【重庆大学机械原理本科用书】7-8章

299 第七章 机械动力学 第一节 概述 一 机械动力学的研究内容及意义 按预期要求实现一定运动规律和对外作有用功是机械的基本功能 机构在传递和变换运 动的同时必然伴随着力的传递和变换 机械在工作过程中受到各种性质的力 这些力影响着 机械的运动状态 而同时机械的运动也影响着机械的受力 机械系统中力和运动的相互作用 决定了机械的工作状态 机械动力学就是研究机械在运动中的力及在各种力作用下的机械运 动 分析和评价动力学性能 研究提高机械动力学性能的措施 这是机械系统分析与设计的 一个十分重要的内容 机械运动中存在摩擦 机械在 主动力作用下运动时 摩擦将以阻碍相对运动的摩擦力体 现出来 消耗输入功 甚至在某些情况下使机械根本不能运动 影响机械工作效率 是机械 动力学分析的一个重要内容 高速 重载的机械系统中 构件周期运动产生的惯性力和惯性力矩 是造成系统主轴速 度波动 也是造成系统振动 产生噪音和增大运动副中附加动反力的直接原因 因此 对于 高速 重载的机械系统 研究计及构件惯性力和惯性力矩的真实受力状况 合理分配各构件 的质量与质心位置 进行机械的平衡 提高机械的工作性能与平稳性也是十分必要的 机械系统通常由原动机 传动系统 工作执行 系统等组成 一般来说 原动件的运动不 是匀速的 原动件的运动规律取决于各运动构件的质量 转动惯量以及作用在机械上的各种 外力 前面章节中对平面机构进行运动分析和受力分析 都是在假定机构原动件作匀速运动 这种假定对于低速 轻载的机械是允许的 但对于高速 重载 大质量的机械 这种分析误 差可能会直接影响到设计的安全性 可靠性 实际上在机械运转时绝大多数机械系统主轴的 速度都是波动变化的 过大的速度波动会影响机器的正常工作 增大运动副中的动负荷 加 剧运动副的磨损 降低机器的工作精度和传动效率 缩短机器的使用寿命 激发机器 振动 产生噪音等 综上所述 本章将主要对以下问题进行讨论 1 机构的摩擦与效率 2 机械的平衡 3 机械的真实运动规律分析与速度波动的调节 二 机械中 作用的力 机械是在各种力的作用 或约束 下进行工作的 力的性质及其作用规律对机械的工作 与运动状态有着直接的影响 因此 为了研究机械系统的真实运动规律 机械的动力学问题 以及机械中的摩擦与效率问题 以深入了解机械的工作状态 必须了解作用在机械中的力 了解力的种类和作用性质 按力对运动的影响分 作用在机构上的力可分为驱动力和阻力两大类 平 面运动构件上凡是与构件运动速度方向夹锐角的力称为驱动力 与运动角速度方向一 300 致 的力矩称为驱动力矩 原动机发出的力是驱动力 构件质心位置下降 时的 重力 及 构件作减 速运动时 的 惯性力 矩 以及 摩擦传动中的摩擦力 都起到 驱动力 的作用 必须指出来的是 原动机所产生的力并不总是恒定的 其变化规律取决于原动机的机械 特性 例如内燃机 蒸汽机所输出的驱动力是位置的函数 而电动机的驱动力是其角速度的 函数 惯性力也是机构位置的函数 平面运动构件上凡是与构件运动速度方向夹钝角的力称为阻力 与构件角速度方向相反 的力矩称为阻力矩 阻力 矩 分为工作阻力和有害阻力 如 冲床在冲压金属时 金属材料 对冲头的阻力 吊车在起吊重物时的 重力 等都是工作阻力 由于克服了这些阻力 机器作出 了有益功 故工作阻力 矩 又称为有益阻力 矩 阻碍作有益功的力 矩 称为有害阻力 矩 运动副中的摩擦力 矩 是机械运动的一种主要有害阻力 工作阻力一般也是变化的 例如冲压机械的阻力是执行构件位移的函数 离心式水泵 鼓风机等是执行构件速度的函数 球磨机等生产阻力则是时间的函数 起重机 金属切削机 床 轧钢机等生产阻力一般可以认为是常数 作用在运动副元素上的力称为约束力 或 约束反力 对机构而言 约束力是内力 对构 件而言 它们是外力 单独由惯性力 矩 引起的约束 反 力部份称为附加动压力 约束反力 可分为沿运动副元素接触点的法向力和切向力 法向力是唯一 在运动中 不作功的力 切向力 即运动副中的摩擦力 计入摩擦力的约束反力称为运动副中的总反力 摩擦除了使运动副磨 损造成运动精度降低缩短机械的使用寿命外 还是影响机械传动效率的主要因素 因此 了 解这些力的作用性质与变化规律对机构的设计分析是必要的 第二 节 机械 中的摩擦与效率 一 机构中的摩擦 在构成运动副的两个构件 中 摩擦 以 摩擦 力的形式阻 止两构件的相对运动 摩擦力 是 运动副反力的一个组成部分 一 移动副中的摩擦力和总反力 图 7 1 所示移动副 当载荷为 Q 的滑块 1 在水平方向驱动力 P 作用下 相对构件 2 以匀速 V12 水平移动时 根据库仑定理 构件 2 作用在滑块 1 上的法向反力 N21 与摩擦力有以下关 系 f21 N21 Q 式中 摩擦系数 当运动副 元素是平面时 不同材料组合测得的 摩擦系数参见表 7 1 由于 21 21Nf 是一个常数 在计及摩擦的受力分析时 为了简 化分析过程 通常不单独分 析 N21 和 f21 而研究它们的合力 R21 212121 NfR R21 称为构件 2 对构件 1 的总反力 从图 6 1 中可以看到 R21 与 N21 之间的夹角为 21 Q f21 R21 N 21 P 图 7 1 移动副的受力分析 1 2 301 a r c t ga r c t g 21 21 Nf 7 1 称为 摩擦角 材料一定时 摩擦系数和 摩擦角 为一定值 移动副的总反力 R21 总是与法 线方向成一摩擦角 从而能十分方便的在受力分析时确定总反力的方向 因为 R21 与 V12 之间夹 90 角 故 R21 是作用于运动构件 1 的阻力 一般情况下驱动力 P 并不总是与移动方 向相同 如图 7 2a 所示 为分析方便且不失 一般性 暂不考虑滑块的自重 将 P力分解为法向压力 cosPPn 以及 水平分力 sinPPt 在法向压力 nP 作用 下 则必有一个与之大小相等方向相反的法向 