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习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 出现奇数点； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 两次点数之和为10，第一次的点数，比第二次的点数大2； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，球的最小号码为1； （4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，甲盒中至少有一球； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，通过汽车不足5台，通过的汽车不少于3台。 解 （1）其中出现点， 。 （2） ； ； 。 （3） （4） ，其中表示空盒； 。 （5）。 2设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件： （1）仅发生； （2）中至少有两个发生； （3）中不多于两个发生； （4）中恰有两个发生； （5）中至多有一个发生。 解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或； 3一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）；（2）；（3）；（4）。 4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设任取一电话号码后四个数字全不相同，则 5一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设5只全是好的，则 ； （2）设5只中有两只坏的，则 . 6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设最小号码为5，则 ； （2）设最大号码为5，则 . 7（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设他们的生日都不相同，则 ； （2）设至少有两个人的生日在同一个月，则 ；或 . 8设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率. 解 设生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天，则 . 9将等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？ 解1 设恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法： 字母在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为，而中的基本事件只有一个，故； 解2 七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元素有个，第种元素有个，将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为， 对于本题有. 10从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5，三个数字中不含0或5，三个数字中含0但不含5. 解 . ，或 ， . 11将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件每堆各成一双的概率. 解 双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共每堆各成一双共有种情况，故 12设事件与互不相容，求与 解 因为不相容，所以，于是 13若且，求. 解 由得 14设事件及的概率分别为，求及 解 . 15设，且仅发生一个的概率为0.5，求都发生的概率。 解1 由题意有 ，所以 . 解2 仅发生一个可表示为，故 所以 . 16设，求与. 解 ，所以 ，故 ； .所以 17设，试证明 证 因为，所以故 . 证毕. 18对任意三事件，试证. 证 . 证毕. 19设是三个事件，且，求至少有一个发生的概率。 解 因为 ，所以，于是 20随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率. 解：半圆域如图0yxyxax 设原点与该点连线与轴夹角小于 由几何概率的定义 21把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 解1 设三段可构成三角形，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.aS 发生Aa/2 不等式确定的子域，所以aa/20 解2 设三段长分别为，则且 ，不等式确定了三维空间上的有界平面域.xzyA 发生 不等式确定的子域，所以 . 22随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy 解 ，不等式确定平面域. 则发生的 充要条件为不 等式确定了的子域，故 23（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率. 解 设针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则ayay ，不等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域. 发生，不等式确定的子域 故 习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设任取一件是等品 ，所求概率为 ，因为 所以 故 . 2设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 设所取两件中有一件是不合格品 所取两件中恰有件不合格 则 ，所求概率为 . 3袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 解 设发现是同一颜色，全是白色，全是黑色，则 ，所求概率为 4从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设至少有3张黑桃，5张中恰有张黑桃，则 ，所求概率为. 5设求与. 解 . 6甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解 设从乙袋中取出的是白球，从甲袋中取出的两球恰有个白球. 由全概公式 . 7一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设第二次取出的均为新球， 第一次取出的3个球恰有个新球由全概公式 . 8电报发射台发出和的比例为5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为2/5，传送时失真的概率为1/3，求接受台收到时发出信号恰是的概率。 解 设收到，发出， 由贝叶斯公式. 9在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率. 解 事件如第6题所设，所求概率为 10已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。 解 设任取一产品，经检查是合格品， 任取一产品确是合格品，则 ，所求概率为. 11假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 设第次取出的零件是一等品，. 取到第箱，.则 （1）. （2） . 12玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率. 解 设顾客买下该箱， 箱中恰有件残次品， （1） ； （2）. 13设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 （1）求先取到的一份为女生表的概率； （2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率. 解 设先取到的是女生表， 后取到的是男生表， 取到第个地区的表， （1） ； （2）因为先取出的是女生表的概率为，所以先取出的是男生表的概率为，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率.于是 （2） . 14一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解 设任取一枚硬币掷次得个国徽， 任取一枚硬币是正品，则 ，所求概率为 . 15甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率. 解 设目标被击中，第个人击中 所求概率为 . 16三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，求他们将此密码译出的概率. 解1 设将密码译出，第个人译出 则 . 解2 事件如上所设，则. 17甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率. 解 设飞机被击落，飞机中弹 .则 设 第个人命中，则 ， ， ，所以 . 18某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率. 解1 设该生能借到此书，从第馆借到则 (第馆有此书且能借到) ， .于是 . 解2 . 解3 事件如解1所设，则 ，故 . 19设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立. 证 若、互不相容，则，于是所以、不相互独立. 若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若、互不相容，则、又是相互独立的或. 2）因，所以 如果 ，则，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立. 如果，则，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。 20证明若三事件相互独立，则及都与独立。 证 即与独立. 即 与相互独立. 21一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？ 解 设还应有名二年级女生，任选一名学生为男生，任选一名学生为一年级，则，欲性别和年级相互独立，即，所以，即教室里的二年级女生应为9名。 22图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为，且设各继电器闭合与否相互独立，求至是通路的概率.L14532R 解 设是通路，第个接点闭合 ，则 23一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。 解 设该射手的命中率为，由题意，所以 . 24设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。 解 . . 25考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。 解 答对每道题的概率为，所求概率为 . 26设在伯努里试验中，成功的概率为，求第次试验时得到第次成功的概率. 解 设第次试验时得到第次成功，则 前次试验，成功次，第次试验出现成功，所以 （前次试验，成功次）（第次试验成功） . 27设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。 解 设任取一台可以出厂，可直接出厂，需进一步调试。则 ， 将台仪器看作重伯努里试验，成功的概率为，于是 （1）， （2）， （3）。 28设昆虫产个卵的概率为，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有条的概率是多少？ 解 设下一代有条，产个卵 则 . 29一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率. 解 考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。，利用泊松逼近定理，所求概率为 . 30某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒中还有根的概率。 解 设发现一盒已经用完另一盒还有根。 发现甲盒已经用完乙盒还有根。则 发生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共进行了次试验，而且前次试验，甲发生次，第次试验甲发生。故 从而 .18
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