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六年级分班考试A班第二讲 数论综合相关知识点：谈到数论,顾名思义是和数有关的理论,具体的说是和整数有关的理论,内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，其重要性是不言而喻的。这一次我们将介绍有关的内容，下面我们先来看一看有哪些重要的预备知识和基本性质是我们必须掌握的。1）已知b|c,a|c,则a,b|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的。该式称为n的质因子分解式。4）约数个数及约数和的求法：设自然数n的质因子分解式如上式那么n的约数个数为。5)用a,b表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=a,b(a,b)。6）自然数是否能被3，4，5，7, 9，11，13等数整除的判别方法。7）十进制自然数表示法。8）若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。例题讲解：例1. 已知能被792整除，确定其中未知数的值。例2.解:由题目可以知道:这个数加上1以后可以被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除,所以这个数加上1以后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数,也就是2520的倍数,所以这个数有3种可能:252011=2519,252021=5039,25203-1=7559。例3.【解】：（1）2004=223167符合要求的约数是167 (2)2940=223577，还缺少35=15。(3)(2+1)(1+1)(2+1)=18(个)例4.【解】：甲，乙手中卡片上的数之和必是3的倍数。六张卡片上的数分别除以3，依次余2，1，0，0，1，1，因此只有后5个数的和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193。例5.【解】：设这三个连续的两位数是x-1,x,x+1他们的和是3x，3x是23的倍数且仍然是两位数，所以x=23因此这三个自然数分别是22，23，24例6.【解】：2005=5401 684=22171 375=3555前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此里最小是4。例7. 边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形有多少个？例8. 写出10个连续自然数，其中每一个都是合数。例9.解：1001=71113设这10个非0自然数的最大公约数为d，这十个数分别表示为：，依题意有，由上式知，d为1001的约数，因，所以，即d最大为91。例10.解：连续7个整数之和必为7的倍数，而连续8个整数之和为4的倍数，连续9个整数之和为9的倍数，所以此数最小为7，4，9=252。易验证252=33+34+35+36+37+38+39=24+25+26+27+28+29+30+31+32=28+29+30+31+32+33+34+35。例11. 已知两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。例12.解：若P不是3的倍数，则除以3余1，此时8+1为3的倍数，因其大于3，所以必为合数，因此P必是3的倍数，又因其为质数，因此只能为3。注：完全平方数除以3的余数只能为1或0。例13. 11+22+33+20092009的个位数字是多少？例14. 求除以13的余数例15.【解】：这个自然数是300-243=57的约数,又是243-205=38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的最大公约数是19,所以这个自然数是19。例16.【解】：1）不可以。采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所有杯子杯口全部向下，下面计算所有杯子被翻动的次数之和：一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有被子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动六个杯子，因此总次数一定是六的倍数，那么就一定是偶数。由于奇数不可能等于偶数，所我们的假设错误。故：不可能经过若干次翻动使得所有杯下子杯口全部向下。2）可以。最少需要6次，具体方法如下：我们把杯子依次编号为1，2，3，4，5，6第1次翻动除了1号外的杯子，第2次翻动除了2号外的杯子，第3次翻动除了3号外的杯子，第4次翻动除了4号外的杯子，第5次翻动除了5号外的杯子，第6次翻动除了6号外的杯子。那么每个杯子都被翻动了5次，都变成了开口向下，满足题意。例17.解：自己可以先举几个例子，如果按顺序排一下，（1）（2，3）（4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，13，14，15）发现，下一篇文章的起始页为“前一篇文章的起始页”+“这篇文章的页数”因此有，文章页数为偶数的，下一篇文章的起始页的奇偶性与这篇文章起始页的奇偶性一致。文章页数为奇数的，下一篇文章的起始页的奇偶性与这篇文章起始页的奇偶性相反。由此，我们可以设计出：若使奇数号码起头的篇数多，则把15篇有偶数页的短文开头一页都排在奇数页，如（1，2）（3，4，5，6）（7，8，9，10，11，12）这样这15篇文章都是以奇数页打头，另15篇文章，起头页的奇偶性奇偶相间，共有152+1=8（篇），因此，奇数页打头的最多有15+8=23（篇）。易知，奇数页起头的最少8篇，即15篇偶数页的短文都以偶数起头。例18.解：每摸一次，少一粒，摸了3997次后，还剩（1999+2000）-3997=2（粒），再注意到，“若摸出的两粒颜色相同，则从乙袋摸一粒放到甲袋”这种操作不影响白子的奇偶性。“若摸出的两粒颜色不同，则将其中的白子放回甲袋”白子数量并没有减少。由此知，白子数始终是奇数个，因最后剩下了两粒子，所以白子必是1个，因此，最后剩下的两粒子是一黑一白。例19.【解】：23=3+3+3+3+3+3+3+2尽量分成3，如果分完了3最后余下的是1则把31换成22总结：将任意一个数分解，使得这些自然数的乘积达到最大都是分解成若干个3，余2则2；余1则最后一个31换成22。例20.解：设，由题意得，将左式化简得，即。答：这个六位数是571428。例21. 分析 容易发现题目中所给的数均被4除余3，而一个完全平方数要么是4的倍数，要么被4除余1因此上述数中没有完全平方数 详解 这些数都是奇数，所以我们不妨看一下奇数的平方： (2n+1) =4n+4n+1，所以奇数的平方除以4是余1的 即这些数都不可能是完全平方数 评注 我们经常需要用到一个数除以4或者除以8的余数来判断这个数是不是完全平方数例22.解:注意到以下两个式子: 1=和= 我们就可以得到以下的式子: =1, =1,=1, =1课后作业：1.解：由于要求各位数字互不相同，所以它的前4位应为1023，10230013=78693所以102310是13的倍数，但它有重复数字，我们继续往下找：102323，102336，102349，到这里我们找到了102349，它的各位数字互不相同，且是13的倍数，因此所求最小的六位数是102349；也可考虑未三位与前三位的差。2.解：这个两位奇数能被1477-49=1428整除，且必须大于49,1428=223717,所以这样的两位奇数只有51。3.解：745-551=194，1133-745=388，1327-1133=194（194，388）=194答：这个数最大为194。4.解：1995=35719,设有x个班级，那么总人数是14x+35,又因为每班人数在30和45之间，所以总人数在455和665之间所以平均每人捐款3元。，5.解：首先个位数不是4就是9，又因为它是百位的3倍所以一定是9，那么百位就是3,又因为它被11除余3，因此十位是96.解：设这样的两位数为，由题意得将上式化简为：，因此符合条件的数有12，23，34，45，56，67，78，89，7.解：观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,143能同时被11和13整除，所以这个数是143-3=140。8.解：所以除以7的余数3264513由上表知，循环周期为6，896=145，因此答：余数是5。9.解：因6=23，因此有6个约数的数，分解质因数的形式为或。若为形式，符合条件的数有；若为，则有 共计8个。10.解：把4875分解质因数，则4875355513。两个数和为64，则不会太大。只有253964。则两数的差为392514。