反力 N21 当滑块在 Pt 作用下以 V21 移动时 产生摩擦阻力 f21 s i nc o sc o sc o sc o s2121 PtgPPPNf n 下面分析驱动力 P 作用线的方位 角 的影响 1 当 时 有 tPPf sin21 V21 0 或为常数 滑块作等速运动 2 当 时 由于 1 coscos 则 tpPPf s ins inc o sc o s21 滑块处于 非平衡状态作加速运动 3 当 时 由于 1 coscos 则 tpPPf s ins inc o sc o s21 这时不论 P 力如 何增大 有效驱动力 Pt 总小于由于 Pn 所引起的摩擦力 f21 如果滑块运动则作减速运动 如果 滑块静止则将不动 并且不论驱动力多大都不能驱动滑块运动 把这种现象称为 自锁 上述分析没有考虑法向载荷 Q 当计入法向载荷 Q 时 Pt 不变但摩擦力 f21 增大 当 时肯定也会出现自锁 因此可以得出一个重要的结论 在移动副中当驱动力 P 的作用线与法 线的夹角 小于摩擦角 时将产生自锁 表 7 1 两运动副元素是平面 不同材料组合的摩擦系数表 材料副名称 摩 擦 系 数 静 摩 擦 动 摩 擦 无润滑剂 有润滑剂 无润滑剂 有润滑剂 钢 钢 0 15 0 10 0 12 0 10 0 05 0 10 钢 铸铁 0 2 0 3 0 16 0 18 0 05 0 15 钢 青铜 0 10 0 15 0 15 0 18 0 07 铸铁 铸铁 0 15 0 16 0 15 0 07 0 12 铸铁 青铜 0 28 0 16 0 15 0 21 0 07 0 15 青铜 青铜 0 15 0 20 0 04 0 10 皮革 铸铁或钢 0 30 0 50 0 12 0 15 橡皮 铸铁 0 8 0 5 图 7 2 驱动力作用线方位影响 Pn Pt P N21 f21 R21 a b Q R21 R f21 P 1 302 值得注意的是 在如图 7 2b 所表示的图中 驱 动力 P 为 水平方向 当 P 小于 摩擦力 f21 时 滑块静止不动 这时如果将 P Q 合成 为合外力 R 则 R 与法线的夹角 也小于摩擦角 但这不能称为自锁 因为当 P 增大到大 于 摩擦力 f21 时 滑块就可以运动起来 因此 对移动 副而言 自锁只能出现在驱动力 P 的方向与相对运动方向不平行 的情况 摩擦力除了与法向力和两运动副 元素的材料有关外 也与两运动副元素 的几何形状有关 在实际工程应用中 为了保证滑块沿确定的方向运动并易 于安装定位 常将滑块与导轨的接触面 作成 V 形槽接触 如图 7 3a 所示 称为 V 形导轨 该移动副称为槽面副 设 V 形槽面副的槽形角为 2 法向反力 sin21 QN 显然大于 Q V 形 槽面副上的摩擦力 2121 Nf Q sin 为了便于采用统一的形式计算运 动副中的摩擦力 令 sin0 7 2 则 Qf 021 7 3 式中 0 当量摩擦系数 从上式可以看出 因为 sin 即槽面接触较两构件间的平面接触 摩擦力大 因此 为了增大联接螺纹与 螺母间的摩擦 使螺母不易松脱 联接螺纹的牙形常作成三 角形 为了增加皮带 轮与皮带之间的摩擦 增大传动的转矩 皮带断面也常作成三角形 使 之与皮带轮上三角形的槽面相接触 图 7 5b 引入当量摩擦系数后不论两运动副元素的几何形状如何 均可以用统一计算公式来计算 摩擦力 摩擦角和总反力 这时只需根据运动副元素的几何形状 采用相应的当量摩擦系数 即可 从而为运动副元素是复杂曲面的摩擦力的计算提供了方便 例如图 7 5c 所示两构件沿 一园弧面接触 在载荷 Q 的作用下 构件 1 所受的反力沿整个接触面的法向分布 其法向分 力的 铅垂方向分量之和才与 Q 相等 显然计算这些法向分力和由这些力产生摩擦力是比较复 杂的 采用当量摩擦系数 0 计算由 Q 力引起的摩擦 f21 就比较简单 Qf 021 0 k 式中 为两运动副元素是平面时的摩擦系数 其值可从表 7 1 中查出 k 可以 通过实验测得 其值范围在 1 与 1 57 之间 需要指出的是 根据两构件接触面的形状采用不同的当量摩擦系数来计算两构件相对运 动时产生的摩擦力 这并不是因为两构件的摩擦系数发生了变化 而是运动副元素的 几何形 面使法向反力的计算发生了变化 采用根据理论和实验分析得到的当量摩擦系数 可以不必 a b c 图 7 3 槽面的受力分析 a 槽面的受力分析 b 槽面摩擦的应用 c 圆弧面接触的受力 303 计算这些复杂的法向反力就可以求出作用在运动副中的摩擦力 从而大大地简化了摩擦力的 分析计算过程 二 转动副中的摩擦与总反力 当两构件形成转动副时 支承转轴的零 件称为轴承 转轴上 与 轴承 接触 的部份称为 轴颈 按轴颈受力状态轴颈可分为两种 载 荷沿直径方向作用称为 径向轴颈 图 7 4a 载荷沿轴方向作用的 称为轴踵 图 7 4b 也 称止推轴颈 1 径向轴颈中的摩擦 径向轴颈是转动副最常见的结构形式 设径向轴颈 1 上沿轴的直径方向上作用有载 荷 Q 在驱动力矩 Md 的作用下 轴以等角速度 12 相对轴承 2 转动 图 7 5a 由于轴承对轴颈的反力在园柱面上 分布复杂 与两构件的材料 轴孔间隙大小 磨合状态等诸多因素有关 工程中为简化计算 常将其简化为集中力 如图 7 5 所示 与 槽面副类似 将轴承和轴颈的摩擦力 f21 表示为 f21 0Q 根据实验及理论分析 对于配合紧密 未经跑合的轴颈 0 1 57 对于配合轻松 跑合过的轴颈 0 1 27 为运动副元素是 平面时的摩擦系数 在 Q 力作用下作用在轴颈上的法向总 反力 N21 必 通过轴心 O 摩擦力 f21 形成阻止 轴颈转动的摩擦力矩 Mf rQrfM f 021 7 4 式中 r 轴颈的半径 为了研究方便 常将轴颈上的法向反力 N21 和 摩擦力 f21 合成为总反力 R21 当轴 颈以匀角速度 12 