高三数学通读考纲回归基础查漏补缺.doc

通读考纲 回归基础 查漏补缺立体几何 空间向量 平面向量 立体几何初步【大纲正文】(1)空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）【温馨提示】1斜二测画法的规则为：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现（对照书熟悉一遍）；三视图画法的规则为：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等2将空间几何体按某直线展开成平面图形，经常用于求几何体的表面积及一些几何体表面上两点之间（沿表面）距离的最小值；将平面图形绕某直线折成空间几何体时，要抓住平面图形与相应空间几何体之间的“不变关系”3求体积的常用方法为：割补法和等积变换法；割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积；等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面(1)求体积时，可选择容易计算的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”【考题重温】例1如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图 在直观图中梯形的高为( ) A B C D例2右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A B C D例3已知一个棱长为2的正方体，被一个平面所截得的几何体三视图如图所示，则该几何体体积为( ) A B C D例4如右图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( ) A258 B234 C222 D210例5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A B C D例6如图，已知一个三棱锥的三视图的轮廓线都是边长为1的正方形，则此三棱锥的外接球的表面积为_.例7如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱平面过A作交SB于E点，作交SD于H点，平面AEH交SC于K点，且设点P是SA上任一点，则的最小值为_.例8有一个各长棱均为a的正四棱锥形礼品（如图所示），现用一张正方形包装纸将其完全包住，要求包装时不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长应为( )A B C D【大纲正文】(2)点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理5：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题【温馨提示】1以上列出的公理、定理是证明空间几何中位置关系的依据，不能凭感觉证明，不要用三垂线（逆）定理，另外，要能够证明性质定理，自己挑一个证一下2以上列出的公理、定理是也是考试时的规范用语，只是用数学符号表述代替文字，以下给出（2013年广东卷理数第18题）的标准答案，请认真阅读并效仿，另外，用几何法求空间角时，一般要画出平面角，并加以证明，再计算如图1，在等腰直角三角形ABC中，分别是上的点为BC的中点将沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 其中(1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值.证明：(1)设F为ED的中点，连接 计算得为等腰底边的中线， 在原等腰底边BC的高线上，又 在中， (2)解法一：如答图1，过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连结为二面角的平面角，在中，于是在中，结合图1可知，H为AC中点，故从而, 所以所以二面角的平面角的余弦值为解法二：如答图2，以O点为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，于是设为平面的法向量，则于是，故，即取，再取平面的一个法向量设n与m的夹角为，则由答图2可知，二面角的平面角的余弦值为【考题重温】例9两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( ) A两条相交直线 B两条平行直线 C两个点 D一条直线和直线外一点例10一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则两个二面角( ) A相等 B互补 C相等或互补 D没有关系例11设直线l平面过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有( )A1条 B2条 C3条 D4条 空间向量与立体几何【大纲正文】(1)空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.【考题重温】例12已知正方体中，点E为上底面的中心，若则的值分别为( ) A B C D例13如图，在四面体中，若 试证.【大纲正文】 (2)空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.【考题重温】例14如右图，已知平行六面体分别是棱的中点，求证：四点共面.例15已知向量分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 则l与所成的角为( )A30 B60 C120 D150【温馨提示】1利用空间向量解题，不一定要建坐标系，一般选定合适的基底（如例12，13，14）；空间向量的有关概念运算与平面向量类似2建立恰当的空间直角坐标系，求平面的法向量是求空间角与距离的重要方法之一，其中利用共线求求直线上某点坐标是难点主要公式如下：(1)设异面直线的方向向量分别为则与所成的角满足 (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为 则直线l与平面所成角满足(3)如图，是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 如图，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足由图定锐二面角或钝二面角. (4)如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离 平面向量【大纲正文】(1)平面向量的实际背景及基本概念 了解向量的实际背景. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 理解向量的几何表示【考题重温】例16设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则( ) A8 B4 C2 D1(2)向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义【考题重温】例17设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射记的象为.若映射满足：对所有及任意实数都有 则f 称为平面M上的线性变换，现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，则对设 则f是平面M上的线性变换若是平面M上的单位向量，对设 则f是平面M上的线性变换设f是平面M上的线性变换，若共线，则也共线.其中真命题是_（写出所有真命题的序号）(3)平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【考题重温】例18如图，已知六边形ABCDEF为正六边形，则( ) A B C D例19中，点D在AB上，CD平分若则( ) A B C D例20如图，设为内的两点，且则的面积的面积之比为_.(4)平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考题重温】例21设在上的投影为 在x轴上的投影为2，且则为 A B C D例22平面内有三个向量其中与的夹角为120，与的夹角为30，且,若 则的值为_.例23已知则等于( ) A7 B C D (5)向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【考题重温】例24一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知成60角，且的大小分别为2和4，则的大小为( )A6 B2 C D例25设为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， 则的值一定等于( )A以为邻边的平行四边形的面积 B以为两边的三角形面积C以为两边的三角形面积 D以为邻边的平行四边形的面积例26设向量满足：以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ) A3 B4 C5 D6例27已知平面向量 满足与的夹角为120，则的取值范围是_. 【温馨提示】1处理向量问题的三种思路：利用运算（加法、减法、数乘，数量积）的定义及运算律进行代数运算；几何运算；坐标运算2已知是非零向量，的夹角为锐角的充要条件是且不共线同向；的夹角为钝角的充要条件是且不共线反向3解析几何中向量有时可以扮演斜率的角色.参考答案例1C，解析：按斜二测画法，得梯形的直观图, 如图所示，原图形中梯形的高 在直观图中且作垂直轴于则即为直观图中梯形的高；那么例2A 例3C例4C，解析：例5B，解析：设球心为O，设正三棱柱上底面为中心为因为三棱柱所有棱的长都为a，则可知又由球的相关性质可知，球的半径 所以球的表面积为例6，解析：此三棱锥是棱长为的正四面体，补形成棱长为1的正方体；此三棱锥的外接球即此正方体的外接球，直径为表面积为例7，提示：将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段BH的长.例8B，提示：将题图中的正四棱锥整体展开，变为如图所示的平面图形，问题则转化为求一个最小的正方形将图完全覆盖 例9D 例10D，提示：固定一个二面角（教室黑板面与地面），另一个二面角（教室门面与靠走廊的墙面），教室门面可旋转.例11B例12C，提示：例13提示：选择基底 则例14证明：设它们构成空间一组基底，设 解得： 则共面，从而四点共面，例15A例16C，提示：的几何意义是例17例18B，提示：例19B，提示： 所以D点为AB的三等分点例20，提示：建立直角坐标系立得例21B，解析：(2)因为在x轴上的投影为2，可设又在上的投影为 平方整理得 解得又 显然不符合，故例226例23D，提示：例24D，解析： 所以例25A，解析：令与的夹角为S平行四边形；即为以为邻边的平行四边形的面积例26B，提示：数形结合例27，解析1：首先将向量中的条件翻译成几何语言，如图假设则题目就成为：中问AB长的取值范围，在三角形中利用正弦定理，得到则解析2：由几何性质，如图，外接圆半径为为圆中一固定的弦，则A为优弧BC上一动点，故取值范围为.