高一数学期末冲刺总结必修5.doc

高一数学期末冲刺总结必修 5 知识概述 正弦定理和余弦定理 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 为 ABC 外接圆半径 R 1 正弦定理 cBbA2sinisin 定理变式 Ra2Ccsin siR2si2i si sn nbBACab BAcai i 2 余弦定理 Cabcaccos2 os2 os2 222 定理变式 ccos Cbba 3 射影定理 cos cos os AaABCa 4 面积公式 bacbSABC in21iin21 知识概述 等比数列及其性质 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项 的差等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数 列 这个常数叫做等差数列的公差 公差常用字母 表示 即 d 1 2 nadNn 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比常用字母 q q 0 表示 即 1 20 naqNnq 通项公式 1 n 递推公式 1n 中项公式 若 a M b 成等差数列 则 2M a b 称 M 为 a b 的等差中项 即 若 a G b 成等比数列 则有 G2 ab 称 G 为 a b 的等比 中项 即 a b 同号 前 n 项和公 式 11 2nnSd 11 nnnqSq 简单性质 mpqN 1 若 m n p q 则 mnpqaa 2 则 特别地 2 2 1mma mk 3 nd 4 为前 2m 1 项的和21mmSa 21S 5 仍为等差数列 3 1 若 则 mp mnpqa 2 若 则 特别地 2n2 21a mk A 3 nnq 4 为前 2m 1 项的和21mS S 5 仍为等比数列 23 通项公式推 导方法 1 归纳法 2 迭代法 3 累加法 1 归纳法 2 迭代法 3 累乘法 前 n 项和公 式推导方法 倒序相加法 错位相减法 知识概述 一元二次不等式 本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法 以及利用一元二次不等式解决其他相关 数学问题 通过本节课的学习 要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不 等式的分式不等式的解法 能够解决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参 数的取值范围的问题 三个二次之间的关系 下表中 a 0 4ac 2b 0 0 0cbxa 2 的解集 21 或 R R 一元二次不等式 02 cx 的解集 21x 知识概述 简单的线性规划问题 线性规划是不等式应用的一个典型 也是数形结合思想所体现的一个重要侧面 近年的 考试中 通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或 最小值 或求函数的最优解等问题 通过这节课的学习 希望同学们能够掌握线性规划的方 法 解决考试中出现的各种问题 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1 所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题 2 解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 1 作出平面区域 直线定 界 特 点 定侧 2 求目标函数的最值 3 求目标函数 z ax by 最值的两种类型 时 截距最大 小 z 的值最大 小 0b 时 截距最大 小 z 的值最小 大 知识概述 基本不等式及其应用 基本不等式的应用涉及到诸多内容 本课从近几年的高频考点出发 系统地介绍了基 本不等式在考题中的体现形式以及具体解法 通过这节课的学习 要求同学们掌握基本不等 式在其他综合问题中的解决方法 新课程标准中要求同学们会利用基本不等式比较大小关系 利用基本不等式求函数的 最值 基本不等式中的几个基本概念 1 对于任意实数 a b 当且仅当 a b 时等号成立 ab22 2 基本不等式 当且仅当 时等号成立 R ba 如果 a b 是定值 则当且仅当 时 ab 有最大值 和定积最大 如果 ab 是定值 则当且仅当 时 a b 有最小值 积定和最小 ba 高一数学期末考试模拟试卷 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题只有一个选项符合题意 1 设集合 M x 0 x 2 N x x 2 2x 3 0 则 M N 等于 A x 0 x 1 B x 0 xb 1 给出下列三个结论 0c 3 时 求函数 y 的值域 2x2x 3 19 14 分 已知 na是等差数列 其前 n项和为 nS b是等比数列 且 1442 710 abSb I 求数列 n与 的通项公式 II 记 12 nTa N 求 nT 20 14 分 某观测站 C 在城 A 的南 20 西的方向上 由 A 城出发有一条公路 走向是南 40 东 在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处 有一人正沿公路向 A 城走去 走了 