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例谈高中数学中常量与变量的转化姓名 李军波 关键词：常量 变量 转化摘要：在运用函数与方程的思想解题时，如果是一个多元函数或方程，这时，我们应设定一个或两个主元，即自变量，而视其它为次元，即常量，然后再考虑如何解决问题。 正文： 化归思想是中学数学最基本的思想方法之一, 数形结合思想体现了数于形的相互转化,函数方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。化归思想也是高考的重要考查对象，数学中的各种变换多离不开化归，化归也是数学思想方法的灵魂。数学中很多问题的解决都离不开化归:例如在处理多元的函数或方程的数学问题时，我们有时可利用化归与转化的数学思想.可选取其中的某个量为参数，作为“主元”， 即自变量.而把其它的量看作次元即常量，从而达到减少变元，简化运算的目的。那么，如何在解题中应用化归思想？下面我们通过几道例题,在教学中引导学生适当渗透常量与变量的转化的化归思想.以达到开拓学生的思维空间，优化学生的思维品质，提高学生的解题能力。一：选定合适的主元。例1：当x(1,4) 时不等式x2axa0恒成立,求a的范围. 当a(1,4) 时不等式x2axa0恒成立,求x的范围.分析：两道题看起来很相似.但实际上有很大的不同。第一个问题我们很容易通过构造函数f(x)=x2-ax-a再令y=f(x)的最小值大于0或利用变量分离求得，但第二题就要考虑是选x作为自变量还是选a作为自变量来解决问题更方便了。具体如下. 解法(一)令f(x)=x2-ax-a则y=f(x)对称轴为 x=当1 4时,f(x)min=f( )= 0解得-4a f(1)=1-2a0,解得a综上所述a 注：以上的解法中我们实际上是把x作为自变量a作为常量考虑的.当然也可以用变量分离求解a(x+1)x2所以 a(x+1)+ -2 而 (x+1)+ -2 所以a 解 a(x+1)-x2 0.令f(a)= a(x+1)-x2 则 解得x2+ 或x2-2注：以上的解法中我们实际上是把a作为自变量x作为常量。转化为关于a的一次函数，对于满足所有实数a(1,4)，f(a) 0恒成立考虑的. 当然若你把x作为自变量a作为常量考虑来求解将显然十分繁琐。这种“反客为主”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。例2.若不等式 ，对恒成立，求X的取值范围。分析：学生因思维定势常把原不等式视为关于lgx的二次不等式，用分类讨论解答，过程相当繁杂，如果能引导学生注意lgx与m的关系，适当渗透常量与变量的转化思想，把m变为主元，lgx变为参数，则原不等式可转化为关于m的一元一次不等式问题，通过渗透函数思想，引导学生联想函数、方程、不等式的相互关系，构造函数，把问题转化为常规问题：，可简单易解。注 ：在解题教学中适当渗透数学思想方法，开拓了学生的思维空间，优化了学生的思维品质，提高了学生的解题能力。例3 设a,b是两个实数,A=(x,y) x=n,y=na+b,n z, B=(x,y)x=m,y=3m2+15,m z,C=(x,y) x2+y2144是否存在a,b使得(1)AB (2)(a,b) C同时成立.解法一假设存在（x,y)AB,则相应的直线y=ax+b与抛物线y=3x2+15有公共点。即：得3x2+15=ax+b (视x为变量,a,b为常量)=a2-12(5b) 0即-a212b180又a2+b2144两不等式相加得b212b-36,即(b-6)20.故b=6.把b=6代入得a2108与a2108.所以a2=108.所以a=或a=- ,b=6.再代入原方程得3x2+9=0解得x= Z,所以a,b不存在.解法二 当然对于式子3x2+15=ax+b即ax+b（3x2+15）0（若我们视a,b为变量,x为常量）则式子ax+b（3x2+15）0可看作以a,b为变量的直线方程。又因为(a,b) C即a2+b2144也可看作以a,b为变量的圆及圆内的点。研究一下此直线与圆的位置关系圆心到直线的距离d=3(+)12(但当且仅当即x时取等号而xz但z. 所以a,b不存在.注 ：由此看出选a,b为变量,x为常量同样可以找出一种很好的解法解决此题。如何设定主元，需要较强的思维能力，选定主元后，应有利于用方程或函数思想使问题得到解决。例4 设并且满足求证：分析: 把已知等式化为（在这里有三个字母，我们可以选为变量其它字母作为常量。当然也可选作为变量，其它作为常量。）看作关于的方程，可用方程思想求解。 的正根，由于由求根公式得依题设 故即 二 变更主元位置，简化复杂讨论。例 5已知方程 （其中为负整数），试求使此方程的解至少有一个为整数时的值。分析：按常规思路，先求出方程的解。 再对参数分情况讨论，找出满足条件的值，但十分复杂，如果对换原方程中和的地位，把视为主元，用来表示，得，要使为负整数，必须（即 的允许值为2，3，4，5，6，7。求出合题意的的值-10，-4，这样就使讨论简化。注：化归思维是运动变化的，事物之间不是孤立的、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化着。在解决数学问题时，以辨证的观点为指导，适当地引入运动，导入变化，把静止的问题变换运动的问题，把常量变换为变量问题，在运动，变化中实现问题解决。三：将常量转化为变量，把复杂的问题转化为简单的新问题，使问题得到简化例6设为三角形的三边，求证：。证明：设。则，且注：在解决数学问题的过程中，我们往往把需要解决的问题进行转化，将复杂的问题转化为简单的问题，把难以解决的问题转化比较容易解决的问题，把没有解决的问题转化为已解决的问题。四 ：数学思想的形成是需要长时间积累和训练的，是渗透在掌握知识和解题的过程中的。数学思想、数学思维方法和解题基本方法是提升学生能力的关键，在近年的高考考卷中常量和变量相对性及相互转化的数学思想也经常进行考查。如2006的四川卷（文）的第21题第一问。06（四川卷）已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。解：（）由题意， 令，对，恒有，即 即，解得故时，对满足的一切的值，都有（）解略。m取值范围是数学思想对数学的认识结构起着重要的导向作用，是知识转化为能力的杠杆，由于数学思想比其他数学知识更抽象、更概括，同样更具说服力和诱惑力，学生一般难以在教材中自我独立获取，只有在教师的教学中引导、点拨并坚持运用，才能使学生真正感受到数学思想居高临下，举一反三、事半功倍的作用。让我们以数学为载体，通过教与学，让学生“会思想”，以培养与时俱进、具有一定数学思想能力的新一代学生。