一元二次方程与动点及答案

1、如图，在ABC中，B90，BC12cm，AB6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8cm2？ PCABQ2.ABC中，B=90，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动设运动时间为t秒（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由3.如图，在ABC中，B=90，AB=6，BC=8点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动解答下列问题：（1）经过几秒，PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由4.如图所示，ABC中，B=90，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止点Q以2厘米每秒的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10厘米？6.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB16cm，BC6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?QPBDAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒t8秒时，求S与t的函数关系式8.2012重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与RtPQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上开始时点Q与点B重合，让PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t0（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由9.（2012市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与RtPQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且RtABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动设平移时间为x秒（1）请填空：当x=2时，CD=2，DQ=4，此时CD+DQ=CQ（请填“”、“=”、“”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由11.（2013长春）如图，在ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12点P从点B出发，沿BADA运动，沿BA运动时的速度为每秒13个单位长度，沿ADA运动时的速度为每秒8个单位长度点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设点P的运动时间为t（秒）连结PQ（1）当点P沿ADA运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）（2）连结AQ，在点P沿BAD运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记APQ的面积为S求S与t之间的函数关系式（3）过点Q作QRAB，交AD于点R，连结BR，如图在点P沿BADA运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C、D，直接写出CDBC时t的值12.（2006青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）2=8解得x1=2，x2=4经检验均是原方程的解答：2或4秒钟后，PBQ的面积等于8cm22.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t故答案为：2t，5-t（2）在RtPBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2（3）由题意，得2t(5t)2=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），当t=1时，PBQ的面积等于4cm23.解：（1）设经过x秒，PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以SPBQ=12（6-x）2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，PBQ的面积等于8cm2（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分ABC的面积，PBQ的面积等于12cm2，SPBQ=12（6-y）2y=12，即y2-6y+12=0，因为=b2-4ac=36-412=-120，所以PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分ABC的面积4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用菁优网版权所有几何动点问题（1）设x秒时由三角形的面积公式列出关于x的方程，（6x）2x=8，通过解方程求得x1=2，x2=4；（2）过Q作QDCB，垂足为D，构建相似三角形CQDCAB，由该相似三角形的对应边成比例得到，即QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x的方程（14x）=12.6，解之得x1=7，x2=11由实际情况出发，来对方程的解进行取舍解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使PBQ面积为8cm2，由题意得（6x）2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，PCQ的面积为：PBCQ=（6x）（82x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x8）cm，过Q作QDCB，垂足为D，由CQDCAB得，即 QD=，由题意得（14x）=12.6，解之得x1=7，x2=11经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使PCQ的面积等于12.6cm2经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，1410，点Q已超出CA的范围，此解不存在综上所述，经过7秒和秒时PCQ的面积等于12.6cm25.解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PHCD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，PH2+HQ2=PQ2可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm6.答案略分析：7.（1）当t=3时，CQ=3，过P作PEQR于E，易求得PE的长和QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CGPE，可证得CQGEQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得RCG的面积，从而由RPQ、RCG的面积差求得阴影部分的面积（3）当5t8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值解答：解：（1）作PEQR，E为垂足PQ=PR，QE=RE=QR=4，在RtPEQ中PE=3；（1分）当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点GPEDC，QCGQEP（2分），SQEP=43=6，S=6=（cm2）（3分）（2）当t=5时，CR=3设PR与DC交于G，由RCGREP，可求出CG=，所以，SRCG=3=（cm2），（5分）S=12=（cm2）（6分）（3）当5t8时，QB=t5，RC=8t，设PQ交AB于点H，由QBHQEP，EQ=4，BQ：EQ=（t5）：4，SBQH：SPEQ=（t5）2：42，又SPEQ=6，SQBH=（t5）2（7分）由RCGREP，同理得SRCG=（8t）2（8分）S=12（t5）2（8t）2即S=（9分）当t=时，S最大，S的最大值=（cm2）（10分）考8.