相对轴承匀速转动时 由力的平衡条件可知 轴颈上的总反力 R21 与载荷 Q 摩擦力矩 Mf 与驱动力矩 Md 必然 分别 大小相等 方向相反 即有 fd 21 MM QR 即 R12 与 Q 的作用线平行 但因 R21 N21 f21 R21 的作用线必不可能通过轴心 它既要 从力的平衡角度与 Q 大小相等 方向相反 还必须与轴心偏离形成一个阻力矩 相当于摩擦 力矩 与驱动力矩 Md 平衡 为了求得总反力 R21 包括法向反力 N21 的作用点 设总反力 R21 与轴心的偏距为 则 R21 对轴心的转矩必然与驱动力矩平衡 则 R21 Mf Q 0r a b 图 7 4 转动副在工程中的应用 a 径向轴颈 b 止推轴颈 a b 图 7 5 径向轴颈的受力分析 a 匀速转动的径向轴颈 b 径向载荷改变对轴运动的影响 304 所以 有 0r 7 5 因为 0 r 为常数 故 是一定值 确定了总反力 R21 与轴的回转中心的距离 当轴上载 荷的方向改变时 R21 的方向也将发生改变 但 R21 与轴的回转中心距离 不会改变 因此 我 们可以根据 R21 始终与半径为 的园相切 并使 R21 对轴心的矩与 12 方向相反 来确定 R21的方向 与力的作用位置 半径为 的园称为摩擦圆 称为 摩擦圆半径 引入摩擦圆的概念便于用图解法进行受力分析时确定总反力的方位 并有利于对轴 在力 作用下的相对运动状态进行分析 如图 7 5b 所示 设驱动力 Q 与轴心的距离为 h Q 对轴 心之矩为驱动力矩 Md 由于无论 Q 及 h 的大小如何变化 由 Q 引起的约束反力 R21 大小总 是与之相等并切于半径为 的摩擦圆上 因此 当 h 时 即 Q 与 R21 共线 轴 1 若原来以匀 角速度 12 转动 现仍将以 12 继续转动 若轴 1 原来不动 现仍将不动 当 h 时 力 Q 作 用在摩擦圆以外 轴 1 将加速转动 当 hQ 7 10 或者说 阻力为 Q 的重物以匀速 VQ 上升时 只需要用比 P 小的力 P0 就能以匀速 VP 下降 即 1 0 p QVPQV 或 QPVV p Q 0 P0 P 7 11 将式 7 10 或式 7 11 代入式 7 9 中得 1 0 0 QQPP 7 12 式 6 12 表明 机械效率等于在工作阻力 Q 不变的条件下 同一机械计及摩擦时的驱动力 P 与不计摩擦时的驱动力 P0 的比值 或者说 在驱动力 P 不变的条件下 同一机械不计摩擦 时能克服的生产阻力 Q0 与计及摩擦时能克服的生产阻力 Q 的比值 使近似匀速运动机械的效 率计算更为简单易行 将式 6 12 改写为 1 1 2 pd Qr p Q p Q MMrP rQPVQV 式中 r1 驱动力距轴心的半径 r2 阻力距轴心的半径 Mr 工作阻力矩 Md 驱动力 矩 和上述推导过程一样 可 得 0 0 r r d d MMMM 式中 0dM 克服相同生产阻力矩 Mr 不计摩擦时所需的驱动力矩 0rM 在驱动力矩 Md 不变的条件下不计摩擦时所能克服的生产阻力矩 机 械在正常工作时 0 1 但如果 Ad Af 0 则 Ar必为零 说明机械不能输出功 这 时的机械如果原来在运动 现在仍将维持原状态继续运动但不能对外作功 机械的这种运动 状态称为空转 如果机械原来是静止的 因没有多余的功可以 转变为机械的动能 机械肯定 无法动起来 如果 Ad Af 0 故 tan 2 0 即 2 90 于是得机构的楔紧角 为 90 2 7 20 当停止施压时 被压物体的重力和弹性恢复力 Q 成为机构运动的驱动力 这时机构中各 构件的运动方向与压榨时相反 将式 7 18 中的摩擦角 用 代替得 tan 2 PQ 上式为在驱动力 Q 作用下机构匀速运动时应在楔块 1 上施加的阻力 P 与 Q 的关系式 在 不计摩擦的理想压榨机中 令 0 得理想机械的生产阻力 P0 与 Q 的关系式 P0 Qtan 根据机械效率的定义 得在 P 为阻力时的机械效率为 0 ta n 2 ta nPP 7 21 这时若要保证被榨物不被松开 应使机构自锁 令 0 得 02 即 2 7 22 比较式 7 21 和式 7 22 知 因 2 远远小于 90 在 2 的条件下 压榨机既能向被压 榨物体加压 又能在加压停止后保证被压榨物不被松开 当 2 90 2 时 机构将不会自 锁 可在力的作用下沿正 反两个方向运动 但效率不一定相等 将式 7 13 除以式 7 15 得 2 2 2 4 2 22 22 22 ta n ta n ta n ta n ta n 2 ta n ta n 2 ta n 2 ta n 2 ta n ta n 2 1 ta n ta n 2 当 45 时 当 2 45 时 因为 1tg4 所以 1 即 说明 当驱动力作用于楔 紧角较小的楔块使机构运动时 比驱动力作用于楔紧角大的楔块使机构运动时的效率 高 同 一楔块机构正反行程运动时的机械效率并不相等 这一现象在机构中普遍存在 在正 反行 程运动均需要利用的机构设计中 应分别对其正反行程的效率进行计算 312 2 螺旋机构的摩擦与效率 图 7 12 所示 螺旋机构 也称为螺旋副 广 泛应用于传动和联结中 它由螺杆和螺母组成 传动中螺杆转动 螺母作移动 联结时螺杆不 动而螺母既转动又作移动 但不论那种情况 螺纹都可以看成是以中径上的螺旋升角为斜角 的斜面绕 园柱体上形成 螺母等效为沿斜面运 动的滑块 螺杆与螺母之间的相对运动关系如 同一个滑块沿斜平面运动 如 7 12b 图示 其 轴向力为垂直载荷 Q 驱动力矩 Md 可转换为中 径处的圆周力 P 相当于斜面上的水平力 其 摩擦与效率分析与斜面完全相同 设螺旋的中径为 d 螺旋升角为 dzpdl tan L 为螺旋的导程 z 为螺旋的头 线 数 p 为螺距 当推动螺母克服轴向载荷 Q 移动 或举起 重物 以及连接中拧紧螺母时 就相当于滑块 沿斜面等速上升 水平驱动力为 tan