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孟津一高2015-2016学年上期期末考试高一数学（理）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)已知集合，则 （ ） 2设为一条直线, 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若 BC若 D若3两直线和互相垂直，则（ ）A B C或 D或4已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是 （ ）A B C D5如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 6若圆的方程为，直线的方程为，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）A BC D7已知在1，2上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A（0，1） B C D（1，+）8如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（ ）A与是异面直线 B平面C与为异面直线，且 D平面 9若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为 （ ）A B C D10长方体中，则异面直线所成角的余弦值为 （ ）A B C D11设点，在圆:上存在点，使得，则的取值范围是 （ ）A B C D 12.已知偶函数的定义域为，=，则函数的零点个数为 ( )A6 B8 C10 D12二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)13.直线与直线平行，则的值为_.14.已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围是_.15.若四面体中，,则该四面体的外接球的表面积为_.16.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑.已知函数，其中表示不大于的最大整数，当时，函数的值域为集合，则集合上的含有4个元素的拓扑的个数为_.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(2)求三棱锥DPBC的体积18.（本小题满分12分）已知圆C:，直线，点P在直线上，过点P作圆C的切线PA,PB，切点分别为A,B.(1)若APB=60，求点P的坐标；(2)求证：经过点A,P,C三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标19.（本小题满分12分） “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年(1)当0x20时，求v关于x的函数表达式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：AE平面PCD；(2)求二面角APDC的正弦值21.（本小题满分12分）已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积22.（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，且，若，时有成立.（1）判断在 上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.孟津一高2015-2016学年上学期期末考试高一数学（理）参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案BDCACBBCBAAD二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)13. 14. 15. 16. 9三、解答题(本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (1)证明如图，取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是 PA的中点，MNAB，MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC. .5分(2)解VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8. .10分18. 解：（1）由条件可得，设，则，解得或，所以点或点.5分 （2）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为：， .7分 整理得 即.9分由得或，该圆必经过定点和 .12分19. 解(1)由题意得当0x4时，v2； .1分当4x20时，设vaxb，由已知得解得 所以vx， .5分 故函数v .6分(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428； .8分当4x20时，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当0x20时，f(x)的最大值为12.5. .10分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米 .12分20. (1)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD. .5分(2)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(1)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角 .7分由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为. .12分21. 解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，CMAB CMPM故点M在以PC为直径的圆上即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22. .6分(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|， 故M在圆O：上.由可得: 即l的方程为. .9分又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为. .12分22.解：（1）在 上为增函数，证明如下：设任意，且，在中令，可得， 又是奇函数，得，即故在上为增函数4分（2）在上为增函数，不等式，即解得，即为原不等式的解集；8分（3）由（1），得在 上为增函数，且最大值为，因此，若对所有的恒成立，对所有的恒成立,设对所有的恒成立10分若则对恒成立若若对所有的恒成立必须且，或综上：的取值范围是或 12分
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