高考数学计算试题分类汇编：函数含详解.doc

2010 年高考数学试题分类汇编 函数 含详解 2010 上海文数 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 若实数 x y m满足 xym 则称 x比 y接近 m 1 若 2比 3 接近 0 求 的取值范围 2 对任意两个不相等的正数 a b 证明 2ab 比 3接近 2ab 3 已知函数 fx的定义域 DxkZxR 任取 xD f等于1sin 和 si 中接近 0 的那个值 写出函数 f的解析式 并指出它的奇偶性 最小 正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 解析 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数 a b 有 2ab 32aba 因为 2 3 2 0ab 所以 2 abab 即 a2b ab2 比 a3 b3 接近 2ab 3 1sin 1 sin xkfx xk k Z f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期 T 函数 f x 的最小值为 0 函数 f x 在区间 2k 单调递增 在区间 2k 单调递减 k Z 2010 湖南文数 21 本小题满分 13 分 已知函数 1 ln5 afxxa 其中 a 0 且 a 1 讨论函数 的单调性 设函数 32 2646 1 1 xxaxaeefgx e 是自然数的底数 是否存在 a 使 在 a a 上为减函数 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 2010 浙江理数 22 本题满分 14 分 已知 a是给定的实常数 设函数22 fxaxbe R 是 f的一个极大值点 求 的取值范围 设 123 x是 fx的 3 个极值点 问是否存在实数 b 可找到 4xR 使得1234 的某种排列 1234 ii 其中 1234 i 依次成等差数列 若存 在 求所有的 b及相应的 4x 若不存在 说明理由 解析 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用及等差数列等基础知识 同时考查推理论证能力 分类讨论等综合解题能力和创新意识 解 f x e x x a 2 3 2 abxa 令 2 2 3 a b4 1 80 gx 则 于是 假设 12 2 0 gxx 是 的 两 个 实 根 且 1 当 x1 a 或 x2 a 时 则 x a 不是 f x 的极值点 此时不合题意 2 当 x1 a 且 x2 a 时 由于 x a 是 f x 的极大值点 故 x1 a0 由已知得 alnx 12x a 解德 a 2e x e2 两条曲线交点的坐标为 e 2 e 切线的斜率为 k f e2 12e 切线的方程为 y e 12 x e2 2 由条件知 当 a 0 时 令 h x 0 解得 x 24a 所以当 0 x 24a时 h x 2时 h x 0 h x 在 0 2 上递增 所以 x 是 h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是 h x 的 最 小值点 所以 a h 24 2a aln 24a 2 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式为 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 a 2a 1 ln2a 则 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上递增 当 a 1 2 时 1 a 0 为单调递增区 间 最大值在右端点取到 max1 2f 2010 安徽文数 20 本小题满分 12 分 设函数 sinco1fxx 02x 求函数 fx的单调区间与极值 命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综合 应用数学知识解决问题的能力 解题指导 1 对函数 sinco1fxx 求导 对导函数用辅助角公式变形 利用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的单 调性 求极值 12 423 0 4 xxxx 解 由 f sin co 1 0 知 fsin令 从 面 i 得 或 当 变 化 时 f 变 化 情 况 如 下 表 3233222 因 此 由 上 表 知 f x 的 单 调 递 增 区 间 是 0 与 单 调 递 增 区 间 是 极 小 值 为 f 极 大 值 为 f 思维总结 对于函数解答题 一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值 利用导数 为 0 得可能的极值点 通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性 进而得出极值 点 2010 重庆文数 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知函数 32 fxabx 其中常数 a b R gxfx 是奇函数 求 的表达式 讨论 gx的单调性 并求 gx在区间 1 2 上的最大值和最小值 2010 浙江文数 21 本题满分 15 分 已知函数 2 fxa a b abR 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不等式 等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当 a 1 时 f x 32x1 f 2 3 f x 23x f 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 f x 3 axa 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1a 以下分两种情况讨论 1 若 10a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 0 12 0 f x 0 f x A极大值 A 当 1xfx2 时 0等价于 5a10 820 f 即 解不等式组得 5 a2 则 10a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 0 1a 1a1a2 f x 0 0 f x A极大值 A极小值 A 当 1x2 时 f x 0 等价于 1f 2 0 a 即 2 581 0 a 解不等式组得 52a 或 2 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a1 时 2x 2 0 从而 0 Fxe 又 所 以 x 0 从而函数 F x 在 1 是增函数 又 F 1 1e0 所 以 x 1时 有 F x F 1 