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全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，ABCDBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【变式2】如右图，。 求证：AECF【答案】AECF2、如图，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与EC的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与BF的长即可。解析：在ABC中， ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为ABCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90. 求证：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因为ACDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以CDAB.(2）因为CEFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以EFAC.类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE 思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过ACBD而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性质)即 ADBC在ADF与BCE中ADFBCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式1】如图，已知ABDC，ABDC，求证：ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)ADBC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知EBAD于B，FCAD于C，且EBFC，ABCD 求证 AFDE【答案】EBAD(已知) EBD90(垂直定义)同理可证FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨: 要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ABC的中线，所以BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACDEBD(SAS).所以BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式1】已知：如图，在RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延长线于E， 求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BECF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，ABCD，BEDF，BD， 求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路点拨: (1)直接通过ABECDF而得，(2)先证明AEBCFD，(3)由(1)(2)可证明AEFCFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1)在ABE与CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形对应边相等)(2)AEBCFD(全等三角形对应角相等)AECF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF与CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式1】如图，在ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DFBD，延长AB边上的中线CE到G，使EGCE，求证 AFAG【答案】在AGE与BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形对应边相等)在AFD与CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形对应边相等)AFAG(等量代换)6、如图 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F 求证：AF平分BAC思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可证得RtADFRtAEF，而要证AD=AE，就应先考虑RtABD与RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC是公共角，可证得RtABDRtACE解析：在RtABD与RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在RtADF与RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在ABC与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 AD=AD求证：ABCABC证明：在RtABD与RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC与ABC中ABCABC(SAS)【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB为直角三角形在RtABD和RtABC中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是E、F、G. 试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四边形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CMED交ED的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个2正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是 2、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_线段的垂直平分线上的点到_相等 归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等典例1、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。2、 如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则AM= FEDCBAG5、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CGAB于G，交AD于E. 过D点作DFAB于F.下列结论：CED=CDE； ；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别典例1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。2、 如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过D且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 NMFECDBA3、 如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,则FEB=_度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_5、ABC中， DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE=20，则BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、已知，在ABC中，ACB=90，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则DCE = 度.8、如图：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DE=DF。FEDCBA9、如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形 有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_典例1、下列推理中，错误的是 ()AABC，ABC是等边三角形 BABAC，且BC，ABC是等边三角形CA60，B60，ABC是等边三角形 DABAC，B60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。ABCDEM求证：M是BE的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半典例1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，A=30，则DE等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如图：ADC中，A = 15，D=90，B在AC的垂直平分线上，AB =34，则CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120，求桌面到地面的距离是多少？第4题图甲 4、如图，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 5、在中，的垂直平分线交于点，交于点如果，求的长实数例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2（2） 下列说法对不对？为什么？ 4有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a有两个平方根，它们互为相反数解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。（2）只有对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例2、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例3、设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B【变式1】1）1.25的算术平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ，【变式2】求下列各式中的（1） （2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4例4、判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是15.（3）当x=0或2时，解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当x=2时，x=0.第 16 页 共 16 页
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