PQ 螺旋机构在中径处所需的驱动 或拧紧 力矩 1 ta n 2 dM Q d 当作用在螺母上的载荷使其转动和下降以及 联结中松开螺母时 相当于滑块沿斜面下降 维 持 其 等 速 下 降 的 驱 动 力 矩 1 ta n 2dM Q d 螺旋机构的效率计算与斜面机构完全相同 拧紧螺母或推动螺母克服轴向载荷 Q 移动 或举起重物 时效率为 0 ta nta n PP 7 23 松开螺母或在轴向载荷作用下螺母 下降时 效率为 0 ta n ta nPP 7 24 从上面的分析可以看出 1 当 螺旋升角 时 正反行程均可实现 且需要施加一定的力矩 2 由 7 24 可知 若 螺旋升角 时 0 反行程将自锁 即在 Q 力作用 下重物不会自动下落 连接不会自行松脱 要使其下降或松脱 还必须加一反向力矩 Md a b c 图 7 12 螺旋机构 a 矩形螺纹 b 受力分析图 c 三角形螺纹 313 因此 对于举重或连接用螺纹 若希望其反行程自锁 应使螺旋升角 对于 传动用螺纹 为了有较高的效率 应使螺旋升角 对 于 图 7 12c 所 示 的 三 角 形 螺 纹 其 展 开 的 斜 面 为 槽 面 槽 面 夹 角 为 21802 0 为 三角形螺纹的半顶角 这时摩擦角应为当量摩擦角 vv arctan cos v 故三角形螺纹的自锁性能高于矩形螺纹 一般用于连接 而矩形螺纹则多用于传动 摩擦对机械的工作带来许多不利的影响 它使机械的效率降低 使运动副磨损 降 低了机械的使用寿命工作精度 但摩擦又不可避 免 在设计时应采取措施降低摩擦对机 械工作带来的不利影响 例如 尽量减少机械中运动副的数量 减轻构件的自重和惯性 力 用滚动副替代移动副 选用合理的运动副元素的材料 选择合适的润滑等等 另一 方面 摩擦也有其有利的一面 例如 带传动 摩擦式离合器均是利用摩擦来实现运动 和动力的传递 三角螺纹借助增大摩擦来提高联接的可靠性 图 7 6 所示的例子是利用 摩擦使机构自锁设计而成的夹具 除此之外 千斤顶 摩擦式制动器等都是充分利用摩 擦有利的一面而设计制造的 因此 减少摩擦和巧妙地利用摩擦 对机械设计者是同样 重要的两个方面 摩擦学 这门新兴的学科也正是在人们对摩擦理论不断深入的认识中 而逐渐形成的 关于摩擦学方面的内容可查阅有关书籍和文献 第二节 机构的动态静力分析 机构受力分析的目的主要有 一是确定运动副中的约束反力 这些力的大小和性质决定 了各构件满足设计要求应具有的强度和刚度 决定了运动副中摩擦与磨损 从而决定了机构 的寿命与传动效率 二是确定在按给定的运动规律运动时需加在原动件上的平衡力 矩 这是 选择维持机器正常运转所需原动机的型号 功率的重要技术依据 对于低速机械 惯性力对上述分析内容的结果影响不大 故可以在不计惯性力的条件下 对机构进行静力分析 中 高速运动的机械其构件在运动时产生的惯性力往往很大 在对机 构进行受力分析时 如果机构中的惯性力达到或超过驱动力或生产阻力的 1 10 就必须在分析 中计入惯性力 在这种情况下进行力分析时 可根据达朗贝尔原理将构件运动时产生的惯性 力作为已知外力加在相应的构件上 将动态受力系统视为为瞬时静 力平衡系统 用静力学的 方法对机构进行受力分析 这种将动力学问题转化为静力学问题的分析方法称为机构的 动态 静力分析 机构的动态静力分析方法有图解法和解析法两种 用图解法作动态静力分析时 将 初步 估算出来的惯性力和惯性力矩作为已知外力加在相应构件的质心上 并在机构运动简图中准 确地画出其方向 然后采用矢量图解法对机构进行受力分析 图解法概念清楚 也有一定的 精度 但图解过程比较繁琐 机构动态静力分析的解析法主要有 矢量方程解析法 基本杆组法和直角坐标法 不论 采用哪种方法都是根据力的平衡条件 列出机构中已知力和待求力 之间的力平衡关系式 然 后采用相应的数学方法求解 本节主要介绍直角坐标法 一 动态静力分析的图解法 314 当机构各构件的惯性力确 定后 即可根据机构所受的已知外力 包括惯性力 来确定各运动 副中的反力和需加于该机构上的平衡力 但是如前所述 运动副中的反力对于整个机构来说 是内力 求解时必须将运动副拆开 分析计算繁琐 对于平面连杆机构由于仅有转动副和移 动副 在不计摩擦的条件下 转动副中的约束反力的作力线是通过回转中心的 仅大小 方 向两个量未知 移动副中的约束反力方向是垂直导轨的 仅大小和力的作用点位置两个量未 知 故在有 PL 个低副的连杆机构中 共有 2PL 个力的未知量 根据力的平衡条件一个构件可 以列出 3 个力的平衡方程 有 n 个可动构件的连杆机构共可列出 3n 个力的平衡方程 要全部 解出 2PL 个待求参数 则应有 3n 2PL 0 而这一条件正好也是基本杆组的结构条件 即是说作用于基本杆组上的力是静定的 因 此 连杆机构在进行力分析时 可以采用以基本杆组为示力体 从而可以使作图求解过程更 加简洁 清楚 进行机构动态静力分析的步骤是首先求出各构件的惯性力 并把它们视为外力加于产生这 些惯性力的构件上 然后再根据静定 条件将机构分解为若干个构件组和平衡力作用的构件 而进行力分析的顺序一般是先由离平衡力作用的构件最远的构件组 即外力全部为已知的构件 组 开始 逐步推算到平衡力作用的构件 1 构件惯性力的确定 在进行新机械设计时 当通过方案设计和运动学设计确定出新机械的机构运动简图尺寸 后 便可以着手对机构进行动态静力分析 由于动态静力分析要计入构件的惯性力和惯性力 矩 而此时构件的结构形状 剖面尺寸 构件的质量 转动惯量和质心位置均未确定 因此 在对机构进行动态静力分析前 只能凭借经验或对机构作简单的静力分析的基础上对 构件的 结构和剖面尺寸作出初略的估算 由此定出各构件的质量 转动惯量和质心位置 在此基础 上 假定机构原动件按某种运动规律运动 一般按匀速运动规律 通过对机构进行运动分 析 计算质心的加速度和构件的角加速度 从而算出各构件的惯性力和惯性力矩 