山东省各市2013年中考数学试题分类汇编(解析版)：二次函数.doc

山东省各市2013年中考数学试题分类汇编（解析版）二次函数一、填空、选择题1、（2013滨州市）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（1，0）则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当y0时，x1或x2其中正确的个数是（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=2时，4a2b+c0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac0，再求出A点坐标，可得当y0时，x1或x3解答：解：对称轴为x=1，x=1，b=2a，2a+b=0，故此选项正确；点B坐标为（1，0），当x=2时，4a2b+c0，故此选项正确；图象开口向下，a0，图象与y轴交于正半轴上，c0，ac0，故ac0错误；对称轴为x=1，点B坐标为（1，0），A点坐标为：（3，0），当y0时，x1或x3，故错误；故选：B点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点2、（2013德州市）下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是（）Ay=x+1By=x21CDy=x2+1考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断解答：解：A、y=x+1，一次函数，k0，故y随着x增大而减小，错误；B、y=x21（x0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x0），y随着x的增大而减小，正确C、y=，k=10，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误；D、y=x2+1（x0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x0），y随着x的增大而增大，错误；故选B点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目3、（2013德州市）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：b24c0；b+c+1=0；3b+c+6=0；当1x3时，x2+（b1）x+c0其中正确的个数为（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b24c0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cx，继而可求得答案解答：解：函数y=x2+bx+c与x轴无交点，b24c0；故错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故错误；当x=3时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；正确；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b1）x+c0故正确故选B点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用4、（2013菏泽市）已知b0时，二次函数y=ax2+bx+a21的图象如下列四个图之一所示根据图象分析，a的值等于（）A2B1C1D2考点：二次函数图象与系数的关系专题：数形结合分析：根据抛物线开口向上a0，抛物线开口向下a0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解解答：解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=0，解得b=0，与b0相矛盾；第3个图，抛物线开口向上，a0，经过坐标原点，a21=0，解得a1=1，a2=1（舍去），对称轴x=0，所以b0，符合题意，故a=1，第4个图，抛物线开口向下，a0，经过坐标原点，a21=0，解得a1=1（舍去），a2=1，对称轴x=0，所以b0，不符合题意，综上所述，a的值等于1故选C点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b0比较5、（2013济宁市）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0B当1x3时，y0Cc0D当x1时，y随x的增大而增大考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：A抛物线的开口方向向下，则a0故本选项错误；B根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当1x3时，y0故本选项正确；C根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c0故本选项错误；D根据图示知，当x1时，y随x的增大而减小，故本选项错误故选B点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定6、（2013聊城市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A2B4C8D16考点：二次函数图象与几何变换分析：根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CAy轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可解答：解：过点C作CAy，抛物线y=（x24x）=（x24x+4）2=（x2）22，顶点坐标为C（2，2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：22=4，故选：B点评：本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键7、（2013聊城市）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）ABCD考点：二次函数的图象；一次函数的图象专题：数形结合分析：根据二次函数图象的开口方向向下确定出a0，再根据对称轴确定出b0，然后根据一次函数图象解答即可解答：解：二次函数图象开口方向向下，a0，对称轴为直线x=0，b0，一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合故选C点评：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键8、（2013临沂市）如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),OEF的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为答案：B解析：经过t秒后，BECFt，CEDF8t，所以，是以（4,8）为顶点，开口向上的抛物线，故选B。9、（2013日照市）如图,已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.下列判断： 当x2时，M=y2； 当x0时，x值越大，M值越大；使得M大于4的x值不存在；若M=2，则x= 1 .其中正确的有 A1个 B2个 C 3个 D4个答案：B解析：当x2时，由图象可知y2y1，My1，所以，不正确；当x0时，由图象可知y2y1，My1，x值越大，M值越大，正确；M最大值为4，所以，正确；M2时，x的值有两个，不一定是1，所以，不正确，正确的有2个，选B。