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七年级上册 第一章 丰富的图形世界1. 2. 3. 球体：由球面围成的（球面是曲面）4. 几何图形是由点、线、面构成的。几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面；面与面相交得到线；线与线相交得到点。5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等。7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形9. 长方体和正方体都是四棱柱。10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。12. 设一个多边形的边数为n(n3，且n为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n边形成(n-2)个三角形；这个n边形共有条对角线。13. 圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线。14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章 有理数及其运算数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。0-1-2-3123越来越大 或 绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|0比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： 先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。绝对值的性质：对任何有理数a，都有|a|0若|a|=0，则|a|=0，反之亦然若|a|=b，则a=b对任何有理数a,都有|a|=|-a|有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。有理数的加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。）有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与 、 等）乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。指数底数幂有理数的乘方 注意：一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的。第三章 字母表示数代数式的概念： 用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式的书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如应写作；数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4（a-4）应写作；注意：分数线具有“”号和括号的双重作用。在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米代数式的系数： 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3，4。 注意：单个字母的系数是1，如a的系数是1；只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。a3b的系数是1代数式的项： 代数式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 注意：判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。合差同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。根据去括号法则去括号： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号去掉，括号里各项都改变符号。根据分配律去括号： 括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。注意：去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“”号；改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。第四章 平面图形及位置关系一. 线段、射线、直线1. 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：名称图形表示方法端点长度直线直线AB(或BA)直线l无端点无法度量射线射线OM1个无法度量线段线段AB(或BA)线段l2个可度量长度2. 直线公理:经过两点有且只有一条直线.二.比较线段的长短AOB图11. 线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.b图22. 比较线段长短的两种方法:圆规截取比较法;刻度尺度量比较法.3. 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;图41图3用圆规可以画出线段的和、差、倍.三.角的度量与表示1. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;这个公共端点叫做角的顶点;终边始边图5这两条射线叫做角的边.2. 角的表示法：角的符号为“”平角图6 用三个字母表示，如图1所示AOB用一个字母表示，如图2所示b用一个数字表示，如图3所示1图8CABO用希腊字母表示，如图4所示周角图7经过两点有且只有一条直线。两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。1=60 1=60”角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图6所示：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图7所示：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为O点，线段CO的长度叫做点C到直线AB的距离。第五章 一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次）,这样的方程叫做一元一次方程。等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=m的形式。第六章 生活中的数据科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a10n的形式，其中1an).2. 在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a0时,a-p的值一定是正的; 当a0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如,运算要注意运算顺序. 六. 整式的乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时，要注意运算顺序。