当构件 i 的质量 mi 绕构件质心的转动惯量 Jsi 和质心位置 Si 确定后 根据运动分析求出 构件 i 质心的加速度 asi 和构件的角加速度 i 设构件 i 质心加速度在直角坐标系 O xy 中 x y 方向上的分量分别为 sisi yx 则应加在构件 i 质心上的惯力在 x y 方向上的分量为 siiyui siixui ymF xmF 7 24 惯性力的方向可用惯性力在坐标系中的方位角 i 表示为 si si sii siii xyxm ym a r c t ga r c t g 惯性力的大小为 isisisiiui amyxmF 22 应加在构件 i 上的惯性力矩的大小为 isiui JM 7 25 惯性力矩的方向与 i 方向相反 315 机械运动过程中 各构件产生的惯性力 不仅与质量 m 绕过质心轴的转动惯量 Jsi 质 心 Si 的位置 及的加速度 asi 及角加速度 i 等有关 而且与构件的运动形式有关 1 作平面运动的构件 平面运动的构件惯性力系可简化为一个加在质心 Si 上的惯性力 uiF 和一个惯性力矩 uiM isiuisiiui JMamF 或合成 为一个大小为 uiF 作用线偏离质心 Si 的总惯性力 作用线偏离质心 S 的 距离 ui uii FMh uiF 对质心 Si 的矩的方向与 uiM 一致 2 作平面移动的构件 有一个加在质心上的惯性力 siui maF 3 绕定轴转动的构件 若回转轴线不通过质心 当构件为变速转动时 作用有惯性力 siui maF 和惯性力偶矩 isiui JM 如果回转轴线 通过构件质心 则只有惯性力 矩 isiui JM 当机构各构件的惯性力 力矩 确定后 即可根据机构所受的已知外力 包括惯性力 来确 定各运动副中的反力和需加于该机构上的平 衡力 图解法是通过作基本杆组受力的力封闭多 边形来求未知力的大小和方向的 因此 必须先准确地画出机构运动简图及各基本杆组图 其次 应选择合适的力比例尺 使力多边形的图形大小适度 便于计量 力比例尺 F 的单位 是 a N mm 即图上每毫米长度表代 a 牛顿力 2 用图解法 进行 机构动态静力分析 举例 例 7 3 图 7 13a 所 示为一往复式运输机的机构运动简图 设已知各构件的尺寸 连杆 2 的重量 Q 2 其质心 S2 在杆 2 的中点 连杆 2 绕质心 S2 的转动惯量 JS2 滑块 5 的重量 Q5 其质 心 S5 在 F 处 而其它构件的重 量和转动惯量都忽略不计 又设原动件 1 以角速度 l 等速回转 作用于滑块 5 上 F 点的生产阻力为 P r 求在图示位置时 各运动副中的反力 以及为了维持 机构按已知运动规律运转需要加在原动件 1 上 G 点处沿方向 xx 的平衡力 Pb 316 图 7 13 往复式运输机的机构 解 1 对机构进行运动分析 用选定的长度比例尺 l 速度比例尺 v 和加速度比例尺 a 作出机构图及其 速 度多边 形和加速度多边形 分别如图 a b c 所示 2 确定各构件的惯性力及惯性力矩 作用在连秆 2 上的惯性力及惯性力 矩为 22222 spgGamF asi 22222222 a lcnJlJJM asCBssi 作用线偏离质心 S 的 距离 i iFMh 2 22 iF2 对质心 S2 的矩的方向与 iM2 一致 作用在滑块 5 上的惯性力为 fpgGamF ai 5555 3 划分杆组及原动件 进行 力分析 将各构件产生的惯性力视为外力加于相应的构件上 将机构分解为两个 基本 组 5 4 和 3 2 及作用有平衡力的构件 1 从 构件组 5 4 开始进行力分析 由于不考虑构件 4 的重量及惯性力 构件 4 为二力杆 R54 R34 且沿构件 4 的方向 取滑块 5 为分离体 由于滑块质心与铰链点 F 重合 则该构件受力为汇交力系 其 受如 317 图 d 示 根据力平衡条件 得 0RRFPQ 65455ir5 上式中仅 R45 及 R65 的大小未知 故可用图解法求出 如图 e 所示 用选定的力比例尺 p N mm 从点 a 连续作矢量 ab bc 和 cd 分别代表力 Q5 Pr 和 F15 然后再分别由点 a 和点 d 作直线 ae 和 de 分别平行于力 R45 和 R65 两线相交于点 e 则矢量 ea 和 de 分别代表 R45 和 R65 即 deReaR pp 6545 再分析构件组 3 2 其受力如图 f 示 先将构件 2 3 上作用的外力 Q2 总惯性力 Fi2 及 运动副 F 中的反力 R43 画出 然后 将运动副 B D 中的待求的反力 R12 及 R63 分别分解为沿 BC 及 DC 方向的法向分力 nn RR 6312和 和垂直于 BC 及 DC 的切向 分力 6312 RR和 并任意假定其 指向 分别就构件 2 3 对 C 点取矩 根据力矩平衡条件 MC 0 可分别求得 2222212 lhFhQR i CDlhRR 34363 当 6312 RR和 求出后 如所得 6312 RR或 为负值 则表示该力与原来所取方向相反 再根 据整个构件组的力平衡条件得 0RRQFRRR n12 1222i43 63n63 上式中仅 nn RR 6312和 的大小未知 故可用图解法求得 力矢量多边形 如图 e 所示 矢量 ffff 和 分别代 表 nn RR 6312和 hfRRRR pn 12121212 faRRRR pn 63636363 为求杆组 2 3 内接副 C 中的运动副反力 可在杆组受力分析完成后 以 2 或 3 构件为分 离体求出 根据构件 2 的平衡 条件 有 0RRQF 321222i 由 e 图 示力矢量多边形 可知矢量 fe 即代表运动副 C 中的反力 R32 R32 p fe 最后取构件 1 为分离体 其受力如图 g 示 根据构件 1 的平衡条件可写出 0RPR 61b21 式中 R21 R12 而平衡力 Pb 的方位已知 