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集合与函数基本性质知识点分析一、集合一）集合的有关概念1. 关于集合的元素的特征（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性：2. 元素与集合的关系；属于aA，不属于aA二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。三）集合的基本关系：1、集合与集合之间的“包含”关系；2、集合与集合之间的 “相等”关系；，则中的元素是一样的，因此即3、真子集的概念4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。5、结论：1）、，且，则2）、点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）一般地，含n(n0)个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集的个数为四）集合的基本运算：1. 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集记作：AB；AB=x|xA，或xB ABABAVenn图表示：2. 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB；AB=x|A，且xB交集的Venn图表示3. 补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA；CUA=x|xU且xA 说明：补集的概念必须要有全集的限制补集的Venn图表示4. 集合基本运算的一些结论：交集：ABA， ABB， AA=A， A=, AB=BA并集：AAB， BAB， AA=A， A=A, AB=BA补集（CUA）A=U， （CUA）A= 若AB=A，则AB，反之也成立 若AB=B，则AB，反之也成立若x（AB），则xA且xB 若x（AB），则xA，或xB6摩根反演律：（AB）C = （AC）（AC）（AB）C = （AC）（AC）二、函数相关概念和性质：1、 函数概念、解析式、分段函数、复合函数概念：1）映射2)函数3）函数的表示 列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法4）分段函数 （1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数 （2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集5）复合函数:若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数，叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是的值域。2、 函数定义域：（1） 确定函数定义域的原则（四条）（2） 复合函数定义域的求法：若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域。若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域3、函数值域求解方法：一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。二、配方法（二次函数法）：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。八、利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。十、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。4、反函数：1）反函数的定义：2）原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：，但.函数的反函数是，而不是.4、函数的单调性：1）定义；特征：增（减）函数的y值，随自变量x值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的2）若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3）判断证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.4）复合函数单调性的判断增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.5、函数奇偶性：1、定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。2、函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）是偶函数，是奇函数；（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。注：任何函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和，即： 6、周期性（1）定义：如果存在使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)的非零常数T，则称f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为。7、最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值； 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；二、函数的分类三、基本初等函数
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