20 千米后 到达 D 处 此时 C D 间距离为 21 千米 问这人还需走多 少千米到达 A 城 ABCSGFE21 14 分 如图 在三棱锥 中 平面 平面 过ABCS SBCAAB 作 垂足为 点 分别是棱 的中点 ASBF GE 求证 1 平面 平面 2 高一数学期末考试模拟试卷答案 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题只有一个选项符合题意 1 设集合 M x 0 x 2 N x x 2 2x 3 0 则 M N 等于 A x 0 x 1 B x 0 x 2 C x 0 x 1 D x 0 x 2 答案 D 解答过程 思路分析 首先解一元二次不等式 x2 2x 3 0 求出集合 N 再求 M N 即可 解 由 x2 2x 3 0 得 x 3 x 1 0 1 x 3 N x 1 xAC C B 求得 C 60 或 120 从而求得 A 90 或 30 由三角形面积公式求面积即 可 解 由正弦定理得 sinC ACsinB ABsinC 32 AB AC C B C 60 或 120 A 90 或 30 S ABC AB ACsinA 或 12 32 34 故选 D 规律总结 本题考查的是正弦定理的应用 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形 时 解有三种情况 一解 两解 无解 解答此题的关键是由 AB AC C B 从而求得 C 60 或 120 7 在 ABC 中 AC 7 BC 2 B 60 则 BC 边上的高等于 A 32 B C 362 D 394 答案 B 解答过程 思路分析 根据已知条件 只需求出 AB 的长 若设高为 AD 在 Rt ABD 中即可求 AD 所 以设 Ac 在 ABC 中 由余弦定理可以得到关于 c 的方程 解出 c 即可 解 设 B 在 ABC 中 由余弦定理知 22osACBABC 即 274cos60c 230 1cc 即 又 03 c 设 BC 边上的高等于 AD 则 3sinsi62D A 故选 B 规律总结 本题考查余弦定理 考查方程思想 运算能力 设 AB c 由余弦定理得到关于 c 的 方程是解答此题的关键 8 设 a b 1 给出下列三个结论 0c b 两边同除以 ab 即可得结果 cb 1 知 做如下变形0c 由对数函数的性质不难判断log l loglog l aaabacbccbc A 此式大于 0 即知 正确 解 由不等式的性质及 a b 1 知 又 所以 正确 由幂函数的图像与性1ab 0cacb 质知 正确 由 a b 1 知 由对数函数的图像与性质知 正确 0c1 故选 A 规律总结 本题考查函数概念与基本初等函数中的幂函数的图像与性质 对数函数的图像与 性质 不等式的性质 考查了数形结合的思想 函数概念与基本初等函数是高考常考知识点 9 某种生产设备购买时费用为 10 万元 每年的设备管理费共计 9 千元 这种生产设备的 维 修费各年为 第一年 2 千元 第二年 4 千元 第三年 6 千元 依每年 2 千元的增量递增 则 这种生产设备最多使用 年报废最合算 即使用多少年的平均费用最少 A 10 B 9 C 12 D 11 答案 A 解答过程 思路分析 设使用 x 年的平均费用为 y 万元 则 x 年的费用是 0 2 1 9xx 再除 以 x 即为平均费用 整理后为 利用基本不等式求最小值即可 10 x 解 设使用 x 年的平均费用为 y 万元 则 0 2 1 9101023 xyx 当且仅当 取 x 即 时 min3y 答 这种生产设备最多使用 10 年报废最合算 故选 A 规律总结 本题考查的是基本不等式的实际应用问题 在利用基本不等式求最值时 一定要 注意 对于 求最值的应用 请同学记忆以下知识 a b2 ab 若 a 0 b 0 且 ab p 定值 则当 a b 时 a b 有最小值 2p 若 a 0 b 0 且 a b s 定值 则当 a b 时 ab 有最大值 4s 可以记为 一正 二定 三相等 即各项为正数 积是定值 具备等号成立的条件 则和有 最小值 和是定值 具备等号成立的条件 则积有最大值 10 给出下列关于互不相同的直线 l m n 和平面 的三个命题 若 l 与 m 为异面直线 l m 则 若 l m 则 l m 若 l m n l 则 m n 其中真命题的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 C 解答过程 思路分析 根据空间中平面平行的判定方法 平面平行的性质定理 线面平行的性质定理 我们逐一对已知中的三个命题进行判断 即可得到答案 解 中当 与 不平行时 也能存在符合题意的 l m 故 错误 中 l 与 m 也可能异面 故 错误 中 同理 l n 则 m n 故 正确 ll AA 故选 C 规律总结 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系判断 及空间中直线与平面之间 的位置关系判断 熟练掌握空间中线面之间关系判定的方法和性质定理是解答本题的关 键 11 已知过点 P 2 2 的直线与圆 相切 且与直线 垂直 则25 1 xy 10axy a A B 1 C 2 D 2 2 答案 C 解答过程 思路分析 用点斜式设出与圆相切的直线的方程 设直线斜率为 则直线方程为k 圆心 到直线的距离等于半径 求出 k 