高中数学两条直线的位置关系专题练习.docx

高中数学先修课程 两条直线的位置关系 专题练习一填空题（共12小题）1两条直线y=kx+2k+1和x+2y4=0的交点在第四象限，则k的取值范围是_2过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为3直线l经过点P（2，1）且点A（2，1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是4点P（1，1）到直线xy+1=0的距离是5两条平行直线3x+4y12=0与ax+8y+11=0间的距离是6已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a1）y+a21=0，若l1l2，则a=，若l1l2，则l1与l2的距离为7已知aR，直线l：（a1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为8已知点A（8，5）、B（0，10），则|AB|=9已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为10已知直线l1：x2y4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为11若在直线y=x上存在点P，P到点A（m，0）与到点B（m，0）（m0）的距离之差为2，则实数m的取值范围为12对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点的坐标是 二解答题（共8小题）13（1）求直线3x2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程14求经过直线l1：3x+4y5=0与直线l2：2x3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：（1）经过原点；（2）与直线2x+y+5=0平行；（3）与直线2x+y+5=0垂直15已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x2y+3=0和直线l2：2xy+2=0的交点（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求ABC的面积16已知直线l的方程为：（2+m）x+（12m）y+（43m）=0（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2）过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程17求过直线l1：x2y+3=0与直线l2：2x+3y8=0的交点，且到点P（0，4）的距离为1的直线l的方程18已知直线l的方程为2xy+1=0（）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程19已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程20两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（3，1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程参考答案与试题解析一填空题（共12小题）1两条直线y=kx+2k+1和x+2y4=0的交点在第四象限，则k的取值范围是_k【考点】两条直线的交点坐标菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可【解答】解：联立，解得x=，y=由两直线y=kx+2k+1与x+2y4=0交点在第四象限可得：0，0解此不等式组可得k，k的取值范围为k【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题2过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4xy13=0或x=3【考点】两点间距离公式的应用菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C的直线方程，即可得到满足条件的直线方程【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线A（2，3），B（4，5），AB的斜率k=4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x3），化简得4xy13=0，又AB中点为C（3，1）经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4xy13=0或x=3【点评】本题给出点A、B，求经过点P且与A、B距离相等的直线方程，着重考查了直线的斜率与直线方程等知识，属于基础题和易错题3直线l经过点P（2，1）且点A（2，1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或【考点】点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kxy+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y1=k（x+2），即kxy+2k+1=0，点A（2，1）到直线l的距离等于1，=1，解得k=，直线l的方程为：或故答案为：或【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用4点P（1，1）到直线xy+1=0的距离是【考点】点到直线的距离公式菁优网版权所有【分析】直接应用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：由点到直线的距离公式可得：故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式，是基础题5两条平行直线3x+4y12=0与ax+8y+11=0间的距离是【考点】两条平行直线间的距离菁优网版权所有【专题】计算题；直线与圆【分析】通过直线的平行求出a，然后利用两条平行线之间的距离求解即可【解答】解：因为两条平行直线3x+4y12=0与ax+8y+11=0，所以a=6，由两条平行线之间的距离公式可得：=故答案为：【点评】本题考查两条平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力6已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a1）y+a21=0，若l1l2，则a=，若l1l2，则l1与l2的距离为【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】利用两条直线平行与垂直的充要条件即可得出【解答】解：当a=1时不满足条件，当a1时，l1l2，=1，解得a=l1l2，解得a=2或1，a=2时两条直线重合，舍去a=1，两条直线分别化为：x2y6=0，x2y=0，l1与l2的距离为=故答案分别为：，【点评】本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件、斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7已知aR，直线l：（a1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为（3，3）【考点】恒过定点的直线菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】把直线的方程化为m（ax+by+c）+（ax+by+c）=0的形式，再令m的系数等于零，即可求得定点的坐标【解答】解：直线l：（a1）x+ay+3=0，即 a（x+y）+（x+3）=0，令x+y=0，可得x+3=0，求得x=3，y=3，故直线l经过的定点的坐标为（3，3），故答案为：（3，3）【点评】本题主要考查直线过定点问题，利用了m（ax+by+c）+（ax+by+c）=0 经过直线ax+by+c=0和直线ax+by+c=0的交点，属于基础题8已知点A（8，5）、B（0，10），则|AB|=17【考点】两点间距离公式的应用菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】根据两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：A（8，5）、B（0，10），|AB|=17，故答案为：17【点评】本题主要考查平面内两点间的距离的计算，根据距离公式是解决本题的关键9已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为1【考点】两条直线的交点坐标菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点，求出即可【解答】解：由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点联立解得，把x=4，y=2代入ax+2y+8=0得a=1故答案为1【点评】正确理解题意是解题的关键10已知直线l1：x2y4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为（0，2）【考点】两条直线的交点坐标菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】联立直线l1和l2的方程解得即可【解答】解：联立，解得直线l1和l2的交点为（0，2）故答案为：（0，2）【点评】本题考查了两条直线的交点问题，属于基础题11若在直线y=x上存在点P，P到点A（m，0）与到点B（m，0）（m0）的距离之差为2，则实数m的取值范围为【考点】两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由已知，P与O不重合，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，即是说，P应是双曲线与直线在第一象限的交点问题转化为直线与双曲线相交满足的条件，利用相应的方程组有解解决【解答】解：易知当P与O重合时，|PA|=|PB|，不合题意P与O不重合时，P，A，B三点构成三角形，|PA|PA|AB|=2m，m1，由双曲线的定义，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且双曲线方程为与直线方程y=x联立若在直线y=x上存在点P，方程组有正数解解消去得，并化简整理得x2=0，m22，解得：m故答案为：【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，方程组的解法，以及分析解决问题、计算的能力、数形结合的思想方法12对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点的坐标是 