3多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；多项式相乘的结果应注意合并同类项；对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到七平方差公式1平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。其结构特征是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。八完全平方公式1 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍， 即；口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；2结构特征：公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。九整式的除法1单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。第二章 平行线与相交线一台球桌面上的角1互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180（或平角），那么这两个角互为补角；注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。二探索直线平行的条件两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。三平行线的特征平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。四用尺规作线段和角1关于尺规作图尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。2关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。第三章生活中的数据1科学记数法：对任意一个正数可能写成a10n的形式，其中1a10，n是整数，这种记数的方法称为科学记数法。2利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。3统计工作包括：设定目标；收集数据；整理数据；表达与描述数据；分析结果。第四章 概率1随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半，都为50%。2现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。3了解必然事件和不可能事件发生的概率。必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0P(A)14.了解几何概率这类问题的计算方法事件发生概率=第五章 三角形一认识三角形1关于三角形的概念及其按角的分类由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。这里要注意两点：组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。2关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。设三角形三边的长分别为a、b、c则：一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|ab+c成立；反之，只有|b-c|ab+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+ca，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|a，那么这三条线段就能构成三角形。3关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。4关于三角形的中线、高和中线三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。二图形的全等能够完全重合的图形称为全等形。全等图形的形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。四全等三角形1关于全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。2全等三角形的对应边相等，对应角相等。3全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。五探三角形全等的条件1三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”2有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”六作三角形1已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。2已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。3已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。八探索直三角形全等的条件1斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只对直角三角形成立。2直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。三条边对应相等的两个直角三角形全等。第七章 生活中的轴对称1如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2角平分线上的点到角两边距离相等。3线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。4角、线段和等腰三角形是轴对称图形。5等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。6轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。7轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。（注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；）八年级上册 第一章：勾股定理第一节 探索勾股定理1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b斜边为c那么即直角三角形两直角平方和等于斜边和平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。2、勾股定理的验证方法观察图形，是由4个全等的直角三角形拼成的，得到一个以a+b为边长的大正形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形所以大正方形的面积可表示成因此3、勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范，勾股定理不仅应用于几何的计算与推理，而且广泛地应用于代数、直角和其他自然科学以及工程技术。农业生产、日常生活中。