沿 xx 线 根据三力汇交于一点的平衡条件 可定出运动副 A 中的反力 R61 的方向 则该平衡方程 中 Pb 和 R61 的大小为未知 可用图解法求 出 如图 e 所示 矢量 fh 代表 R21 分别由点 f 和点 h 按 Pb 和 R61 的方向作直线 fi 和 hi 交于点 i 则矢量 if 和 hi 即分别代表平衡力 Pb 和 R61 于是得 hiRifP ppb 61 二 机构动 态静力分析的解析法 机构动态静力分析采用直角坐标法的步骤为 首先在作受力分析的机构运动简图中建立 一平面直角坐标系 将各构件上所有的已知力向各自的质心简化为一个通过质心的合力和一 318 个合力偶 并将该合力用平行于坐标轴的两个分量表示 同样 作用在运动副中所有的待求 约束反力也用沿坐标轴两方向的分量表示 然后以每一个构件为受力分析单元 根据静力平 衡条件建立单元力平衡方程式 并将其表示成单元矩阵形式 根据运动副相联两构件上约束 与约束反力大小相等 方向相反的原则 最后将各单元力平衡矩阵 组装 成机构力平衡矩 阵用计算机求解 下面以图 7 14a 所示的曲柄滑块机构为例 说明机构动态静力分析力平衡矩阵建立的方法 与求解的基本过程 图 7 14 曲柄滑块机械动态静力分析 a 机构运动简图 b 已知外力向质心简化后曲柄的受力 c 已知外力向质心简化后连杆的受力 d 已知外力向质心简化后滑块的受力 例 7 4 设图 7 14a 所示的曲柄滑块机构 ABC 各构件的杆长已知 原动件以 1 沿逆时针 方向匀速转动 各构件上作用的外力 不包括重力和惯性力 已知 要求用直角坐标法 对机 构进行动态静力分析 求出作用在各运动副中的约束反力和曲柄上的平衡力矩 解 1 根据机构各构件的受力情况和特点 初步确定各构件的结构及剖面尺寸 计算机 构各构件的质心 质量 转动惯量和重量 2 以原动件角速度 1 为常数 对机构作运动分析 计算各质心的加速度和各构件的角加 速度 按式 7 24 和 7 25 计算各构件的惯性力 惯性力矩 3 在机构运动简图上建立平面直角坐标系 O xy 如图 7 14a 所示 将作用在三个可动构 件上的已知外力向各构件的质心简化 将简化后的力与 该构件的惯性力和重力合并后 沿 x 319 y 坐标轴分解为 xiF 和 yiF 如图 7 14b c d 所示 图中 Mi 为已知力简化后的力矩为该构件惯 性力矩和已知外力矩的合力矩 i 1 2 3 作用在各构件上的已知外力的简化方法是 将各已知外力向构件的质心平移 得过质心 且大小 方向与原已知外力相等的一个力和一个力偶矩 该力偶矩的大小与方向等于原已知 外力对构件质心之矩 4 在曲柄上标出待求平衡力矩 M 力矩以逆时针方向为正 在三 个可动构件的运动副上 分别标出待求约束反力 为了避免将作用力和反作用力的方向混淆 所有的约束反力均按坐 标轴的正向画出 在图 7 14 中 xijR yijR 分别表示构件 i 作用于构件 j 的约束反力在 x 和 y 方向 上的分量 由于 xjixij RR yjiyij RR 为了避免非独立的未知量出现在方程中 常将后一构 件对前一构件的约束反力 Rij 用 Rji 来表示 对于转动副 在不计运动副摩擦时约束反力 xijR yijR 通过转动副的中心 方向分别与 x y 轴平行 对于移动副 由于约束反力的作力点未知 在不计运动副摩擦时可用一个与导路方向垂直的约束力 Rij和一个约束力矩 Mij表示 图 7 14d 5 根据静力平衡条件写出各单元力平衡矩阵 设 S1 S2 和 S3 分别为曲柄 连杆和滑块 的质心 1 根据图 7 14b 得曲柄的静力平衡方程 0 0 0 1121 121141141 12141 12141 dsB y Bs x sA y As x yyy xxx MMxxR yyRxxRyyR FRR FRR 为了便于各单元力平衡矩阵的 组合 将上式中的 xR21 和 yR21 分别用 xR12 和 yR12 代替 并将上式表示为矩阵形式 1 1 1 12 12 41 41 1111 1 01010 00101 M F F M R R R R xxyyxyyy y x d y x y x BssBsAAs 7 26 2 根据图 7 14c 得连杆的静力平衡矩阵 2 2 2 23 23 12 12 2222 1010 0101 M F F R R R R xxyyxxyy y x y x y x CssCsBBs 7 27 3 根据图 7 14d 得滑块的静力平衡方程 0c o s s i n 0c o s 0s i n 433343 343323323 34323 34323 MMxxR yyRxxRyyR FRR FRR sD DssC y Cs x yy xx 式中 滑块导路与 x 方向的夹角 xD yD 约束反力在滑块上作力点的坐标 M43 320 滑块与导路间的约束力矩 其方向以逆时针方向为正 将上式写成矩阵形式得 3 3 3 43 43 23 23 33 1 0c o s10 0s i n01 M F F M R R R Dxxyy y x y x sCCs 7 28 式中 D yD ys3 sin xD xs3 cos 由于每一个单元力平衡矩阵中待求力数均多于方程个数 故无法单独从式 7 26 6 27 和 6 28 中解出机构的待求力 但整个机构受力是静定的 因此 将三个单元力平 衡矩阵进行 组合 把各单元力平衡矩阵中求解相同待求力的方程进行合并得机构力平衡矩阵 3 3 3 2 2 2 1 1 1 43 43 23 23 12 12 41 41 33 2222 1111 1 0c o s10 0s i n01 1010 0101 1 01010 00101 M F F M F F M F F M M R R R R R R R Dxxyy xxyyxxyy xxyyxxyy y x y x y x d y x