点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）由正方形的性质可以得出DCAB，就有CDR=ARD，在RtPQR中，由PQ=6cm，QR=12cm有tanARD=，就可以得出MC，再根据勾股定理就可以求出PM的值；（2）分情况求出当当0t6时，当6t12时，12t18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了解答：解：（1）四边形ABCD是正方形，CD=BC，CDAB，C=90，CDR=ARD，PQ=6cm，QR=12cm，tanARD=，tanCDR=，CD=6，CM=3，在RtCPM中，由勾股定理，得PM=3（2）如图1，当0t6时，QB=t，QR=12，BR=12t，BM=60.5t，S=，S=t2+6t，如图2，当6t12时，AR=12t+6=18t，BR=12t，SA=90.5t，MB=60.5tS=，=3t+45，如图3，12t18时，AR=6（t12）=18t，AS=90.5t，S=，=t29t+81；（3）当6t12时，由图象得：QN2=AQ2+AN2=（t6）2+（90.5t）2=t221t+117，NR2=AN2+AR2=（90.5t）2+（18t）2=t245t+405RQ2=144如图4，当QR2=NR2时，t245t+405=144，解得：t1=18+t12（舍去），t2=18；如图5，当QN2=QR2时，t221t+117=144，解得：t1=1.2（舍去），t2=18（舍去），如图6，当QN2=RN2时，t221t+117=t245t+405，解得：t=12，12t18与6t12时一致，而t=18时NQR不存在，t=12或t=189.（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，MP=QB=41=3QR=8，BR=83=5在RtPQR中，PQ=4，QR=8，tanPRQ=，BN=2.5S四边形PMBN=（0t4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4t，BR=8（4t）=4+t，BN=2+t，S四边形PMBN=，=t24t+12（0t4）；（3）由题意，得t24t+12=48，解得：t1=8+4（舍去），t2=84，t的值为84；（4）四边形PMBN是平行四边形，PM=BNPM=4t，BN=2+t，4t=2+t，t=t=时，四边形PMBN为平行四边形10.分析：（1）当x=2时，延长ED交BC于H，延长GD交PQ于点K，就有EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，就可以求出CH=62x，再根据勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值；（2）由图形观察可以得出SCDQ=SCBQSCHDS梯形HBQD，只要根据条件分别表示出=SCBQ、SCHD、S梯形HBQD的面积即可；（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算如图6，当CD=AC时，作CHGD的延长线于点H，解直角三角形CHD；如图7，当AD=AC时，作DHPQ于点H，解直角三角形ADH；如图8，当AD=CD时，作DKBC于BC延长线于点K，作DHPQ于点H，解直角三角形DCK和直角三角形DHA；如图9，当CD=AC时，作DKBC于BC延长线于点K，解直角三角形DKC；如图10，当AD=AC时，作DHPQ于点，解直角三角形DHA结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x的值即可解答：解：（1）延长ED交BC于H，延长GD交PQ于点K，EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，x=2，BC=6，DE=4，EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，CH=2在RtCHD、RtDKQ、RtCBQ中，由勾股定理得：CD=2，DQ=4，CQ=6CD+DQ=6，CD+DQ=CQ故答案为：2，4，=；（2）当0x2时，如图2，EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，CH=62x，SCDQ=，=x24x+12当2x3时，如图5，作CHDG于H，DKBC于K，EQ=BK=2x，CK=HD=62x，BQ=4+x，CH=x，SCDQ=CKKD+KBBQ，=（62x）x+2x（4+x），=x2+4x12；当3x4时，如图3，作DHBC的延长线于H，EQ=HB=2x，HD=x，BQ=4+x，CH=2x6，SCDQ=HBQB，=2x（4+x），=8x+2x2x2+3x4x123x，=x2+4x12S=，（3）纸片DEFG沿RS方向平移，4x24如图6，当CD=AC时，作CHGD的延长线于点H，GR=2x4，BQ=x+4，DH=1264=2，CH=（x+4）（2x4）=8x，AB=8，BC=6，AC=10在RtCHD中，由勾股定理，得（8x）2+22=100，解得：x1=8+4，x2=844（舍去）；如图7，当AD=AC时，作DHPQ于点H，GR=2x4，BQ=x+4，DH=124=8，AH=（x+4+8）（2x4）=16x，在RtADH中，由勾股定理，得（16x）2+82=100，解得：x1=22，x2=10；如图8，当AD=CD时，作DKBC于BC延长线于点K，作DHPQ于点H，GR=2x4，BQ=x+4，DK=2x4（x+4）=x8，KC=1246=2，AH=x+4+8（2x4）=16x，DH=124=8（x8）2+4=（16x）2+64，x=15；综上所述：纸片DEFG沿RS方向平移，当x的值为：22，10，15，8+4时，以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形11.分析：（1）分情况讨论，当点P沿AD运动时，当点P沿DA运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0t1时，当1t时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0t1时，当1t时，当t时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在AD之间或DA之间时，如图，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在DA之间如图，根据菱形的性质建立方程求出其解即可解答：解：（1）当点P沿AD运动时，AP=8（t1）=8t8当点P沿DA运动时，AP=5028（t1）=1088t（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1当点P与点D重合时，AP=AD，8t8=50，t=当0t1时，如图过点Q作QEAB于点ESABQ=，QE=S=30t2+30t当1t时，如图S=，S=48t48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t8=5t，t=当0t1时，如图SBPM=SBQM，PM=QMABQR，PBM=QRM，BPM=MQR，在BPM和RQM中，BPMRQMBP=RQ，RQ=AB，BP=AB13t=13，解得：t=1 当1t时，如图BR平分阴影部分面积，P与点R重合t=当t时，如图SABR=SQBR，SABRS四边形BQPRBR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分（4）如图，当P在AD之间或DA之间时，CD在BC上方且CDBC时，COQ=OQCCOQCOQ，COQ=COQ，CQO=COQ，QC=OC，505t=508（t1）+13，或505t=8（t1）50+13，解得：t=7或t=当P在AD之间或DA之间，CD在BC下方且CDBC时，如图同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，505t+13=8（t1）50，解得：t=当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C、D，且CDBC分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OPEGAC，据此可求出x的值（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积三角形AHF中，AH的长可用AF的长和FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）三角形OFP中，可过O作ODFP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和FOD的余弦值得出由此可求得y、x的函数关系式（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值解答：解：（1）RtEFGRtABC，FG=3cm当P为FG的中点时，OPEG，EGACOPACx=3=1.5（s）当x为1.5s时，OPAC（2）在RtEFG中，由勾股定理得EF=5cmEGAHEFGAFHAH=（x+5），FH=（x+5）过点O作ODFP，垂足为D点O为EF中点OD=EG=2cmFP=3xS四边形OAHP=SAFHSOFP=AHFHODFP=（x+5）（x+5）2（3x）=x2+x+3（0x3）（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24则S四边形OAHP=SABCx2+x+3=686x2+85x250=0解得x1=，x2=（舍去）0x3当x=（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24