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专业名称 数学年级、班级2010级学 号姓 名函授本科数学专业泛函分析考试试题A卷（120分钟）题 号一二三四五合分题 分2020202020得 分复查人得 分评卷人 一、单项选择题（3分5=15分）1、下列各式正确的是（ C ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )（A）若, 则 (B) 是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 得 分评卷人 二. 填空题(3分5=15分)1、( )2、设是上有理点全体，则=（0，1）,=（）,= （0，1）.3、设是中点集，如果对任一点集都有（），则称是可测的。4、可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使（成一有界数集。）,则称为 上的有界变差函数。得 分评卷人 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立, 则举反例说明.(5分4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。 错误2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密 .5分 2、若，则一定是可数集. 错误2分例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集 .5分 3、若是可测函数，则必是可测函数。 错误2分例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数.5分 4设在可测集上可积分，若，则 错误2分5分四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：1在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，在上是可积的6分因为与相等，进一步，8分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、（8分）求解：设，则易知当时， .2分又因，()，所以当时，4分从而使得6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有8分五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.证明：设 2分 .3分.5分6分2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。证明：.2分.3分5分.6分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 证明：对，使对任意互不相交的有限个当时，有2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数.5分所以从而，因此，是上的有界变差函数.6分4、（6分）设在上可积，则.证明：在上可积2分据积分的绝对连续性，有.4分对上述，从而，即6分得 分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)证明：存在闭集在连续2分令，则在连续4分又对任意,.6分故在连续.8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数.10分（第6页，共6页）
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