又因为直线与直线20kxyk 1 5 垂直 所以 可求出 a 的值 1a2a 解 设直线斜率为 则直线方程为 即 圆心k ykx 20kyk 到直线的距离 即 解得 因为直线与直线 1 0 251 251 1 垂直 所以 即 axy ka a 故选 C 规律总结 本题考查直线与圆的位置关系 考查点到直线的距离公式 考查两直线互相垂直 等知识 正确运用点到直线的距离公式是解题的关键 12 三棱锥 S ABC 中 底面为边长为 6 的等边三角形 SA SB SC 三棱锥的高为 则3 侧面与底面所成的二面角为 A 30 B 45 C 60 D 65 答案 B 解答过程 思路分析 利用正三棱锥的性质和二面角的定义 等边三角形的性质即可求出 解 如图所示 过点 S 作 SO 底面 ABC 点 O 为垂足 连接 OA OB OC 则 Rt OAB Rt OBC Rt OCA OA OB OC 点 O 为等边 ABC 的中心 延长 AO 交 BC 于点 D 连接 SD 则 AD BC 再根据三垂线定理可得 BC SD ODS 为侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的平面角 根据重心定理可得 OD 1362A 在 Rt SOD 中 tan ODS ODS 45 SOD 侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的平面角为 45 故选 B 规律总结 熟练掌握正三棱锥的性质和二面角的定义 等边三角形的性质是解题的关键 二 填空题 本题共 4 道小题 每小题 6 分 共 24 分 13 若数列 的前 n 项和为 Sn 则数列 的通项公式是 a213a nana 答案 1 2 n 解答过程 思路分析 令 n 1 首先求出首项 1 写出 用已知的 Sn 与1a1123nnSa 213a 上式相减得到 此题得解 na12 解 当 1 时 解得 1 S3 1 当 2 时 即 n1n a23n 123na na12 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 na 故答案为 n 规律总结 本题主要考查等比数列定义 通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系 是容 易题 14 直线 y 2x 3 被圆 x2 y2 6x 8y 0 所截得的弦长等于 答案 45 解答过程 思路分析 首先将圆的一般方程化成标准方程 求出圆的半径和圆心坐标 圆心到直线 的距离为 利用平面几何中学习的垂径定理 可以求得230 xy 64351d 弦长等于 5 解 圆的标准方程为 所以圆心为 半径为 5 圆心到直线22 3 4 5xy 3 4 的距离为 所以弦长等于 230 xy 61d25 故答案为 45 规律总结 本题考查圆的标准方程和点到直线的距离公式 是基础题 此题还可以用弦长公式 求解 就是计算量比较大 所以用点到直线的距离公式及垂径定理解答 15 如果实数 满足等式 那么 的最大值是 xy2 3xy xy 答案 3 解答过程 思路分析 设 因为 x y 是圆上的22 3 1 410ykxkxkx 点 即直线 y kx 与圆的交点 所以 即直线与圆相64 3k 切时 斜率最得最大值和最小值 解 设 22 3 1 410ykxkxkx 所以 k 的最大值为 21640 3 另 可考虑斜率的几何意义来做 即直线与圆相切时 直线 y kx 的斜率取得最大值和最小 值 故答案为 3 规律总结 本题考查圆的方程的应用 考查要的判别式 考查数形结合思想 解题时认真审题 灵活运用知识解答 16 若变量 x y 满足约束条件Error 则 z x 2y 的最大值为 答案 3 解答过程 思路分析 首先作出可行域 将 z x 2y 变形为 由此可知当 最小时 12yxz 12z z 最大 所以找出直线 在 y 轴上截距最小时的位置即可解题 12y 解 先作出可行域如图 作直线 x 2y 0 在可行域内平移 当 x 2y z 0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大 当移至 A 1 1 时 1 2 1 3 maxz 故答案为 3 规律总结 作出不等式组对应的平面区域 利用目标函数的几何意义 进行求最值 本题主要考查线性规划的基本应用 利用目标函数的几何意义是解决问题的关键 利用数 形 结合是解决问题的基本方法 三 解答题 本题共 5 道小题 共 66 分 17 10 分 若圆 C 经过坐标原点和点 4 0 且与直线 y 1 相切 求圆 C 的方程 答案 2235 4xy 解答过程 思路分析 因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 A 4 0 所以圆心必在线段 OA 的中垂线上 所以设圆心坐标为 半径为 再由圆与直线 y 1 相切 得到 且 2 0b R1Rb 解出 b 再求 R 此题得解 221bR 解 因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 A 4 0 所以圆心必在线段 OA 的中垂线上 所以圆 心的横坐标为 2 设圆心坐标为 半径为 因为圆与直 2 C 线 y 1 相切 所以 且 解得1Rb 22 1 Rb 所以圆心为 半径 32b 3 235 所以圆的方程为 54xy 