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福建9市2012年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质1、 选择题1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x0时，函数值y随x的增大而增大的有【 】 y=x y=2x1 A1个B2个C3个 D 4个【答案】B。【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： y=x的k0，当x0时，函数值y随x的增大而增大； y=2x1的k0，当x0时，函数值y随x的增大而减小； 的k0，当x0时，函数值y随x的增大而增大； 的a0，对称轴为x=0，当x0时，函数值y随x的增大而减小。 正确的有2个。故选B。2. （2012福建南平4分）已知反比例函数的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）则m与n的大小关系为【 】Amn Bmn Cm=n D不能确定 【答案】A。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】反比例函数中k=10，此函数的图象在一、三象限。012，A、B两点均在第一象限。在第一象限内y随x的增大而减小，mn。故选A。3. （2012福建漳州4分）在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为【 】A BC D【答案】D。【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。【分析】在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且R为正数，选项D正确。故选D。4. （2012福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线yx6于A、B两点，若反比例函数y(x0)的图像与ABC有公共点，则k的取值范围是【 】 A2k9 B2k8 C2k5 D5k8【答案】A。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】 点C(1，2)，BCy轴，ACx轴， 当x1时，y165；当y2时，x62，解得x4。 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k122最小。设与线段AB相交于点(x，x6)时k值最大，则kx(x6)x26x(x3)29。 1x4， 当x3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)。因此，k的取值范围是2k9。故选A。5. （2012福建泉州3分）若的函数值随着x的增大而增大，则的值可能是下列的【 】.A . B. C.0 D.3 【答案】D。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：当时， y的值随x的值增大而增大；当时， y的值随x的值增大而减小。 由题意得，函数函数值随着x的增大而增大，故，可取3。故选D。二、填空题1. （2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，作MBx轴于点B过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1A1M，A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2A2M，A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3A3M，A3C3B的面积记为S3；依次类推；则S1S2S3S8 【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。【分析】过点M作MDy轴于点D，过点A1作A1EBM于点E，过点C1作C1FBM于点F，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，OBDM=1。A1C1=A1M，即C1为A1M中点，C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。A2C2A2M，C2到BM的距离为A2到BM的距离的。同理可得：S3=，S4=，。2. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，O1过原点O，且O1与O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，O1的半径O1P1、O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1、P2在反比例函数（x0）的图象上，则 【答案】。【考点】反比例函数综合题。【分析】O1过原点O，O1的半径O1P1，O1O=O1P1。O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数（x0）的图象上，x1=y1，x1y1=1。x1=y1=1。O1与O2相外切，O2的半径O2P2与x轴垂直，设两圆相切于点A，AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。P2点的坐标为：（2+y2，y2）。点P2在反比例函数（x0）的图象上，（2+y2）y2=1，解得：y2=1+ 或1（不合题意舍去）。y1+y2=1+（1+）= 。3. （2012福建漳州4分）如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作 ACx轴，垂足为C线段OA的垂直平分线交OC于点B，则ABC周长的值是 【答案】4。【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】由点A(3，n)在双曲线y=上得，n=1。A(3，1)。 线段OA的垂直平分线交OC于点B，OB=AB。 则在ABC中， AC=1，ABBC=OBBC=OC=3， ABC周长的值是4。4. （2012福建三明4分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB/y轴，点P是轴上的任意一点，则PAB的面积为 【答案】1。【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB/y轴， 可设A（x，），B（x，）。 AB=，AB边上的高为x。 PAB的面积为。三、解答题1. （2012福建厦门6分）画出函数yx1的图象；【答案】解：当x=0时，y1；当y0时，x=1。连接点（1，0）和（0。1）即得函数yx1的图象：【考点】一次函数的图象。直线上点的坐标与方程的关系。【分析】利用两点法作出一次函数的图象即可。2. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线yk1xb与双曲线y（k20）的交点（1）过点A作AMx轴，垂足为M，连结BM若AMBM，求点B的坐标；（2）设点P在线段AB上，过点P作PEx轴，垂足为E，并交双曲线y（k20）于点N当 取最大值时，若PN ，求此时双曲线的解析式【答案】（1）解：点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y（k20）上， ck23d 。 