10、（2013泰安市）对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解解答：解：a=0，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3），正确；x1时，y随x的增大而减小，x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个故选C点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性11、（2013烟台市）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是（）ABCD考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据图象得出a0，b=2a0，c0，即可判断；把x=2代入抛物线的解析式即可判断，求出点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x1时，y随x的增大而增大即可判断解答：解：二次函数的图象的开口向上，a0，二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，c0，二次函数图象的对称轴是直线x=1，=1，b=2a0，abc0，正确；2ab=2a2a=0，正确；二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c0，错误；二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x1时，y随x的增大而增大，3，y2y1，正确；故选C点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力12（2013泰安）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）考点：二次函数的图象；一次函数的图象分析：令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解解答：解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确故选C点评：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二、解答题1、（2013滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）考点：二次函数的应用分析：根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值解答：解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为1802x=（90x）cm由题意得：y=x（90x）20=20（x290x）=20（x45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3点评：本题考查利用二次函数解决实际问题求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=x22x+5，y=3x26x+1等用配方法求解比较简单2、（2013德州市）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似点P的坐标；是否存在一点P，使PCD得面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当CEF=90时，当CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据SPCD=SPCN+SPDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论解答：解：（1）在RtAOB中，OA=1，tanBAO=3，OB=3OA=3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式为，解得：抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）抛物线的解析式为y=x22x+3，对称轴l=1，E点的坐标为（1，0）如图，当CEF=90时，CEFCOD此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE=90时，CFECOD，过点P作PMx轴于点M，则EFCEMP，MP=3EMP的横坐标为t，P（t，t22t+3）P在二象限，PM=t22t+3，EM=1t，t22t+3=3（1t），解得：t1=2，t2=3（与C重合，舍去），t=2时，y=（2）22（2）+3=3P（2，3）当CEF与COD相似时，P点的坐标为：（1，4）或（2，3）；设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，直线CD的解析式为：y=x+1设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1），NM=t+1PN=PMNM=t22t+3（t+1）=t2+2SPCD=SPCN+SPDN，SPCD=PMCM+PNOM=PN（CM+OM）=PNOC=3（t2+2）=（t+）2+，当t=时，SPCD的最大值为点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出PCD的面积由顶点式求最大值是难点3、（2013东营市）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标AO（第24题图）xyB(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值24. (本题满分12分)分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知.过点C作轴于点D,连接AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线可得,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。（3）根据,得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M,N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1) 抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1) 得，2分抛物线的解析式为.即3分 (2)设C的坐标为(x，y).A在以BC为直径的圆上.BAC=90作CDx轴于D ,连接AB、AC,A（第24(2)答案图）xOyCBPHD AOBCDA4分 OBCD=OAAD即1=2(x-2).=2x-4点C在第四象限.5分由解得 点C在对称轴右侧的抛物线上.点C的坐标为 (10,-16)6分AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）P为圆心，P为BC中点取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线PH=(OB+CD)=7分D(10,0)H (5,0)P (5, ) 故点P坐标为(5，)8分(3)设点N的坐标为，直线x=t（0t10）与直线BC交于点M.，所以 9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)所以成立，解得：10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.MN=11分 =所以，当t=5时，有最大值，最大值是.12分点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.4、（2013菏泽市）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，有PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？考点：二次函数综合题分析：（1）根据一次函数解析式求出点A点C坐标，再由ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式（2）设点P运动了t秒时，PQAC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由APQCAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；只需使APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于点H，由AQHCAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置解答：解：（1）由y=x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），ABC是以BC为底边的等腰三角形，B点坐标为（4，0），又四边形ABCD是平行四边形，D点坐标为（8，3），将点B（4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2x3（2）设点P运动了t秒时，PQAC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5t，PQAC，APQCAO，=，即=，解得：t=即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQACS四边形PDCQ+SAPQ=SACD，且SACD=83=12，当APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5t，设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于点H，由AQHCAO可得： =，解得：h=（5t），SAPQ=t（5t）=（t2+5t）=（t）2+，当t=时，SAPQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大5、（2013莱芜市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=x+1由题意设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）易求DF=根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答解答：由题意可知.