规律方法：1、 勾股定理和特征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2、 利用勾股定理解决问题须满足两个特征：（1）在直角三角形中;（2）已知两边，求第三边或第三边的平方。3、 用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用，在没有现成的直角三角形时，要善于构造三角形。4、第二节 能得到直角三角形吗？1、直角三角的判别条件（勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长a, b, c,满足那么这个三角形是直角三角形。如图，在ABC中，如果那么ABC是直角三角形，C是直角。2、勾股数满足的三个正数，称为勾股数。如：，所以3,4，5，是一组勾股数常见的勾股数有3，4,5;5,12,13; 8, 15, 17; 9, 40, 41;规律方法：1、 勾股数公式:只要用大于0的任何一个自然数分别代入公式，便可得到一组勾股数。2、 根据直角三角形和判别条件判定一个三角形是直角三角形，需要通过代数运算来得到结论。3、 直角三角形和判别在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来确定直角。如农村建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常利用勾股定理的理论知识解决问题。第三节 蚂蚁怎样走最近1、运用勾股定理求最短距离2、运用直角三角形判别条件解决问题规律方法：本节讲解勾股定理和直角三角形判别条件应用，应用勾股定理解决现实中“路线最短”的问题，方法是将原来的曲面或多个平面展开成为一个平面去解，运用公理“两点之间，线段最短”，同时运用勾股定理，在一个三角形中求出这个最短距离，直角三角形的判别条件用来判断一个三角形中求出这个最短距离，直角三角形的判别条件用来判断一个三角形是否是直角三角形。本节充分运用了直角三角形的判别条件，解决现实活中判断两线否垂直的问题，应用过程既渗透了操作方法，又给予了操作的理论基础。第二章 实数第一节 数怎么又不够用了无理数的概念无限不循环小数叫做无理数，例如圆周率3.1415926，是一个无限不循环小数，因此它是一个夫理数，再如：5.010010001（相邻两个1之间零的个数逐次增加）也是无理数。规律方法：无理数是一种与有理数不同的数，要注意“无限不循环小数”与“无限循环小数”之间的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。第二节 平方根1、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”2、平方根的概念如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）3、开平方的概念求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方数，规律方法：算术平方根与平方根概念的区别与联系，即正数只有一个算术平方根且为正数，而平方根有两个，它们互为相反数，且算术平方根是平方根之一。第三节 立方根1、立方根的概念如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。如：2是8的立方根；的立方根；0是0的立方根。2、开立方的概念求一个数a的立方根的运算叫做开立方根，其中a叫做被开方数。规律方法：平方根与立方根两者之间的区别与联系如下表：第四节 公园有多宽1、估算一个无理数的大致范围围2、比较两个数的大小例如：比较与3的大小，因为5，而规律方法：估算一个根号表示的无理数，一般采用夹逼方法。根据误差，确定其范围时，可借助计算器通过寻找邻近折两个数的方法进行。第六节实数1、实数的概念有理数和无理数统称为实数。即实数可分为有理数和无理数，实数也可以分为正实数、零、负实数。2、实数的相反数、倒数、绝对值的意义有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍有意义，即：（1）任何一个实数a，都有一个相反数a；（2）任何非零实数a，都有其倒数；（3）正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是03、实数的运算（1） 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。如规律方法：对实数分类，有不同的方法，按实数的概念分为有理数和无理数，按符号性质分为正实数0、负实数，对带有根号的数进行化简时，其结果的被开方数中为能含分母和开得尽方的因式。进行实数的四则运算时，有理数法则和运算律对实数同样适用。第三章 图形的平移与旋转第一节 生活中和平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移说明：平移不改变图形的形状大小，平移是移动的方向和距离所决定的2，平移的性质经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等注意：，在平移过程中，对应线段可能在一条直线上，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在同一条直线上规律方法：1、平移运动后，平面图形的相关几何元素全部保持对应相等（包括对应线段、对应角、对应高线、对应图形的面积、对应图形的形状等等）2、 平移的基本图形有第二节 简单的平移作图平移作图：1、 平移作图的分类（1） 已知原图和一对应点，求作平移的图形（2） 已知原图和一对对应边，求作平移后的图形（3） 已知原图和平移的方向，平移距离，求作平移后的图形2、 平移作图的步骤方法（1） 分析题目的要求，找出平移的方向和平移的距离（2） 分析所作的图形，找出构成图形的关健点（3） 沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点（4） 连接所作的各个关健点，并标上相应的字母（5） 写出结论（方格纸作图可以略写结论）规律方法：1、 确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，关健条件是平移的方向和平移的距离。2、 画出简单的图形的平移图形，关健是先确定一些关健点的平移后的位置，再按原来的方式连接相应各点便可得到所求图形3、 在一个通过平移得到的复合图案中，探索图案之间的平移关系，首先要确定“基本图案”，再研究其他图案是由“基本图案”通过怎样的平移得到的，“基本图案”可以是一个图形，也可以是由几个图形组成的一个组合图形4、 利用平移，可以将一个简单的图形的一部分平移到图形的对称位置，形成一个新的图形，以这新图形为“基本图案”，通过连续平移便可设计出一个图案。第三节 生活中的旋转1、旋转的概念在平面内，将一个图绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样有图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。2、旋转的性质（1） 旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形有大小、形状都不改变（2） 旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。（3） 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。规律方法：1、 把握旋转定义应与生活实际相联系，例如：钟表的指针的旋转，方向盘的转动，汽车轮胎的旋转，风车的旋转等等。