2015年考研数学真题(数二)

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 下列反常积分中收敛的是 A B C D 21dx 2lnxd 21lndx 2xe 2 函数 在 内 20si lim xttf A 连续 B 有可去间断点 C 有跳跃间断点 D 有无穷间断点 3 设函数 若 在 处连续 则 1cos 0 xf 0 fx 0 A B C D 0 2 2 4 设函数 在 连续 其二阶导函数 的图形如右图所示 则曲线 fx fx 的拐点个数为 yfx A 0 B 1 C 2 D 3 5 设函数 满足 则 与 依次是 uv f 2 yfx 1uvf 1uvf A 0 B 0 C 0 D 0 1212 6 设 D 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域 函数 4xy 3yx 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 2 在 D 上连续 则 fxy Dfxyd A B 12sin42cos indfrr 1sin224 cos in frdr C D 13sin42 i fd 1sin234 i f 7 设矩阵 A b 若集合 则线性方程组 有无穷多个解的21a 21d 1 Axb 充分必要条件为 A B C D ad ad ad 8 设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 若123 fxxPy 2213y 123P e 则 在正交变换 下的标准形为 13 Qe 123 f A B C D 22y 23y 2213y2213y 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设 231arctntxdyxy 则 10 函数 在 处的 n 阶导数2 f0 0nf 11 设函数 连续 若 则x 20 xftd 1 5 1 f 12 设函数 是微分方程 的解 且在 处 取值 3 则 y y 0 xy yx 13 若函数 由方程 确定 则 zx23xze dz 14 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2 2 1 其中 E 为 3 阶单位矩阵 则行列式2BA B 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 3 15 本题满分 10 分 设函数 若 与 在 是等价无穷小 ln 1 sinfxxb 2 gxk fxg0 x 求 的值 abk 16 本题满分 10 分 设 D 是由曲线段 及直线 所形成的平面区域 0A sin 0 2yAx 2yox 1V 分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积 若 求 A 的值 2V 1V 17 本题满分 10 分 已知函数 满足 求 fxy 2 1 xxyfe 0 xfe 2 0 fy 的极值 f 18 本题满分 10 分 计算二重积分 其中 Dxyd 22 Dxyyx 19 本题满分 10 分 已知函数 求 零点的个数 211 xxftdt fx 20 本题满分 11 分 已知高温物体置于低温介质中 任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的 温差成正比 现将一初始温度为 120 的物体在 20 恒温介质中冷却 30min 后该物体温度0C0 降至 30 若要使物体的温度继续降至 21 还需冷却多长时间 0C 21 本题满分 11 分 已知函数 在区间 上具有 2 阶导数 设 fx a 0fa fx 0fx 曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 证明 ba yf bfx0 ab 22 本题满分 11 分 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 4 设矩阵 且 10aA 3AO 1 求 的值 2 若矩阵 满足 为 3 阶单位阵 求 X22XE X 23 本题满分 11 分 设矩阵 相似于矩阵 0312Aa 103Bb 1 求 a b 的值 2 求可逆矩阵 P 使 为对角矩阵 1A