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1. 观察某地区未来3天的天气情况，记表示“有天不下雨”，用事件运算的关系式表示：“三天均下雨” “三天中至少有一天不下雨”。 正确答案：2. 一根长为 的棍子在任意两点折断，则得到的三段能围成三角形的概率为。 正确答案：3.两事件与相互独立，且满足，则 。 正确答案：答案讲解：试题出处：4. 已知随机变量的概率分布为，则 ， 。 正确答案：1，答案讲解：试题出处：5. 设随机变量X服从区间0，5上的均匀分布，对随机变量X的取值进行了三次独立观察，则至少有两次观察值不超过2的概率为 。 正确答案：0.352答案讲解：试题出处：6. 随机变量，则由切比雪夫不等式有 。 正确答案：答案讲解：试题出处：7. 已知随机变量X和Y的协方差矩阵为，则 =。 正确答案：， 2答案讲解：试题出处：8. 设总体X服从正态分布，其中未知，现取得样本容量为64的一个样本，则的0.95的置信区间的长度为 。 正确答案：0.98答案讲解：试题出处：9. 设总体X服从正态分布，是总体的样本，则 ， 正确答案：， 答案讲解：试题出处：10. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为 。 正确答案：二、选择题（每题2分，共10分）1.设A，B为两随机事件，且，则( )。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D窗体底端2.已知随机变量X的概率密度函数(0,A为常数)，则概率（0）的值（）。窗体顶端正确答案 A. 与无关，随的增大而增大B. 与无关，随的增大而减小C. 与无关，随的增大而增大D. 与无关，随的增大而减小 正确答案：C窗体底端3.若，那么的联合分布为（）。 窗体顶端正确答案 A.二维正态分布，且B.二维正态分布，且不定C.未必是二维正态分布D.以上都不对 正确答案：C窗体底端4.总体均值的95%置信区间的意义是 ( )。 窗体顶端正确答案 A. 这个区间以95%的概率含样本均值B. 这个区间以95%的概率含的真值C. 这个区间平均含总体95%的值D. 这个区间平均含样本95%的值 正确答案：B窗体底端5. 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是 ( )。 窗体顶端正确答案 A. 必须接受B. 可能接受，也可能拒绝C. 必拒绝D.不接受，也不拒绝 正确答案：A窗体底端三、判断题（每题2分，共10分)1.若则A与B互不相容。( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端2.设，则F(x)为连续型随机变量的分布函数。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端3. 是总体的样本，且则 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端4.若X与Y相互独立，则X与Y不相关；反之亦成立。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端5.在假设检验中，记为备择假设，则称“不真时，接受”为犯第一类错误。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端四、计算题（每题10分，共30分）1每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的。开箱检验时, 依次从中抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品。试计算:（1）一箱产品通过验收的概率；（2）已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率。正确答案：解：设=“每箱产品中含有件次品” B=“一箱产品通过验收” 则 ， 且 （1）由全概率公式得 （2） 答案讲解：试题出处： 2独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以表示三次中出现正面的次数，表示三次中正、反两面次数差的绝对值。求 （1）和的联合概率分布和边缘概率分布；（2）.正确答案：解： （1） 的联合概率分布为 即 （2）由联合概率分布可求得和的边缘概率分布为 所以可求得 答案讲解：试题出处： 3设随机向量的密度函数求（1）参数的值;（2）X和Y的边缘密度函数，并判断X和Y的独立性；（3），其中区域D是直角坐标平面上以点(0,0)，(3,0)，(0,2)为顶点构成的三角形区域。正确答案：解：（1）由 （2） X与Y相互独立 （3） 答案讲解：试题出处： 五、综合应用题（每题10分，共20分）1某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元。若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元。 假设老年人死亡率为0.017, 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率。正确答案：解：设X表示一年内死亡的老年人数，则，由拉普拉斯中心极限定理知，X近似服从正态分布 由题意即求 答案讲解：试题出处： 2设总体，为来自总体X的样本，为样本值，试求的最大似然估计，并验证其最大似然估计量是的无偏估计量。正确答案：解： 解得：最大似然估计值为 最大似然估计量为 答案讲解：试题出处： 六、分析题（10分）1一自动车床加工零件的长度服从正态分布，车床正常工作时，加工零件长度的均值为10.50厘米。