2、 理解旋转定义可以从三个“一”下手，即“一个定点，一个方向，一个角度，”有利于与平移运动定义联系并与之区分。3、 旋转前后的图形在用几何符号表示时，对应顶点字母应对应摆放，方便寻找对应顶点，对应边，对应角，旋转角。4、 掌握旋转性质，可以充分利用相关工具（刻度尺、量角器）进行测量，从实践当中加深对性质的理解5、 旋转运动前后图形的特点可以类似平移运动，用“全等变换”进行理解6、 对于旋转角，一般通过对顶点到旋转中心连线的夹角予以确定。第四节 简单的旋转作图1、旋转作图的分类（1） 已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形。（2） 已知原图、旋转中心和一对对应线般，求作旋转后的图形。（3） 已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形。2、旋转作图的步骤方法（1） 分析题目要求，找出旋转中心、旋转角。（2） 分析所作图形，找出构成图形的关键点。（3） 沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点。（4） 连接所作的各个关键点，并标上相应字母。（5） 写出结论（方格纸作图可以略写结论）。规律方法1、 作简单平面图形绕定点旋转一定角度后的图案，只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度，然后再按原来的式样连接这些点而成。2、 要确定一个简单平面图形旋转后位置，除需要此平面图形原来的位置外，还需要知道旋转中心和旋转角。第五节 它们是怎样变过来的图形之间变换关系的类型（1） 平移变换；（2） 旋转变换；（3） 轴对称变换；（4） 旋转变换与平移变换的组合；（5） 旋转变换与轴对称变换的组合；（6） 轴对称变换与平移变换的组合。规律方法1、 有些图形可以通过平移、对称。旋转中的某些变换，经过多种方式形成，过程并非惟一。2、 分析各类变换方式都应先找出进行变换的基本图形。3、 并非所有的图形都可以通过一次平移或旋转变换得到。第六节 简单的图案设计1、设计图案所能应用的变换类型（1） 平移变换（2） 旋转变换（3） 轴对称变换（4） 旋转变换与平移变换（5） 旋转变换与对称变换的组合（6） 轴对称变换与平移变换的组合2、图案设计的一般过程（1） 选择基本图形（2） 制定设计思路（3） 遵照平移、旋转或对称的基本操作对基本图形及组合进行变化，便得到相应的图案。规律方法：1、 对生活中的图案，运用平移、旋转、轴对称的观点分析其形成过程，关键是在图案中找到“基本图案”，并运用平移、旋转、轴对称的组合进行变化，检验是否形成给出图案2、 运用平移、旋转或轴对称进行图案设计首先要选择基本图形，然后制定设计思路，再遵照平移、旋转或轴对称的基本操作及其组合进行变化，便可得到相应的图案。第四章 四边形性质探索第一节平行四边形的性质1、平行四边形的有关概念（1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2） 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线（3） 平行四边形的表示方法：如图411所示的四边形ABCD是平行四边形，记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”，线段BD就是ABCD的一条对角线。2、平行四边形的性质（1） 从边看：平行四边形的对边平行且相等。（2） 从角看：平行四边形的对角线相等，邻角互补。（3） 从对角线看：平行四边形的对角线互相平分。3、平行线之间的距离若两条直线互补平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平分线之间的距离。规律方法：1、平行四边形分割成我们熟悉的三角形，再利用三角形全等的有关知识来研究。2、充分利用平移、旋转的方法来研究平行四边形。3、从平行四边形的边、角、对角线三个方面去认识平行四边形。第二节平行四边形的判别1、 知识点1平行四边形的判别方法（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。规律方法：1、平行四边形的定义（即：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）是判别一个四边形是平行四边形的根本方法。2、利用平行四边形的对角线平行四边形分割成我们熟悉的三角形，再利用三角形全等的有关知识来探究平行四边形。3、从平行四边形的边、角、对角线三个方面去判别平行四边形。第二节菱形1、菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的性质（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。（3）菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都慢对称轴2、菱形的判别方法（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱（3）四条边都相等的四边形是菱形。规律方法：1、利用旋转、平移、对称的思想来研究菱形的有关知识。2、利用菱形两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，再利用直角三角形的有关知识，如勾股定理、两锐角互余等。3、利用同一个菱形两种不同的面积求法，来求要关线段的长度。4、菱形是特殊的平行四边形，只有在平行四边形的前提下，外加对角线互相垂直可一组邻边相等，才能得菱形。第四节矩形、正方形1、 矩形的定义有一个内角的直角的平行四边形叫做矩形2、 矩形的性质（1） 矩形具有平行四边形的一切性质。（2） 矩形的对角线相等。（3） 矩形的四个角是直角。（4） 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。3、 矩形的常用判别方法（1）、由定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）、对角线相等的平行四边形是矩形。（4） 四个角都相等的四边形是矩形。4、 正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形5、 正方形的性质（1）、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2）、正方形是由轴对称图形，有四条对称轴6、 正方形的常用判别方法（1） 有一个内角是直角的菱形是正方形。（2） 邻边相等的矩形是正方形。（3） 对角线相等的菱形是正方形。（4） 对角线互相垂直的矩形是正方形。7、 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间的关系（如图）规律方法：1、从边、角、对角线三个方面去理解，特别是对角线性质的区别。2、矩形、正方形的判别方较多，要注意多角度去理解。3、注意在平行四边形、菱形、矩形、正方形中的特殊三角形的应用，即这两个直角三角形如都可以出现。搞清上述这两个三角形的边、角关系，有助于提高解题速度和准确率。第五节梯形1、梯形的有关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。（2）两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。（3）一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。