解得.抛物线的表达式为y=.（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1.点M的坐标为（0,1）.设直线MA的表达式为y=kx+b，则.解得k=，b=1.直线MA的表达式为y=x+1.设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）.DF=.当时，DF的最大值为.此时，即点D的坐标为（）.（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似.在RtMAO中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限. 设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,，即.解得m=3（舍去）或m=8.又3M0,故此时满足条件的点不存在. 当点P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,，即.解得m=3或m=8.此时点P的坐标为（8，,15）. 当点P在第四象限时，若AN=3PN时,则3，即.解得m=3（舍去）或m=2.当m=2时，.此时点P的坐标为（2，）.若PN=3NA,则，即.解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，,39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，,15）、（2，）、（10，,39）.点评：本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况6、（2013聊城市）已知ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20（1）写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明考点：二次函数综合题分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值（3）由（2）可知ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B，连接BC 交直线L于点A，再连接AB，AB，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值解答：解：（1）由题意，得y=x2+10x，当y=48时， x2+10x=48，解得：x1=12，x2=8，面积为48时BC的长为12或8；（2）y=x2+10x，y=（x10）2+50，当x=10时，y最大=50；（3）ABC面积最大时，ABC的周长存在最小的情形理由如下：由（2）可知ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B，连接BC 交直线L于点A，再连接AB，AB则由对称性得：AB=AB，AB=AB，AB+AC=AB+AC=BC，当点A不在线段BC上时，则由三角形三边关系可得：ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BCBC+BC，当点A在线段BC上时，即点A与A重合，这时ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC，因此当点A与A重合时，ABC的周长最小；这时由作法可知：BB=20，BC=10，ABC的周长=10+10，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键7、（2013临沂市）如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)8、（2013日照市）已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点N.ONE=30，|x1-x2|=8.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得ABP与ADB相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.解析：(2）如图，由抛物线的对称性可知：，必须有 设AP交抛物线的对称轴于D点，显然，直线的解析式为 ， 由，得. . 过作与不相似， 9分同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点所以在该抛物线上不存在点，使得与与相似 10分(3)连结AF、QF,在和中，由垂径定理易知：弧AE=弧AF. ,又, 12分在RtAOF中，AF2AO2OF222(2)216（或利用AF2AOAB2816）AHAQ16即：AHAQ为定值。 14分9、（2013泰安市）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令y=0，即x2+x4=0，解得x1=4，x2=2，A（4，0），SABC=ABOC=12设P点坐标为（x，0），则PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化简得：SPBE=（2x）2SPCE=SPCBSPBE=PBOCSPBE=（2x）4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3当x=1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M点的坐标为（2，2）；（II）当MD=MO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（1，3）；（III）当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为2，OD=OM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏10、（2013潍坊市）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD/AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：（3）由（1）知所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0，t)，t0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为MPO=NPO,所以RtMPM1RtNPN1,所以,(1)不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,(2)把y=kx-2(k0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。11、（2013烟台市）平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（，0），以0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；（2）如图，过点D作DGBE于点G，构建相似三角形EGDECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；（3）利用待定系数法可求得直线BE的方程则易求P点坐标然后由相似三角形MNCBEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t1所以S=SPND+S梯形PDCMSMNC=+t（0t2）由抛物线的性质可以求得S的最值解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（，0），则，解得，该二次函数的解析式为：y=x2+x+2；（2）如图，过点D作DGBE于点G由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90，EGDECB，=，DG=1D的半径是1，且DGBE，BE是D的切线；（3）由题意，得E（，0），B（2，2）设直线BE为y=kx+h（k0）则，解得，直线BE为：y=x+直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点P的纵坐标y=，即P（1，）MNBE，MNC=BECC=C=90，MNCBEC，=，=，则CN=t，DN=t1，SPND=DNPD=SMNC=CNCM=t2S梯形PDCM=（PD+CM）CD=S=SPND+S梯形PDCMSMNC=+t（0t2）抛物线S=+t（0t2）的开口方向向下，S存在最大值当t=1时，S最大=点评：本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法注意配方法在（3）题中的应用