经过一段时间后，要检验这机床是否工作正常，为此随机抽取了该车床加工的31个零件，测得其平均长度为11.08厘米，标准差为0.516厘米。若加工零件长度的方差不变，问在显著性水平下，此车床是否工作正常？（附表： ）正确答案：解： 设X表示加工零件的长度，则 选用枢轴量 在成立时， 对于， 由，得拒绝域 对于 故应拒绝，即认为该车床工作不正常。一、填空题（每题2分，共20分）1. 观察某地区未来3天的天气情况，记表示“有天不下雨”，用事件运算的关系式表示：“三天均不下雨” “三天中至多两天不下雨” 。 正确答案：，答案讲解：试题出处：2. 一箱产品中有10个正品和4个次品，随意地每次从中取出一个（不放回），则第三次取到次品的概率是 。 正确答案：答案讲解：试题出处：3.两事件与相互独立，且满足，则 。 正确答案：0.4答案讲解：试题出处：4. 设随机变量X的分布函数为，则A= ，B=。 正确答案：，答案讲解：试题出处：5. 某元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为1000小时，则3个这样的元件同时使用1000小时后至少损坏两个的概率为 。 正确答案：(或 0.6936)答案讲解：试题出处：6. 随机变量，则由切比雪夫不等式有 。 正确答案：答案讲解：试题出处：7. 已知随机变量X和Y的协方差矩阵为，则 = 。 正确答案：， 10答案讲解：试题出处：8. 设总体X服从正态分布，其中未知，现取得样本容量为36的一个样本，则的0.95的置信区间的长度为 。 正确答案：1.96答案讲解：试题出处：9. 设总体，是来自总体的样本，为样本均值，则 ， 正确答案：答案讲解：试题出处：10. 设随机变量,则Y的概率密度函数为 。 正确答案：答案讲解：试题出处：二、选择题（每题2分，共10分）1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为( )。窗体顶端正确答案 A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲、乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 正确答案：D窗体底端2.设随机变量X的概率密度为则区间(a,b)是（）。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A窗体底端3.设二维随机向量，则下列结论中错误的是（）。 窗体顶端正确答案 A.，B.X与Y相互独立的充分必要条件是C.D. 正确答案：D窗体底端4.设为的无偏估计量，且则必为的( )。 窗体顶端正确答案 A. 无偏估计B. 有偏估计C. 一致估计D. 有效估计 正确答案：B窗体底端5. 设样本取自正态总体，分别为样本均值和样本标准差，则( )。 窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C窗体底端三、判断题（每题2分，共10分)1.概率为1的事件一定是必然事件。( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端2.连续型随机向量（X，Y）的分布函数一定是上的连续函数。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端3. 若X和Y 不相关，则有。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端4.若随机变量，则 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端5.在假设检验中，显著型水平越小，则犯第一类错误的概率就越小。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端四、计算题（每题10分，共30分）1某超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品。某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从余下的8台中任意选购一台，求:（1）该顾客购到正品的概率；（2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少？正确答案：解：设=“售出的2台照相机中含台次品” B=“顾客购到正品” 则 且 （1）由全概率公式得 （2） 答案讲解：试题出处： 2独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以表示前两次中正面出现的次数，表示三次中正面出现的次数。求 （1）和的联合概率分布和边缘概率分布；（2）.正确答案：解：（1）的联合概率分布为 即 和的边缘概率分布为 （2）由联合概率分布边缘概率分布可求得 答案讲解：试题出处： 3设随机向量的密度函数求（1）参数的值;（2）X和Y的边缘密度函数，并判断X和Y的独立性；（3）。正确答案：解：（1）由 （2） X与Y不相互独立 （3）答案讲解：试题出处： 五、综合应用题（每题10分，共20分）1甲、乙两电影院在竞争名观众，假设每位观众随机等可能地选择两影院，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于？正确答案：解：设甲影院应设n个座位才满足要求，且设X表示选择甲影院的观众数。则，由拉普拉斯中心极限定理知，X近似服从正态分布 由题意知： 即 则 从而得 ，取 .故甲影院至少应设537个座位，才能使观众因无座而离去的概率小于1%答案讲解：试题出处： 2一个电子仪器的失效时间T（小时）的概率密度函数为（，）设随机检验了n个电子仪器的失效时间为，样本观测值为.