0 即 f x g x 证明 1 若 2 1212 1 x xx 12由 及 f f则 与 矛 盾 2 若 0 x 由 及 得 与 矛 盾 根据 1 2 得 1212 0 xx 不 妨 设 由 可知 f g 则 2 f 所以 2f x 2f 从而 1f x 2f 因为 2x 所以 x 又由 可知函数 f x 在区间 1 内事增函数 所以 1 2 即 12 2 2010 福建文数 22 本小题满分 14 分 已知函数 f x 321xab 的图像在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 3x 2 求实数 a b 的值 设 g x f x 1mx 是 2 上的增函数 i 求实数 m 的最大值 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个 封闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明 理由 2010 福建文数 21 本小题满分 12 分 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 t小时 与轮船相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 是否存在 使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇 若存在 试确定 的取值范围 若不存在 请说明理由 2010 全国卷 1 理数 20 本小题满分 12 分 已知函数 ln1fxx 若 2 a 求 的取值范围 证明 1 0 xf 2010 四川文数 22 本小题满分 14 分 设 1 xaf 0 且 1a g x 是 f x 的反函数 求 g 当 2 6 x 时 恒有 2 log 1 7atxx 成立 求 t 的取值范围 当 0 a 时 试比较 f 1 f 2 f n 与 4n 的大小 并说明理由 1 2 2010 湖北文数 21 本小题满分 14 分 设函数 321axbcf 其中 a 0 曲线 xyf 在点 P 0 处的切线方程为 y 1 确定 b c 的值 设曲线 xyf 在点 1xf 及 2xf 处的切线都过点 0 2 证明 当 12 时 2 若过点 0 2 可作曲线 yf 的三条不同切线 求 a 的取值范围 2010 湖北文数 19 本小题满分 12 分 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m 2 其中有部分旧住房需要 拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积为 b 单位 m2 的旧住房 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 2010 山东理数 22 本小题满分 14 分 已知函数 1 lnafxx R 当 12a 时 讨论 f的单调性 设 4 gxb当 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 21 x 使12f 求实数 取值范围 当 14a 时 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 所以对任意1 0 2 x 有 f 又已知存在 2 x 使 12 fxg 所以 21 gx 2 x 即存在 1 使 21 42gxb 即 29bx 即 92bx 7 24 所以 b 解得 4b 即实数 取值范围是 4 命题意图 本题将导数 二次函数 不等式知识有机的结合在一起 考查了利用导数研 究函数的单调性 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题 考查了同学们分类讨 论的数学思想以及解不等式的能力 考查了学生综合运用所学知识分析问题 解决问题的 能力 1 直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 2 利用导数求出 fx的最小值 利用二次函数知识或分离常数法求出 gx在闭区间 1 2 上的最大值 然后解不等式求参 数 2010 湖南理数 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 fxbcR 对任意的 x 恒有 fx f 证明 当 0 时 2fxc 若对满足题设条件的任意 b c 不等式 2 fbMc 恒成立 求 M 的最小值 解析 2010 湖北理数 17 本小题满分 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每 年的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 C x 01 35kx 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 2010 福建理数 20 本小题满分 14 分 已知函数 3 x f 其 图 象 记 为 曲 线 C i 求函数 的单调区间 ii 证明 若对于任意非零实数 1x 曲线 C 与其在点 1P x f 处的切线交于另一点22P x f 曲线 C 与其在点 22P f 处的切线交于另一点 33 fx 线段1123 12 S与 曲 线 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 则 为 定 值 对于一般的三次函数 32g x a bcxd a0 请 给 出 类 似 于 ii 的正 确命题 并予以证明 命题意图 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 运算 求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊 与一般思想 解析 i 由 3 x f得 2 x 1f 3 x 当 3x 和 时 x 0f 当 时 0 使得 1 2 xh 则 称函数 xf具有性质 aP 1 设函数 2ln1bx 其中 b为实数 i 求证 函数 f具有性质 ii 求函数 xf的单调区间 2 已知函数 xg具有性质 2P 给定 1212 x 设 m为实数 21 m m 且 若 0 所以对任意的 都有 0 x 在 上递增 又 1212 xm 当 m 时 且 1212 xmxxm 综合以上讨论 得 所求 m的取值范围是 0 1 方法二 由题设知 gx的导函数 2 1 gxhx 其中函数 0hx 对于 任意的 1 x都成立 所以 当 时 2 从而 g在区 间 上单调递增 当 0 m时 有 1211 mxxmx 12x 得 2 同理可得 12 x 所 以由 g的单调性知 g 1 gx 从而有 21x 符合题设 当 0m 时 2 mxx 1211 x 于是由 1 及 gx的单调性知 gg 所以 g 2 与题设不符 当 m 时 同理可得 12 x 进而得 21x 与题设 不符 因此综合 得所求的 m的取值范围是 0 1