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专题考案(2)数列板块 第2课 数列的性质(时间：90分钟 满分：100分)题型示例三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数.分析 三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键.解 由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d,(1)若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此时三个数为：-4,2,8.(2)若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此时三个数为：8，2，-4.(3)若2为等比中项，则22=(2+d)(2-d),d=0(舍去).综上可求得此三数为-4,2,8.点评 此题给我们的启示是：数学解题既要精炼又要全面.一、选择题 (8324)1下列各命题中，真命题是 ( )A若an成等差数列，则|an|也成等差数列B若|an|成等差数列，则an也成等差数列C若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则an一定是等差数列D若an是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+22从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任选3个不同的数使它们成等差数列，则这样的等差数列最多有 ( )A.20个 B.40个 C.60个 D.80个3若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x1时，logax、logbx、logcx( )A.依次成等差数列 B.依次成等比数列C.各项的倒数依次成等差数列 D.各项的倒数依次成等比数列4已知数列an，如果a1,a2-a1，a3-a2，an-an-1，是首项为1，公比为的等比数列，则an等于(nN) （ ）A. B. C. D.5等差数列an的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+a99的值为 ( )A.60 B.85 C. D.756已知数列前n项和Sn=2n-1(nN*)，则此数列奇数项的前n项和为 ( )A. B. C. D.7正项等比数列an的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为 ( )A.6 B.7 C.9 D.118已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是 ( )A.R B.(0, C.4,+ D.(-,04,+)二、填空题(4312)9等差数列an最初五项之和与其次五项之和的比为34(nN*),则首项a1与公差d的比为 .10已知等比数列an的前n项和为Sn(nN)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是 .1112-22+32-42+52-62+992-1002= .12若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有 项.三、解答题 (310121052)13已知数列an的首项a1=a(a是常数且a-1),an=2an-1+1(nN*,n2).(1)an是否是等差数列？若是，求出an的通项公式；若不是，说明理由;(2)设bn=an+c(nN*,c是常数)，若bn是等比数列，求实数c的值，并求出bn的通项公式.14设实数a0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列an的前n项和Sn=f(n),令bn=,n=1，2,3，证明数列bn是等差数列.15若数列an的前n项和Sn=-(nN*)，求数列|an|的前n项和Tn.16在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2ab+c;(2)求证:(a+1)2(b+1)(c+1).17已知数列an的通项公式an=(nN*)(1)是否存在等于的项?为什么?(2)此数列是否有相等的连续两项?若有，它们分别是哪两项;若没有，说明理由;(3)此数列是否有值最小的项?为什么?四、思考与讨论(12)18在xOy平面上有点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，Pn(an,bn)，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000()x(0a0,且f()=a-=-1.a=1或a=-2(舍)，a=1.(2)证明 由(1)知f(x)=x2-2x,Sn=n2-2n.n=1时，a1=S1=-1；n2时，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-(n-1)2-2(n-1)=2n-3.且a1=-1满足上式.an=2n-3,即an是首项为-1,公差为2的等差数列.bn=(a2+a4+a2n)=2n-1.bn+1-bn2(n+1)-1-(2n-1)=2.bn是等差数列.15解 n2时，an=Sn-Sn-1=10-3n.n=1时，a1=S17满足上式，对nN*，an=10-3n.令10-3n0,则n0,a20，a30,a40),则由知a0,由，知b,c0,=m+n=2a2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,2ab+c.(2)由得a=a2bca2+2abc+b+c(a+1)2bc+b+c+1=(b+1)(c+1).17解 (1)若数列中有等于的项，则有an=n2-n+=,3n2-17n+20=0解得n=4或n=又nN则n=4,故数列的第4项等于.(2)an=n2-n+,an+1=(n+1)2-(n+1)+.若数列中有连续两项相等，则n2-n+=(n+1)2-(n+1)+解得n=.由于nN,故不存在相等的连续两项.(3)an=(n-)2+,故当n=3时an取最小值.点评 本题反映了数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，因此可运用方程思想，通过通项公式求出数列的各项或某一项所对应的项数.另外，运用函数观点理解数列，其通项公式亦可视为定义域为正整数集的函数解析式，于是可运用有关函数知识解决一些数列问题.18解 (1)由题意，可知an=(n+n+1)=n+.bn=2000()an=2000()(2)函数y=2000()x在(-,+)上为减函数，对每个正整数n，有bnbn+1bn+2以bn、bn+1、bn+2为边能构成三角形的充要条件是bn+1+bn+2bn，即+()21.解得a5(-1).0a10,5(-1)a10,即为所求a的取值范围(3)易知a=7，则bn=2000().于是cn=lgbn=3+lg2+(n+)lg0.7，且为递减数列由,解得n20.8 n=20.因此，cn的前20项和最大
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