求未知参数的最大似然估计值与最大似然估计量。正确答案：解： ， 解得：最大似然估计值为 ， 最大似然估计量为 ， 答案讲解：试题出处： 六、分析题（10分）1某电器厂生产的一种云母片，由长期生产的数据知道，云母片的厚度服从正态分布，厚度的均值为0.13mm。今在某天生产的云母片中，随机抽取了10片，分别测得其厚度，计算得厚度的平均值为0.146mm，标准差为0.015mm。问该天生产的云母片厚度的均值与往日是否有显著差异？（）（附表： ）正确答案：解： 选用枢轴量 在成立时， 对于， 由得拒绝域 对于 故应拒绝，即该天生产的云母片厚度的均值与往日有显著差异。答案讲解：试题出处： 一、填空题（每题2分，共20分）1. 10件产品中有3件次品，随机从中抽取两件，至少抽到一件次品的概率为 。 正确答案：答案讲解：试题出处：2. 在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 。 正确答案：答案讲解：试题出处：3.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5、0.6、0.8 ，则至少有一人中靶的概率为 。 正确答案：0.96答案讲解：试题出处：4. 设连续型随机变量的概率密度函数为则 。 正确答案：1答案讲解：试题出处：5. 设，且与相互独立，则= 。 正确答案：0.08答案讲解：试题出处：6. 已知随机变量，则= 。 正确答案：137. 设是总体参数的估计量，若 ，则称是总体参数的无偏估计量。 正确答案：8. 设总体，其中未知，则利用同一样本得到的90%与95%的置信区间长度之比为 。 正确答案：41 : 49 (或0.84)答案讲解：试题出处：9. 设总体服从正态分布，是总体的样本，则 。 正确答案：答案讲解：试题出处：10. 非负连续型随机变量服从的分布具有无记忆性特征，则它服从 分布。 正确答案：指数答案讲解：试题出处：二、选择题（每题2分，共10分）1.设为两随机事件，且，, 则必有( )。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A窗体底端2.设分别为连续型随机变量的密度函数和分布函数，则正确的是（）。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D窗体底端3.设为一随机变量，若，则正确的是（）。 窗体顶端正确答案 A.B.C.D. 正确答案：B窗体底端4.设样本取自正态总体，已知，未知，则下列随机变量不是统计量的是 ( )。 窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C窗体底端5. 设样本取自正态总体，分别为样本均值和样本标准差，则正确的是 ( )。 窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D窗体底端三、判断题（每题2分，共10分)1.若随机事件与相互独立，且，则与一定相容。( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端2.若， ，那么一定服从二元正态分布。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端3.总体均值的95%置信区间的意义是指这个区间以95%的概率含的真值 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端4.设随机变量与分别服从参数为2和3的泊松分布，则服从参数为5的泊松分布。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端5.在假设检验中，记为备择假设，则称“不真时，接受” 为犯第二类错误。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端四、计算题（每题10分，共30分）1对有50名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机地点10位同学的名字，如果没有缺席，则评该班级考勤情况为优。假定班上学生的缺席人数从0到2是等可能的，求：（1）该班级考核为优的概率；（2）若已知该班级考核为优，则该班实际上全勤的概率为多少？正确答案：解：设“班级缺席人”，则，记“班级考核为优”则 （1）由全概率公式得（2） 答案讲解：试题出处： 2一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。每次从中任取一件，取后不放回，直到取到正品为止，所需抽取次数记为，求（1）的概率分布；（2）的分布函数；（3）正确答案：解： （1）所需抽取次数的可能取值为1，2，3，4，且其概率分布为 ； ；. 即 （2） 答案讲解：试题出处： 3设随机向量的密度函数求（1）参数的值;（2）和的边缘密度函数，并判断与的独立性；（3）。正确答案：解：（1）由 （2） , X与Y相互独立（3）答案讲解：试题出处： 五、综合应用题（每题10分，共20分）1用同一机器包装味精，每袋味精净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，应用中心极限定理求一箱味精净重大于20500克的概率。正确答案：解：设表示第袋味精的净重，则 独立同分布且 ，由中心极限定理知，近似服从正态分布 则 答案讲解：试题出处： 2总体的概率密度函数为（其中 ）设是取自总体的样本，为样本值。求未知参数的最大似然估计值与最大似然估计量。正确答案：解： ， 解得：最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 答案讲解：试题出处： 六、分析题（10分）1某工厂用自动生产线生产金属丝，假定金属丝的折断力（单位：N）服从正态分布，其平均值为580N时认为合格。