率的125%=1 1 倍，把原来效率看成“1”，实际和原来效率的比是1 1 ：1=5：4 44。因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是 45， 如果设实际还需要 x 天，原来计划的天数是 20515 天，根据实际 与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解 答设完成计划还需 x 天4 = x 5 20 5解得 x12解法 3：（按工程问题解）设完成计划还需 x 天 1 （125%） x =1 1 520 20解得 x = 12例 6 一个长方形长与宽的比是 14：5，如果长减少 13 厘米，宽增加 13 厘米，则面积增加 182 平方厘米，那么原长方形面积是多少 平方厘米？画出图便于解题：解法 1：BC 的长：1821314（厘米），BD 的长：141327（厘米），从图中看出 AB 长就是原长方形的宽，AD 与 AB 的比是 145， AB 与 BD 的比是 5（145）59，AB 的长是 27 9 =15（厘米）5AD 的长是 155 =42（厘米）14原长方形面积是 4215630（平方厘米） 答：原长方形面积是 630 平方厘米解法 2：设原长方形长为 14x，宽为 5x由图分析得方程（14x13） 135x13182，x3 则原长方形面积：（143）（53）630（平方厘米）例 4、例 5、例 6 是综合性较强的题，介绍了几种不同解法要 求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应 用题，从而提高自己思维判断能力。习题二1一块长方形的地，长和宽的比是 32，长比宽多 24 米，这 块地的面积是多少平方米？2一块长方形的地，长和宽的比是 32，长方形的周长是 120 米，求这块地的面积？3水果店运来橘子、苹果共 96 筐，橘子和苹果筐数的比是 53， 求橘子、苹果各是多少筐？4化肥厂计划生产化肥 1400 吨，由于改进技术 5 天就完成了计 划的 25，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？5小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是 43，已知一件上衣 7 元，求一条裤子多少元？6，小刚读一本书，第一天读了全书的2 ，第二天比第一天多读15了 6 页，这时已读的页数与剩下的页数的比是 3：7。小刚再读多少 页就能读完这本书？7甲、乙两车由 A、B 两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是 2：3，已知甲车走完全程用 5 1 小时。求两车几小时后在中途相遇？28“长江”号轮船第一次顺流航行 21 公里又逆流航行 4 公 里 ， 第二次在同一河流中顺流航行 12 公里，逆流航行 7 公里，结果两次 所用的时间相等求顺水船速与逆水船速的比。