2018理科数学高考真题全国卷Ⅰ试卷及答案详解,最全word版本

1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设 则 i2z z A B C D 0 1212 2 已知集合 则 20 x A R A B 1 x C D 2xx 1 2x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例 得到如下饼图 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 设 为等差数列 的前 项和 若 则nS na324S 1a 5 A B C 12 0 0 2 D 12 5 设函数 若 为奇函数 则曲线 在点 处 32 1 fxax fx yfx 0 的切线方程为 A B C 2yy 2 D x 6 在 中 为 边上的中线 为 的中点 则BC EADEB A B C 314 134 314A D B 7 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图 圆柱表面上的点 在正视图上的对M 应点为 圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 则在此圆柱侧面上 从 到ANB 的路径中 最短路径的长度为N A B C 317252 D 2 8 设抛物线 C y 2 4x 的焦点为 F 过点 2 0 且斜率为 的直线与 C 交于 M N 两点 23 则 FMN A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 若 g x 存在 2 个零点 则 a 的 e0 lnxf gxfa 取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 3 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半 圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC ABC 的三边所围成的 区域记为 I 黑色部分记为 II 其余部分记为 III 在整个图形中随机取一点 此点取自 I II III 的概率分别记为 p1 p 2 p 3 则 A p 1 p2 B p 1 p3 C p2 p3 D p 1 p2 p3 11 已知双曲线 C O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与 C 的两条 21xy 渐近线的交点分别为 M N 若 OMN 为直角三角形 则 MN A B 3 C D 432 23 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角相等 则 截此正方体所 得截面面积的最大值为 A B C D 342332432 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若 满足约束条件 则 的最大值为 xy 201xy 32zxy 14 记 为数列 的前 项和 若 则 nS na2nSa6S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选 法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数 则 的最小值是 2sinfxx f 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 12 分 4 在平面四边形 中 ABCD90 45A 2B 5D 1 求 cos 2 若 求 2 18 12 分 如图 四边形 为正方形 分别为 的中点 以 为折痕把ABCD EF ADBCF 折起 使点 到达点 的位置 且 F P 1 证明 平面 平面 2 求 与平面 所成角的正弦值 P 19 12 分 设椭圆 的右焦点为 过 的直线 与 交于 两点 点 的坐 2 1xCy FlC ABM 标为 0 1 当 与 轴垂直时 求直线 的方程 lxAM 2 设 为坐标原点 证明 OOB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检 验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都 为 且各件产品是否为不合格品相互独立 10 p 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 求 的最大值点 pff0p 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的 作为 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对p 每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 5 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X 求 EX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作 检验 21 12 分 已知函数 1 lnfxax 1 讨论 的单调性 2 若 存在两个极值点 证明 fx12 x 12fxfa 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 中 曲线 的方程为 以坐标原点为极点 轴正半轴xOy1C 2ykx x 为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 2 cos30 1 求 的直角坐标方程 2C 2 若 与 有且仅有三个公共点 求 的方程 1 1C 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1 fxax 1 当 时 求不等式 的解集 f 2 若 时不等式 成立 求 的取值范围 0 x xa 6 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13 6 14 15 16 16 6 32 17 12 分 解 1 在 中 由正弦定理得 ABD siniBADB 由题设知 所以 52sin4i 25 由题设知 所以 90AB 3cos1A 2 由题设及 1 知 2in5DCB 在 中 由余弦定理得BCD 22cosB 585 2 所以 BC 18 12 分 解 1 由已知可得 BF PF BF EF 所以 BF 平面 PEF 又 平面 ABFD 所以平面 PEF 平面 ABFD F 7 2 作 PH EF 垂足为 H 由 1 得 PH 平面 ABFD 以 H 为坐标原点 的方向为 y 轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间F BF 直角坐标系 H xyz 由 1 可得 DE PE 又 DP 2 DE 1 所以 PE 又 PF 1 EF 2 故 PE PF 3 可得 3 2PHE 则 为平面33 0 1 0 1 22DP 3 0 2HP ABFD 的法向量 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 则 34sin DP 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 34 19 12 分 解 1 由已知得 l 的方程为 x 1 1 0 F 由已知可得 点 A 的坐标为 或 2 1 所以 AM 的方程为 或 yx 2yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 所以 OMAB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0ykx 12 AyB 8 则 直线 MA MB 的斜率之和为 12 x 21MABxyk 由 得12 ykxyk 1212 3 4MABxxkk 将 代入 得 1 ykx 2y 22 1 40kxk 所以 12124 x 则 31 3122241843 0kkk 从而 故 MA MB 的倾斜角互补 所以 0MAB OMAB 综上 O 20 12 分 解 1 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 因此2180 C fpp 218172170 0 C fppp 令 得 当 时 当 时 0 f f 所以 的最大值点为 p01p 2 由 1 知 i 令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 依题意知 Y 180 YB 即 05X 4025XY 所以 42 9EE ii 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于 故应该对余下的产品作检验 0X 9 21 12 分 解 1 的定义域为 fx 0 2211 axfx i 若 则 当且仅当 时 所以 在2a f a 0f fx 单调递减 0 ii 若 令 得 或 2a 0fx 24a 24ax 当 时 24 0 x U 0f 当 时 所以 在 22 aa fx fx 单调递减 在 单调递 2244 0 224 aa 增 2 由 1 知 存在两个极值点当且仅当 fx2a 由于 的两个极值点 满足 所以 不妨设 fx12 10 x 1x 12x 则 由于2 121212212 lnlnln1fxf xxxaaax 所以 等价于 12 ffx 22ln0 x 设函数 由 1 知 在 单调递减 又 lngx g 1 0g 从而当 时 1 x 0g 所以 即 22ln 12 fxfa 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 10 解析 1 由 得 的直角坐标方程为 cosx siny2C 2 1 4xy 2 由 1 知 是圆心为 半径为 的圆 2C 1 0 A 由题设知 是过点 且关于 轴对称的两条射线 记 轴右边的射线为 1 Byy1l 轴左边的射线为 由于 在圆 的外面 故 与 有且仅有三个公共点等价于y2l2C12C 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 或 与 只有一个公共点且 与1l2Cl 1l 有两个公共点 当 与 只有一个公共点时 到 所在直线的距离为 所以 故1l2A1l22 1k 或 43k 0 经检验 当 时 与 没有公共点 当 时 与 只有一个公共点 1l2C 43k 1l2C 与 有两个公共点 2lC 当 与 只有一个公共点时 到 所在直线的距离为 所以 故2l A2l22 1k 或 0k 43 经检验 当 时 与 没有公共点 当 时 与 没有公共点 1l2C 43k 2lC 综上 所求 的方程为 1 4 3yx 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 解析 1 当 时 即a 1 fxx 2 1 xf 故不等式 的解集为 fx 2 2 当 时 成立等价于当 时 成立 0 1 1 ax 0 1 x 1ax 11 若 则当 时 0a 1 x 1ax 若 的解集为 所以 故 20 1a 02a 综上 的取值范围为 a