y x y x sCCs CssCsBBs BssBsAAs 设 机构力平衡矩阵中已知力列阵为 F 待求力列阵为 R 待求力系数矩阵为 A 机 构动态静力分析方程组是一个线性非齐次方程组 可以统一表示为 A R F 从系数矩阵中的元素内容知 系数矩阵是机构运动位置的函数 而已知力列阵中的惯性 力和惯性力矩也是机构运动位置的函数 因此 在作动态静力分析过程中应根据机构运动的 不同位置计算待求力的系数矩阵和 已知力中的惯性力和惯性力矩 若系数矩阵 A 是非奇异矩 阵 则可解出机构在不同运动位置时作用在运动副中的约束反力和作用在原动件上的平衡力 矩 当机构在一个运动循环中的全部约束反力求出后 选用约束反力中的最大值对构件强度 或刚度条件进行校核 若校核结果不满足设计要求应重新修改构件的结构及剖面尺寸 重新 计算其质心 质量和转动惯量 重新进行受力分析直至构件满足设计要求 根据平衡力矩计 算结果的最大值和变化规律 结合机构的传动效率和工作阻力的特点 便可以选择驱动该机 构的原动机类型和功率 三 考虑摩擦的动态静力分析方法 当对机构进行受力分析时 如果在分析中计入运动副的摩擦 则力平衡方程的待求力部 份还应包括运动副中的摩擦力 由于运动副中的摩擦力与作用在运动副中的约束反力和运动 副元素间的当量摩擦系数 0 有关 我们可以把摩擦力和摩擦力矩表示为约束反力的函数 但 当考虑转动副的摩擦时 构件 i 作用于构件 j 的总约束反力 Rij 将不通过转动副的中心 而切于 半径为 0r 的摩擦园 r 转轴半径 将 Rij 向转动副中心简化 可得一个通过转动副中心 大小和方向与 Rij 相同的总反力和一个摩擦力偶矩 0r Rij 方向与 ij 方向相同 图 7 15 将 321 Rij 沿 x y 轴方向分解得约束反力的两个待求分量 xijR 和 yijR 于是作用于转动副中的摩擦力偶 矩可以用待求力分量表示为 220 yijxij RRr 作用在移动副中的摩擦力大小等于 220 xijxij RR 设 滑块 相对于导轨的相对速度 Vji 的方向与 x 轴正向夹角为 约束反力 Rij 产生 的 摩 擦 力 的 x 方向分量为 220 c o s yijxij RR y 方向的 分量为 220 s in yijxij RR 将摩擦力和摩擦力偶矩加入力平衡 方程中 整理可得一个含有待求机构 约束反力 22 yijxijyijxij RRRR 和 项的方程组 此时的方程组已不是线 性方程组 而是一个非线性方程组 解非线性方程组是相当困难和繁杂 的 因此 考虑运动副摩擦的受力分 析常采用另一种方法 逼近法更 为简单和方便 逼近法是基本过程是 1 不计运动副中的摩擦列出机构力平衡矩阵方程 即令 00 求出理想 机械中的运动 副反力 2 根据求出的约束反力计算运动副中的摩擦力和摩擦力矩 将其作为已知力加在相应的 构件上重新进行受力分析 重新计算运动副中的约束反力 比较相邻两次计算的结果 若两 次计算求出的约束反力误差满足分析精度要求 则以最后一次计算结果作为力分析的最终结 果 否则应重复上述过程直到满足分析精度要求为止 第三节 机械的平衡 机械在运动过程中 除中心惯性主轴与其回转轴重合的等速回转构件外 其它运动构件 都将产生惯性力和惯性力偶矩 从而在机构运动副中引起附加动压力 这不仅会增大运动副 中的摩 擦和构件上的载荷 降低机械效率和机械的使用寿命 而且由于这些惯性力都是呈周 期性变化的 必将引起机器及其基础产生强迫振动 如果强迫振动的频率接近机器的共振频 率 还会影响机器的正常工作 危及周围的机械设备和工作人员的安 全 为了完全或部份消除惯性力和惯性力矩对机械的不良影响而采取的技术措施称为机械的 平衡 由于多数机械都是由作回转运动 往复运动或一般平面运动的构件组成 在讨论平衡 问题时常把作回转运动的构件称为 转子 因此 机械的平衡问题可以归纳为 转子 的平衡 和 平面 机构的平衡两方面内容 转子的平衡可分为两种不同的情况 1 转速低于临界转速的转子 因惯性力引起轴的变形量不大 平衡的主要目的是消除或 减轻惯性力在转子支承上引起的动反力 这类转子的平衡称为 刚性转子的平衡 图 7 15 计及摩擦时运动副中的约束反力 322 2 工作转速较高 接近或要跨越转子的临界转速 转子会因共振而产生强烈的振动 并 出现较大的挠曲变形 这类转子的平衡除了要减轻惯性力引起的动载荷和振动外 还要减轻 或消除转子的挠曲变形 这类转子的平衡又称为 挠性转子的平衡 本章主要 讨论 刚性转子的平衡问题 一 刚性 转子的平衡 转子的轴向宽度 b 与其直径 D 的比值大小不同 采用的平衡方法也不同 工程 中把刚性 转子的平衡分为静平衡和动平衡 1 静平衡设计 对于 径宽比 D b 5 的 转子 轴向尺寸较小的盘形转子 如齿轮 链轮 带轮 凸轮 叶轮 若转子的质心不在回转轴线上 当其转动时 其偏心质量就会产生离心惯性力 从 而在运动副中引起附加动压力 这种不平衡现象称为静不平衡 为了 消除 质量偏心转子运动 时产生的惯性力 只需在转子质心的回转平面内增加或 减去一定量的重量 增加的重量称为 平衡配重 使转子的质心移到回转中心上即可 用平衡配重使转子的质心移近转子的回转 中心 从而消除或减少静不平衡转子运动时产生的惯性力的平衡 措施称为转子的静平衡 设计 转子的静平衡配重可以按如下方法进行计算 设转子的质量为 m 在质心回转平面内从转子的回转中心到质心所作的向径为 r 当转子 以匀角速度 转动时产生的离心惯性力为 Pu mr 2 惯性力 Pu 的方向与向量 r 方向一致 为了实现转子的静平衡 在偏心质量的回转平面内 距回转中心 rb 的位置上增加一个平衡质量 mb 当转子实现静平衡时有 Pu Pb mr 2 mbrb 2 0 消去 2 得 mbrb mr 7 29 式 7 29 中质量 与向 径之积称为质径积 质径积是向量 满足向量运算法则 由式 7 29 知转子实现静平衡的条件为 