二次函数与一元二次方程的关系

1 二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校 彭足琼 凡是学过初中数学的学生 你问他们初中数学中 最难的知识 是什么 他们会不约而同地说 二次函数 没错 不仅仅是学生 觉得二次函数难 包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同 样的感受 所以 怎样才能学好二次函数 成为了初中学生和老师 最最苦恼的问题 二次函数之所以难 我认为二次函数难就难在函 数本身就是一个比较抽象的知识 再加上二次函数有三个参数 比 一次函数和反比例函数都多 还有就是二次函数的题目不仅仅考它 本身的知识 它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中 可 见 二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中 因此 把二次函数与其它知识紧密联系起来 是我们老师和学生必 须掌握的本领 这里 我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关 系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目 希 望能给同学们和老师一点点启示和收获 1 二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别 我们清楚 的明白 形如 ax bx c 0 a b c 为常数 且 a 0 的方程是2 一元二次方程 而形如 y ax bx c a b c 为常数 a 0 是2 二次函数 认真观察一元二次方程 ax bx c 0 a b c 为常数 2 且 a 0 和二次函数 y ax bx c a b c 为常数 a 0 不2 难发现 它们在形式上几乎相同 差别也只是一元二次方程的表达 2 式等于 0 而二次函数的表达式等于 y 为什么会这样 主要是因为 当二次函数中的变量 y 取 0 时 二次函数就变成了一元二次方程 2 二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系 正是 因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似 使得二者在二次函 数的图像上的关系格外密切 二次函数的图像是一条抛物线 在求 抛物线 y ax bx c 与 x 轴的交点坐标时 令 y 0 即 2 ax bx c 0 二次函数一下就变成了一元二次方程 再求出该方程2 的解 这个方程的解便是抛物线与 x 轴的交点坐标的横坐标 由于 一元二次方程 ax bx c 0 的根有三种情况 b 4ac 0 时有两个不2 等的实数根 b 4ac 0 时有两个相等的实数根 b 4ac 0 时没 有实数根 所以相应地 抛物线 y ax bx c 与 x 轴的交点情况有2 3 种 当 b 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有两个交点 当 b 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有一个交点 当 b 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 没有交点 因此 一元二次方程 ax bx c 0 的解就是二次函数 y 2 ax bx c 的图像与 x 轴的交点的横坐标 二次函数 y ax bx c 的2 2 图像与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax bx c 0 的根情况有关 2 可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切 3 应用一元二次方程解决二次函数问题 正是因为一元二次 方程与二次函数无论在形式上 还是在图形上 关系都十分紧密 所以在解决很多二次函数题时 经常都要应用一元二次方程的知识 这里 我就列举几个典型题 典型例题 1 求证 二次函数 y 3x 2m 3 x 2m 1 的 3 值恒为正 分析 要证明该函数的函数值恒为正 只要能够证明到该抛物 线的开口向上且与 x 轴没有交点即可 二次函数 y ax bx c 中 2 当 a 0 时 图像开口向上 当 b 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有 交点 所以本题只需证明到 a 0 同时 b 4ac 0 证明 y 3x 2m 3 x 2m 1 2m 3 12 2m 1 20 m m 10 356103 0 20 m 0 20 m 0 抛物线10 3 与 x 轴没有交点 3 0 抛物线开口向上 二次函数 y 3x 2m 3 x 2m 1 的值恒为正 典型例题 2 二次函数的图象过点 1 0 3 0 且 与 y 轴交于 0 3 求该二次函数的解析式 本题除了用二次函数 的交点式和一般式来解外 还可以用一元二次方程的根与系数的关 系 即韦达定理来解决该题 过程如下 设抛物线的解析式为 y ax bx c 抛物线与 y 轴交于 0 3 c 3 二次函数的图2 象过点 1 0 3 0 一元二次方程 ax bx c 0 的两个2 根为 x1 1 x2 3 1 3 a 1 1 3 b 2 二a1 b 次函数的解析式为 y x 2x 3 典型例题 3 如图 已知抛物线 y x2 k 1 x k 1 试求 k 为何值时 抛物线与 x 轴只有一个公共点 2 若抛物线与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 与 y 轴的负 4 半轴交于点 C 试问 是否存在实数 k 使 AOC 与 COB 相似 若 存在 求出相应的 k 值 若不存在 请说明理由 分析 问题 1 抛物线 y x2 k x k 与 x 轴只有 11 一个公共点 y x2 k x k 中 0 从而可以求出 k 的 1 值 问题 2 若 AOC 和 COB 中 当 时 则 AOC 和 COB A COB 相似 当 时 则 AOC 和 COB 相似 A B 两点的横坐BO CA 标就是一元二次方程 x2 k x k 0 的两个解 所以线段 11 OA 和 OB 可以用含 k 的代数式表示出来 从而建立方程可以把 k 的 值求出来 具体步骤如下 解 1 抛物线抛物线 y x2 k x k 与 x 轴只有一个公共点 1 k 0 k 2 c 0 k 且04 2 121 k 0 OC k x2 k x k 1 0 x k 0 x 1 2k x2 1 OA 2k OB 1 2 1 当 时 AOC BOC k 当 时 COB A k 1BOCA AOC COB k 2 当 k 或 2 时 AOC 和 COB1 k 2 相似 通过上面的 3 个例子 你得到了什么启示 又有哪些收获 正 5 是由于二次函数与一元二次方程有着密切的关系 所以在解决二次 函数问题时经常会应用二元一次方程的知识 我们一定要牢牢掌握 好二次函数与一元二次方程的密切关系 在面对二次函数时 巧妙 的运用一元二次方程的知识来解决二次函数中的问题