k20， c0，d0。 A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 AM3d。过点B作BTAM，垂足为T。 BT2，TMd。 AMBM， BM3d。在RtBTM中，TM 2BT2BM2，即 d249d2， d。点B(3，)。（2） 点A(1，c)、B(3，d)是直线yk1xb与双曲线y（k20）的交点，ck2,，3dk2，ck1b，d3k1b。k1k2，bk2。 A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限， 点P在第一象限。设P（x，k1xb）， x2xx2x。当x1，3时，1，又当x2时， 的最大值是。1.。 PENE。 1。当x2时，的最大值是。由题意，此时PN， NE。 点N(2，) 。 k23。此时双曲线的解析式为y。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）过点B作BTAM，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y（k20）上，得到c=3d，则A点坐标为（1，3d），在RtBTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。（2）P（x，k1xb），求出关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得的最大值，此时根据PN求得NE，从而得到N(2，)，代入y即可求得k23。因此求得反比例函数的解析式为y。3. （2012福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为 发射3 s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2 km，再过3s后，导弹到达B点(1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离；(2)(4分)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即BRL)的正切值【答案】解：(1)把x3代入，得y1，即AL1。 在RtARL中，AR2，LR 。(2)把x336代入，得y3，即BL3 。tanBRL。答：发射点L与雷达站R之间的距离为km，雷达站测得的仰角的正切值。【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长。（2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角BLR中，根据正切函数的定义即可求解。4. （2012福建莆田10分） 如图，一次函数的图象过点A(0,3)，且与反比例函数(xO)的图象相交于B、C两点(1)(5分)若B(1，2)，求的值；(2)(5分)若ABBC，则的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】解：(1)把B(1，2)代入) ，得k22 。 把A(0，3)，B(1，2)代入，得，解得。(2) 是，定值为。过点B作BGy轴于点G，过点C作CHy轴于点F。BGCH。ABBC，AGGH，CH2BG。设B(m，)，则C(2m，) 。AG，GH，解得。B(，2)，C(，1) 。把B(，2)，C(，1)代入，得，两式相减，得。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形中位线定理。【分析】（1）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1k2进行计算即可得解。（2）根据三角形中位线定理设出B，C的坐标B(m，)，C(2m，)，由AG=GH，求出m关于k2表达式，得到B(，2)，C(，1)，分别代入，消去b，即可得到结论。5. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。(1)(2分)求c的值； (2)(6分)若al，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求ADE的面积S的最大值；(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F。当BF1时，求抛物线的解析式【答案】解：(1)抛物线过点A(0，3)，c3。(2) al， 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x6的交点应落在C点或C点下方。 当x6时，y0。，即。 又对称轴在y轴右侧，b0。0。 由抛物线的对称性可知： 。 又ADE的高BC3，Sb3。0，S随b的增大而增大。当b时，S的最大值。 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线x6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即03。当x6，则，06b333，b6。BE3(6b33)366b。SADBEb(366b)3b2+18b。对称轴b3，随b的增大而减小。当b时，S的最大值。综上所述：S的最大值为。 (3)当a0时，符合题意要求的抛物线不存在。 当a0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点M、N分别在AB、OC边上时如图过M点作MGOC于点G，连接OM MGOA32MNO90。 OF垂直平分MNOMON，1MNO=90，12。 FB1，FC312。 tan1，tan2tan1。GNGM1。设N(n，0)，则G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在RtAOM中， ，解得n5。M(4，3)，N(5，0)。把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。当点M、N分别在AB、BC边上时如图，连接MF OF垂直平分MN，1NFO90，MFFN。 又0CB90，2CFO=90。 12。 BF1， FC2。tan1tan2。 在RtMBN，tan1，BN3MB。设N(6，n)则FN2n，BN3一n。MF2n，MB。在RtMBF中，。解得： (不合题意舍去)，。AM6，M(，3)，N(6，) 。把M(，3)，N(6，)分别代人，得，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。 （2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。 （3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。6（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。7. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克(1)至少需要购买甲种原料多少千克?(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式并说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少?【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）48020，解得x8。 至少需要购买甲种原料8千克。（2）根据题意得：y=9x+5（20x），即y=4x+100，k=40，y随x的增大而增大。x8，当x=8时，y最小。购买甲种原料8千克时，总费用最少。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。（2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。8. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=x2 + 1(如图所示) (1)填空：抛物线的顶点坐标是(_，_)，对称轴是_； (2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。（2）PAB是等边三角形， ABO=9060=30。AB=2OA=4。PB=4。把y=4代入y=x2+1，得 x=。点P的坐标为（，4）或（ ，4）。（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：设存在点M使得OAMN是菱形，OAP900，OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。若点P的坐标为（，4），点A的坐标为（0，2），设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则，解得： 。 AP所在直线的解析式为：y=x+2。点M在直线AP上，设点M的坐标为：（m， m+2）。如图，作MHy轴于点H，则MH= m，AN=OHOA=m+22=m。OA为菱形的边，AM=AO=2。在RtAMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，解得：m=。M（，3）或（，1）。当M（，3）时，N（，1）；当M（，1）时，N（，1）。若点P的坐标为（，4），同理可得N的坐标为（，1）或（，1）。综上所述，存在点N（，1），（，1），（，1），（，1），使得四边形OAMN是菱形。9. （2012福建福州14分）如图，已知抛物线yax2bx(a0)经过A(3，0)、B(4，4)两点(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3) 如图，若点N在抛物线上，且NBOABO，则在(2)的条件下，求出所有满足PODNOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)【答案】解：(1) 抛物线yax2bx(a0)经过点A(3，0)、B(4，4)，解得：。抛物线的解析式是yx23x。 (2) 设直线OB的解析式为yk1x，由点B(4，4)，得：44k1，解得k11。直线OB的解析式为yx。直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：yxm。点D在抛物线yx23x上，可设D(x，x23x)。又点D在直线yxm上， x23x xm，即x24xm0。抛物线与直线只有一个公共点， 164m0，解得：m4。此时x1x22，yx23x2。 D点坐标为(2，2)。 (3) 直线OB的解析式为yx，且A(3，0)，点A关于直线OB的对称点A的坐标是(0，3)。设直线AB的解析式为yk2x3，过点B(4，4)，4k234，解得：k2。直线AB的解析式是yx3。NBOABO，点N在直线AB上。设点N(n，n3)，又点N在抛物线yx23x上， n3n23n，解得：n1，n24(不合题意，会去)。 点N的坐标为(，)。如图，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则N1(，)，B1(4，4)。O、D、B1都在直线yx上。P1ODNOB，P1ODN1OB1。 。点P1的坐标为(，)。将OP1D沿直线yx翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。综上所述，点P的坐标是(，)或(，)。10. （2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）、（单位：元）与正常运营时间（单位：天）之间分别满足关系式：、，如图所示.试根据图像解决下列问题：（1）每辆车改装前每天的燃料费= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？ 【答案】解：（1）90； 4000；100。（2）依题意，得解得。 答：200天后节省燃料费40万元。【考点】一次函数和一元一次方程的应用。【分析】（1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本。（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，从而得出，得出即可。11. （2012福建泉州14分）如图，点O为坐标原点，直线绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数交于不同的两点P、Q.（1）求h的值；（2）通过操作、观察算出POQ面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.【答案】解：（1）二次函数的图象经过C（0,1）， 。 （2）操作、观察可知当直线x轴时，其面积最小； 将y=2带入二次函数中，得， S最小=（24）2=4。（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，依题意，设抛物线上的点P（a，）、Q（b，）（a0b）。直线BC：y=k1x+1过点P，=ak1+1，得k1=。直线BC：y=x+1令y=0得：xB=过点A的直线l：y=k2x+2经过点P、Q，。b-a得：，化简得：b=。点B与Q的横坐标相同。BQy轴，即BQOA。又AQ与OB不平行，四边形AOBQ是梯形。根据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同。若l与x轴平行，由OA=2，BQ=2，OB=2，AQ=2，且AOB=900，得四边形AOBQ是正方形。故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。（2）操作、观察可得结论。实际上，由P（a，）、Q（b，）（a0b），可求得b=（参见（3）。当即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，POQ的面积最小。即PQx轴时，POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。
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