8种辅助线做法

1 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 有答案 总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角之间的相等 1 等腰三角形 三线合一 法 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 2 倍长中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 3 角平分线在三种添辅助线 4 垂直平分线联结线段两端 5 用 截长法 或 补短法 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 6 图形补全法 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7 角度数为 30 60 度的作垂线法 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度 可以从角一边 上一点向角的另一边作垂线 目的是构成 30 60 90 的特殊直角三角形 然后计算边的长度 与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全等三角形创造 边 角之间的相等条件 常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二个角之间的相 等 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 解题 思维模式是全等变换中的 对折 法构造 全等三角形 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等 变换中的 旋转 法构造全等三角形 3 遇到角平分线在三种添辅助线的方法 1 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维 模式是三角形全等变换中的 对折 2 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交 形成一对全等三角形 3 可以在该角的两边上 距离角的顶点相等长度的位置上截取二点 然后从这 两点再向角平分线上的某点作边线 构造一对全等三角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线 出一对全 等三角形 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来 利 用三角形面积的知识解答 2 D CB A E D F CB A E D CB A P Q C B A 一 倍长中线 线段 造全等 例 1 希望杯 试题 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 例 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的大小 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE ED CB A 应用 1 以 的两边 AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ABC ABD C 连接 DE M N 分别是 BC DE 的中点 探究 AM 与 DE 的位置及数量关90 DE 系 1 如图 当 为直角三角形时 AM与DE的位置关系是 ABC 线段AM与DE 的数量关系是 2 将图 中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 0 AD AE ED CB A 四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的 理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab E D G FCB A 4 N M E F A C B A F E D CB A D CB A 应用 1 如图 OP 是 MON 的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角 形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 五 旋转 例 1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 例 2D 为等腰 斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F RtABC 1 当 绕点 D 转动时 求证 DE DF 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 MN 例 3 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且 以 D 为顶点做ABC 012BC 一个 角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 连接 MN 则 的周长为 06 AMN B C D N M A O P A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图