故答案为 22 规律总结 本题考查直线与圆的位置关系以及圆的方程求法 利用垂径定理得知圆心在 OA 的中垂线上 起到简化解题过程的作用 18 14 分 当 x 3 时 求函数 y 的值域 2x2x 3 答案 24 解答过程 思路分析 首先将函数变形为 因为 x 3 即 x 3 0 用基 22 3 1 8182 3 2xxy x 本不等式解答即可 解 22 3 1 8182 3 2xxy x 当 x 3 时 x 3 0 2 x 3 12 18x 3 182 3x A 当且仅当 2 x 3 即 x 6 时 等号成立 y 24 函数的值域为 24 18x 3 故答案为 24 规律总结 本题考查基本不等式的应用 通过构造形式用基本不等式求最值 训练学生答 题的观察 化归的能力 19 14 分 已知 na是等差数列 其前 n项和为 nS b是等比数列 且 1442 710 abSb I 求数列 n与 的通项公式 II 记 12 nTa N 求 nT 答案 1 3 nab 2 1 34 28n A 解答过程 思路分析 1 设等差数列 na的公差为 d 等比数列 nb的公比为 q 根据已知条件可以列 出 关于 d q 的二元方程组 求出 d q 的值代入通项公式即可 2 写出 2358 1 2nnT 两边乖以 2 后两式相减即可求出 nT 解 1 设等差数列 na的公差为 d 等比数列 nb的公比为 q 由 1ab 得34442 86adbqS 由条件得方程组 37328620ddq 故 31 2 nnabN 答案为 n 2 由 1 得 2358 1 2nnT 2341582 3 2nnT 由 得 23 111 6 3428nnnnnn 所以 nTA 故答案为 1n 规律总结 1 求等差数列和等比数列的通项公式 只需求出首项及公差 公比的值 本题 中已知了首项的值 只需求出公差和公比的值 根据已知条件列方程组求之 运用方程思 想是解答此类题常用的方法 2 已知等差数列 na和等比数列 求和 12 nnTabab 两边乘以 的公nb nb 比 q 再两式相减 等号右边合并关于 q 幂指数相同的项 整理即可求得 这种数列求和的T 方法为 错位相减 法 20 14 分 某观测站 C 在城 A 的南 20 西的方向上 由 A 城出发 有一条公路 走向是南 40 东 在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路 上 B 处 有一人正沿公路向 A 城走去 走了 20 千米后 到达 D 处 此时 C D 间距离为 21 千米 问这人还需走多少千米到达 A 城 答案 15 ABCSGFE 解答过程 思路分析 根据题意可分别求得 BC BD CD 和 CAB 设 ACD CDB 在 CDB 中 利用余弦定理求得 cos 的值 进而利用同角 三角函数的基本关系求得 sin 的值 进而利用 sin sin 20 40 利用两角差公式展开 最后在 ACD 中 由正弦定理得答案 解 根据题意得 BC 31 千米 BD 20 千米 CD 21 千米 CAB 60 设 ACD CDB 在 CDB 中 由余弦定理得 cos 22210137CDB A 于是 sin sin sin 20 40 sin 60 241cos7 sin cos60 cos sin60 31532714 在 ACD 中 由正弦定理得 AD 千 米 2si 15in60C 答 此人还得走 15 千米到达 A 城 故答案为 15 千米 规律总结 本题主要考查了解三角形问题的问题 考查了学生综合运用所学知识解决实际问 题的能力 考查学生准确的运算能力 利用 CDB 求出 sin 是解题的关键 知识点 余弦定理 正弦定理 两角差正弦公式 同角三角函数基本关系式 难度 难 21 14 分 如图 在三棱锥 中 平面 平面 过ABCS SBCB 作 垂足为 点 分别是棱 的中点 ASBF GE 求证 1 平面 平面 2 答案 略 解答过程 思路分析 1 欲证平面 平面 只需证明平面 EFG 内的两条相交直线都平行于 EFGABC 平面 ABC 即可 F 分别是 SB 的中点 则可以证明 EF FG 都平行于平AS S 面 ABC 此题得征 2 平面 平面 平面 平面 BC AF 平面 SAB AF SB 则 AF B 平面 SBC 可以得 AF BC 又 则 BC 平面 SAB 从而得证 BC 证明 1 F 分别是 SB 的中点 AS S E F 分别是 SA SB 的中点 EF AB 又 EF 平面 ABC AB 平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EF FG F EF FG 平面 EFG 平面 平面 EFGABC 2 平面 平面 S 平面 平面 BC AF 平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC 平面 SBC AF BC 又 AB AF A AB AF 平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA 平面 SABBCA BC SA 规律总结 本题考查的是平面与平面平行的判定 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直 的性质 直线与平面垂直的判定 同时考查空间想象能力 推理论证能力 考查数形结合 思想 化归与转化思想