【考点】恒过定点的直线菁优网版权所有【专题】压轴题；转化思想【分析】对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点，则与m，n的取值无关，则将方程转化为（x+12y）m+（x2）n=0，让m，n的系数为零即可【解答】解：方程（m+n）x+12my2n=0可化为（x+12y）m+（x2）n=0对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点故定点坐标是【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解二解答题（共8小题）13（1）求直线3x2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直的判定；直线的一般式方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）联立方程组直接求出交点坐标；（2）求出与直线x+3y+4=0垂直的直线的斜率，然后求出直线方程【解答】解：（1）根据题意有，解得交点坐标（1，1）（2）根据题意，所求直线的斜率为3所求直线方程为y+1=3（x+1），即3xy+2=0【点评】本题考查两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定，直线的一般式方程，考查计算能力，是基础题14求经过直线l1：3x+4y5=0与直线l2：2x3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：（1）经过原点；（2）与直线2x+y+5=0平行；（3）与直线2x+y+5=0垂直【考点】两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由方程组可得M的坐标，（1）过原点，可得方程为y=kx，可得k值，进而可得方程；（2）由平行关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可（3）由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：由，解得，故点M（1，2）（1）当直线过原点，可得方程为y=kx，代入点（1，2）可得k=2，故方程为2x+y=0；（2）若直线平行于直线l3：2x+y+5=0则斜率为2故可得方程为y2=2（x+1），即2x+y=0（3）若直线垂直于直线l3：2x+y+5=0则斜率为故可得方程为y2=（x+1），即x2y+5=0【点评】本题考查直线方程的求解，涉及直线的垂直和平行，属基础题15已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x2y+3=0和直线l2：2xy+2=0的交点（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求ABC的面积【考点】两条直线的交点坐标；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】（1）联立直线方程，解方程组可得；（2）由距离公式可得|AB|和AB上的高h，代入三角形的面积公式可得【解答】解：（1）联立方程组，解得l1与l2的交点C的坐标为（1，0）；（2）设AB上的高为h，则，由距离公式可得，AB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线方程为，即x+y4=0，点C到x+y4=0的距离为，【点评】本题考查直线的交点坐标和距离公式，涉及三角形的面积，属基础题16已知直线l的方程为：（2+m）x+（12m）y+（43m）=0（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2）过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程【考点】恒过定点的直线；直线的截距式方程菁优网版权所有【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）原方程整理得：（x2y3）m+2x+y+4=0由，可得直线必过定点M；（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论【解答】（1）证明：原方程整理得：（x2y3）m+2x+y+4=0由，可得，不论m为何值，直线必过定点M（1，2）（2）解：设直线l1的方程为y=k（x+1）2（k0）令当且仅当，即k=2时，三角形面积最小则l1的方程为2x+y+4=0【点评】本题考查直线过定点，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17求过直线l1：x2y+3=0与直线l2：2x+3y8=0的交点，且到点P（0，4）的距离为1的直线l的方程【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】确定l1，l2的交点坐标，分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可得出结论【解答】解：由，解得l1，l2的交点为（1，2）2分显然，直线x=1满足条件； 4分另设直线方程为y2=k（x1），即kxy+2k=0，依题意有：，解得：8分所求直线方程为3x+4y11=0或x=1.10分（注：未考虑x=1扣2分）【点评】本题考查两条直线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题18已知直线l的方程为2xy+1=0（）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】（）设与直线l：2xy+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入解得m即可；（）设与直线l：2xy+1=0平行的直线l2的方程为：2xy+c=0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为可得=，解得c即可得出【解答】解：（）设与直线l：2xy+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入可得，3+22+m=0，解得m=7过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y7=0；（）设与直线l：2xy+1=0平行的直线l2的方程为：2xy+c=0，点P（3，0）到直线l2的距离为=，解得c=1或11直线l2方程为：2xy1=0或2xy11=0【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（2，1）（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（2，1）（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k0（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，A（，0），B（0，1+2k），又0且1+2k0，k0，故S=|OA|OB|=（1+2k）=（4k+4）（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y+4=0【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）20两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（3，1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程【考点】两条平行直线间的距离菁优网版权所有【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）方法一：当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y2=k（x6），l2：y+1=k（x+3），利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离d的表示式，两端平方，整理成关于斜率k的二次方程，利用其有解的条件即可求得d的变化范围；（2）作出图形，数形结合即可求得答案【解答】解：（1）方法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=3，则它们之间的距离为9（2分）当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y2=k（x6），l2：y+1=k（x+3），即l1：kxy6k+2=0，l2：kxy+3k1=0，（4分）d=即（81d2）k254k+9d2=0kR，且d9，d0，=（54）24（81d2）（9d2）0，即0d3且d9（9分）综合可知，所求d的变化范围为（0，3方法二：如图所示，显然有0d|AB|而|AB|=3故所求的d的变化范围为（0，3（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB而kAB=，所求直线的斜率为3故所求的直线方程分别为y2=3（x6），y+1=3（x+3），即3x+y20=0和3x+y+10=0（13分）【点评】本题考查两条平行直线间的距离，考查分类讨论思想与数形结合思想的综合运用，属于难题第18页（共18页）