2、等腰梯形的性质（1） 等腰梯形同一底上的两个内角相等（2） 等腰梯形的对角线相等。3、等腰梯形的判别方法（1） 由定义：两条腰相等的梯形是等腰梯形。（2） 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。（3） 对角线相等的梯形是等腰梯形。规律方法1、解决梯形的问题的基本思路是通过割补、拼接转化成三角形、四边形的问题解决。通常利用平移、旋转、引辅助线来实现转化。2常用的梯形辅助线添加方法：1 探索多边形的内角和与外角和1、多边形的概念在平面内，由若干条不同一条直角上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形2、正多边形的概念在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的内角和、外角和公式（1） n边形的内角和等于（n2）180（2） 多边形的外角和都等于360规律方法：1、在解决有关内角和、外角和的题目中，常常利用外角和360这一定值来推导多边形的内角。2、求多边形的边数，通常利用多边形的内角和定理列方程来解决。1. 中心对称图形1、 中心对称图形的定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、 中心对称图形的基本性质中心对称图形上有每一点对应点所连成的线段都被对称中心平分。规律方法如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，反之，中心对称图形不一定是轴对称图形。第五章 位置的确定第一节 确定位置1、确定位置的两种主要方法（1）纵、横两直线相交，用交点的惟一性确定物体的位置。（2）用方位角和距离确定物体的位置。规律方法：1、 确定平面上物体的位置时，一定是一个物体相对于另一个物体的位置，不能孤立起来考虑。2、 确定平面上物体的位置时，要用两个数据来表示，一个数据不能准确表示位置。第二节 平面直角坐标系1、 平面直角坐标系的概念在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点说明：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限，第三象限和第四象限，如图注意：坐标轴上的点不在任何一个象限内2、 点的坐标在平面直角坐标系内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。说明：已知坐标平面内的一个点，可以确定它的坐标已知点的坐标，在平面直角坐标系中可以描出该点坐标平面内的点与有序实数对一一对应的。规律方法1、 坐标轴上的点，不在任何象限内，其坐标特征是x轴上点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0。2、 各象限内点的坐标的符号特征，如下表第三节 变化的鱼1、图形上的点的横、纵坐标的变化对图形变化的影响横坐标不变，纵坐标都乘以1，图形关于y轴对称；纵坐标不变，横坐标都乘以1，图形关于x轴对称；横、纵坐标均乘以1，图形关于原点对称；横坐标加2，图形沿x轴正方向平移2个单位；横坐标减2，图形沿x轴向下平移2个单位纵坐标加2，图形沿y轴正方向平移2个单位；纵坐标减2，图形不沿y轴向下平移2个单位；横坐标不变，纵坐标都扩大n倍，则图形横向不变，纵向拉长为原来的n倍；横坐标不变，纵坐标都缩小n倍，则图形横向不变，纵向压缩为原来的倍；纵坐标不变，横坐标都扩大n倍，则图形纵向不变，横向拉长为原来的n倍；纵坐标不变，横坐标都缩小n倍，则图形纵向不变，横向压缩为原来的倍；横、纵坐标都扩大n倍，则整个图形横向、纵向均拉长为原来的n倍。图形的形状不变；规律方法：通过直角坐标系观察，探索各种变换与对应点坐标的变化情况时，除了应加强对图形变换的认识外，还应注意将变化前后图形的对应点坐标进行对比分析，更重要的是领会数形结合的思路和真正的涵义。第六章 一次函数第一节函数1、 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y的值，那么我们称y是x的函数，其中x中自变量，y是因变量。规律方法：对于一个实际问题中的两个变量，自身先改变的是自变量，随之而变的是因变量，并且对于每一个自变量的值，都的惟一的因变量与之对应，学习部分内容时我们可以借助分析大量的实际问题来帮忙理解，并可以从相应的图象中直观地感受两个变量之间相互依存的变化关系。有些函数是可以用关系式表示自变量和因变量之间的关系的，而有些函数是不能写出关系式的，这就需要我们采用其他的方式进行表达图象和图表，有了这三种表达函数的方法我们就可以解决不同情境下的问题了。第二节 一次函数1、 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x 、y间的关系式可以表示成ykx6(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y是因变量），特别地，当b0时，称y是x的正比例函数2、 写出函数关系表达式规律方法：1、 形如ykxb(k0)的函数是一次函数，特别地当b=0时，函数ykx（k0）是正比例函数。2、 根据条件写出函数关系式要与列代数式等相联系。第三节 一次函数的图象1、 函数的图象把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。2、 一次函数的图象一次函数ykxb的图象是一条直线，一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb；正比例函数ykx有图象是经过原点（0,0）的一条直线。作一次函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线。3、 一次函数的性质在一次函数ykxb中，当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小。规律方法：1、 作一次函数ykxb图象，通常选取（0，b）和（，0）两点；作正比例函数ykx的图象通常选取（1，k）2、 一次函数的性质：k0时，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升；k0时，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。3、 一次函数图象间的位置关系取决于函数中k 、b的取值，k确定直线的方向，b确定直线与y的交点。第四节 确定一次函数表达式1、确定一次函数的表达式规律方法：根据条件确定一次函数的表达式需两个条件，确定正比例函数的表达式，则中需一个条件。运用的方法是特定系数法。第五节 一次函数图象的应用1、 一次函数图象的应用根据己知的一次函数获取信息，并利用函数的图象解决实际问题。规律方法：利用一次函数的图象解决实际问题时，要注意通过函数图象获取信息。发展形象思维，通过函数图象的应用，发展数学应用能力，并从中体会方程与函数的关系，加强“数”与“形”的结合，建立良好的知识联系。第七章 二元一次方程组第一节 谁的包裹多1、二元一次方程的有关概念（1）二元一次方程的定义含有两个末知数，且所含末知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程。例：2x3y1，xy20 ,都是二元一次方程。（2）二元一次方程的解
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