某日开工后，抽取9根作折断检测，测得其样本均值为575.76，样本方差为86.02，试问：此自动生产线是否工作正常？（）（附表： ）正确答案：解： 设X表示金属丝的折断力，则，其中未知 选用枢轴量 在成立时， 对于， 由，得拒绝域对于 故应接受，即可认为此自动生产线工作正常。一、填空题（每题2分，共20分）1. 袋中装有7个白球，3个黑球，从中一次任取两个，则取到的球的颜色不同的概率为 。 正确答案：答案讲解：试题出处：2. 在区间中随机地取两个数，则这两个数之和小于的概率为 。 正确答案：答案讲解：试题出处：3.加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出废品是独立的，则经过三道工序生产出的是废品的概率为 。 正确答案：0.316答案讲解：试题出处：4. 设连续型随机变量的概率密度函数为，则 。 正确答案：答案讲解：试题出处：5. 设，且与相互独立，则 。 正确答案：答案讲解：试题出处：6. 已知随机变量，则= 。 正确答案：137. 设和是总体参数的两个无偏估计量，若 ，则称比有效。 正确答案：8. 设总体，其中未知，则利用同一样本得到的90%与95%的置信区间长度之比为正确答案：41 : 499. 设总体服从正态分布，是总体的样本，则 正确答案：答案讲解：试题出处：10. 一个取正整数值的随机变量，如果具有无记忆性，则它一定服从 分布。 正确答案：几何答案讲解：试题出处：二、选择题（每题2分，共10分）1.设为两随机事件，且，, 则必有( )。窗体顶端正确答案 A. 是必然事件 B. C. D. 正确答案：D窗体底端2.设分别为连续型随机变量的密度函数和分布函数，则错误的是（）。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：B窗体底端3.设随机变量和相互独立，且均服从区间 0，3上的均匀分布则（）。 窗体顶端正确答案 A.B.C.D. 正确答案：B窗体底端4.设样本取自正态总体，分别为样本均值和样本标准差，则服从分布的随机变量是( )。窗体顶端正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C窗体底端5. 在假设检验中，记为备择假设，则称 ( )为犯第一类错误。 窗体顶端正确答案 A. 不真时，接受B. 真时，接受C. 真时，拒绝D.不真时，拒绝 正确答案：A窗体底端三、判断题（每题2分，共10分)1.设样本空间，随机事件，则。( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端2.若， ，且与相互独立，那么一定服从二元正态分布。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端3.连续型随机向量的概率密度函数一定是上的连续函数 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端4.若与相互独立，则X与Y 一定不相关。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：A窗体底端5.如果是的无偏估计量，是 的函数，则一定是的无偏估计量。 ( ) 窗体顶端正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端四、计算题（每题10分，共30分）110个乒乓球中有6个新球,4个旧球,第一次随机地抽出2个球,用毕放回,第二次又任意取出2个球。试求：（1）第二次取到2个新球的概率有多大?（2）若发现第二次取到的是2个新球,计算第一次没有取到新球的概率.正确答案：解：设则 （1）由全概率公式得 （2）答案讲解：试题出处： 2假设袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球。今从中任取3个，用表示取出的3个球中的最大号码。求（1）的概率分布；（2）的分布函数；（3）正确答案：解：（1）的可能取值为3，4，5，且其概率分布为； ； . 即 （2） .4答案讲解：试题出处： 3设随机向量的密度函数求（1）参数的值;（2）和的边缘密度函数，并判断与的独立性；（3）。正确答案：解：（1）由 （2） 相互独立。（3）答案讲解：试题出处： 五、综合应用题（每题10分，共20分）1用同一机器包装食盐，每袋食盐净重为随机变量，期望值为500克，标准差为10克，一箱内装100袋食盐，应用中心极限定理求一箱食盐净重大于50250克的概率。正确答案：解：设表示第袋食盐的净重，则 相互独立同分布，且 ，由中心极限定理知 则 答案讲解：试题出处： 2总体的概率密度函数为( 其中)设是取自总体的样本，为样本值。求未知参数的最大似然估计值与最大似然估计量。正确答案：解： ， 解得：最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 答案讲解：试题出处： 六、分析题（10分）1市质检局接到投诉后，对某金商进行质量调查。现从其出售的标志18K的项链中抽取9件项链，对其含金量进行检测，测得样本均值为17.5，样本标准差为0.7416。假定项链的含金量（单位：K）服从正态分布，其平均含金量为18K时认为合格。试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（）（附表： ）正确答案：解： 选用枢轴量 在成立时， 对于， 由得拒绝域 对于 故应接受，即可认为金商出售的项链不存在质量问题答案讲解：试题出处：
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