平衡配重的质径积应与转子偏心质量的质径积 的向量和为零 因此 当转子在同一回转平面内有 多个偏心质量 且偏心质量的质径积向 量和为零 则该转子是静平衡的 反之 如果 所有偏心质量的质径积向量和不 为零 则转子是静不平衡的 这时可用 向量封闭多边形的图解法 作平衡配重 向量 mbrb 使各偏心质量的质径积向量 和封闭 图 7 15 使 n i bbii mm1 0rr 从而可以求出平衡配重 mbrb 的大 小和方位 当选定 rb 的大小后 可求出平衡质量 mb 的大小 图 15 回转质量平衡的向量表示 323 事实上 由于静不平衡转子的偏心质量位置通常是不知道的 故静平衡过程常在图 7 16 所示的静平衡试验仪上通过多次调整平衡配重 mbrb 的大小和方位来完成的 当平衡配重能使 转子在试验仪上实现随遇静止时 则认为转子的静平衡工作已完成 2 动平衡设计 对于 径宽比 D b 5 的 转子 如多缸发动机的曲柄 汽轮机转子 等 由于其轴向宽度 较大 其质量分布在几个不同的回转平面内 这时 即使转于的质心在回转轴线上 是静平 衡的 转动时各偏心质量所产生的离心惯性力不在同一回转平面内 其惯性力偶在转子支 承上将产生动反力 转子仍然是不平衡的 图 7 17 这种不平衡现象只有在转子转动时才 表现出来 称为转子动不平衡 使动不平衡转子在运 动时产生的惯性力的主矢与主矩都趋于 零的平衡措施称为转子的动平衡 设计 为了简化计算 在动平衡计算中常用两个或三 个质量替代转子的质量 替代条件 1 替代质量之和与原构件的质 量相等 2 替代质量的总质心与原构件质心重合 3 替代质量对过质心转轴的转动惯量与原构件 对过质心转轴的转动惯量相等 满足 1 2 替代条件 的质量替代称为质量的静 代 换 各代换质量所产生的惯性力与原构件的惯性力 相同 同时 满足 三个替代条件的质量替代称为 质量 的动 代 换 各代换质量所产生的惯性力 惯性力矩 与原构件的惯性力 惯性力矩相同 质量动代换后 各代换质量的动能和与原构件的动能相等 动平衡至少需要用两个平衡配重 使两个平衡配重在随转子转动时产生的平衡惯性力的 主矢与主矩分别与转子惯性力的主矢与主矩相平衡 为了计算 两个平衡配重的大小和方位 应用质量替代理论 将转子上所有的偏心质量分 图 7 16 转子的静平衡试验仪 a 水平钢制刀刃式静平衡试验仪 b 滚子支承式静平衡试验仪 图 7 17 转子的动不平衡 324 别用两个替代质量来代替 设转子上任意偏心质量 mi 其 质心 si在其回转平面上距回转中心 的向径为 ri 将 mi用转子上选 定的 两个平面 称为校正面 上的质量 im im 替代 校正面 I 距 si 的距离为 l1 校正面 II 距 si 的距离为 l2 根据质量静替代条件得 0 21 lmlm mmm ii iii 7 30 通常选添加平衡配重比较方便的位置作为校正面 当两校正面确定后 可求出两校正面 上的替代质量 im im 偏心质量的质径积 miri 在两校正面上的替代质径积分别为 iii iiii mllm mllm rr rr i 1 2 7 31 当转子上每个偏心质量的质径积在两 校 正面上的替代质径积一一确定后 图 7 18 可按静平衡求平衡质径积的向量 多边形方法 在每个校正面上分别求出所 应增加的平衡质径积 当两个校正面上加 上相应的平衡质径积的配重后 转子惯性 力的主矢与主距也就同时被平衡了 由于动不平衡转子偏心质量的大小和 方位在一般情况下是不知道的 故转子的 动平衡须在动平衡机上完成 动平衡机型 式很多 各种动平衡机的构造与工作原理 也不尽相同 目前工业上使用较多的动平 衡机是通过检测转子转动时的振动来确定偏心质量的大小和方位的 有关动平衡机的工作原 理可参阅有关资料 最后需 要指出 不论利用何种型式的平衡试验设备对转子进行平衡 总是会有残余不平 衡量的 各种用途的转子对残余不平衡量的要求也是不相同的 在平衡操作时可查阅有关规 范执行 二 平面机构的平衡 刚性转子运动时产生的惯性力可以通过重新调整转子的质量分布 使其总质心移到转子 的回转中心上而得到平衡 但对于由运动形式各不相同构件组成的平面机构 惯性力的平衡 显然要复杂得多 平面机构惯性力的平衡目的通常可分为两类 一是要 有目的地减轻某些运 动副中过大的动反力 二是减轻或消除 由 惯性力引 惯性力偶矩引起 机架的振动 因机架通 常是固 定在机座上的 因此这种平衡也称为机座上的平衡 由于第一方面的问题需涉及具 体的机构 因此本节主要讨论第二方面的问题 图 7 18 偏心质量的替代 325 1 平面机构惯性力完全平 衡的条件 在图 6 19 所示坐标系 O xyz 中 平行于 O xy 平面作 平面运动机构的总惯性力为 n i iiz n i iiy n i iix zmF ymF xmF 1 1 1 式中 n 可动构件数 mi i 构件的质量 iii zyx i 构件质 心加速度分量 因为 zi 为常量 iz 等于零 故平面机构惯性力完全平衡的条件是 n i iiy n i iix ymF xmF 1 1 0 0 7 32 对于单自由度平面机构 设曲柄角位移 角速度和角加速度分别为 和 则 d dy d ydy d dy dt d d dyy d dx d xdx d dx dt d d dxx ii i ii i ii i ii i 2 2 2 2 2 2 7 33 将式 7 33 代入式 7 32 中得 0 0 11 2 2 2 11 2 2 2 n i i i n i i i n i i i n i i i d dym d ydm d dxm d xdm 对于任意 如果上式成立 必有 0 0 1 2 2 1 2 2 n i i i n i i i d ydm d xdm 7 34 0 0 1 1 n i i i n i i i d dym d dxm 7 35 图 7 19 平面机构惯性力平衡的坐