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第六讲 曲线与方程教学目标：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系1、 知识回顾 课前热身知识点1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题知识点2求曲线方程的基本步骤知识点3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题例题辨析 推陈出新例1已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状自主解答(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPMkPN，整理得x21(0，x1)即动点P的轨迹C的方程为x21(0，x1)(2)当0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(1,0)，(1,0)；当|AF|2，所以动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆设该椭圆的方程为1(ab0)，则2a4,2c2，即a2，c1，故b2a2c23.所以动点P的轨迹E的方程为1.(2)x22axy2a21即(xa)2y21，则曲线Q是圆心为(a,0)，半径为1的圆而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(，0)，(，0)若曲线Q被轨迹E包围着，则1a1，故a的最小值为1.变式练习2已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支又c7，a1，b248，故点F的轨迹方程为y21(y1)3点P(3,0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程解：已知圆为(x3)2y264，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC|8r.从而有|MC|8|MP|，即|MC|MP|8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此M点的轨迹方程为1. 例3(2012辽宁高考)如图所示，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等证明：tt为定值自主解答(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)，由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；(2)当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)(0，)，对应的曲线为C2.设F1，F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得F1NF2的面积S|m|a2.若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由解(1)设动点为M，其坐标为(x，y)，当xa时，由条件可得kMA1kMA2m，即mx2y2ma2(xa)又A1(a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2y2ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2y2ma2.当m1时，曲线C的方程为1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m1时，曲线C的方程为x2y2a2，C是圆心在原点的圆；当1 m0时，曲线C的方程为1，C是焦点在x轴上的双曲线(2)由(1)知，当m1时，C1的方程为x2y2a2；当m(1,0)(0，)时，C2的两个焦点分别为F1(a，0)，F2(a，0)对于给定的m(1,0)(0，)，C1上存在点N(x0，y0)(y00)使得F1NF2的面积S|m|a2的充要条件是由得0|y0|a，由得|y0|.当0a，即m0或0a，即1m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标解：设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为点A在单位圆上运动，所以xy1.将式代入式即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)因为m(0,1)(1，)，所以当0m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0, )5、 课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1方程(xy)2(xy1)20的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点 D以上答案都不对解析：选C(xy)2(xy1)20故或2已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|2，则P点的轨迹方程是()A4x24y24x8y10B4x24y24x8y10C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：选A设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，(2x1,2y2)所以(2x1)2(2y2)24，整理得4x24y24x8y10.3下列各点在方程x2xy2y10表示的曲线上的是()A(0,0) B(1,1)C(1，1) D(1，2)解析：选D验证法，点(0,0)显然不满足方程x2xy2y10，当x1时，方程变为1y2y10，解得y2，则(1，2)点在曲线上4(2013长春模拟)设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选DM为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.5已知A，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为()Ay28x By28xCy28(x2) Dy28(x2)解析：选B，则得2x0，即y28x.6(2013洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2013佛山模拟)在ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_解析：由正弦定理：，即|AB|AC|BC|，且为双曲线右支答案：1(x0且y0)8直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程_解析：设直线1与x，y轴交点为A(a,0)，B(0，2a)，A，B中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1，a0，a2，x0，x1.答案：xy1(x0，x1)9设过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是_解析：F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1x22x，y1y22y，y4x1，y4x2，后两式相减并将前两式代入得(y1y2)y2(x1x2)，当x1x2时，y2.又A、B、M、F四点共线，代入得y22(x1)，当x1x2时，M(1,0)也适合这个方程，即y22(x1)是所求的轨迹方程答案：y22(x1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10过双曲线x2y21上一点M作直线xy2的垂线，垂足为N，求线段MN的中点P的轨迹方程解：设动点P的坐标为(x，y)点M的坐标为(x0，y0)，则N(2xx0,2yy0)由N在直线xy2上，得2xx02yy02.由PM垂直于直线xy2，得1，即xyx0y00.由得x0xy1，y0xy1，代入双曲线方程得221，整理得2x22y22x2y10.即点P的轨迹方程2x22y22x2y10.11已知动圆P过点F且与直线y相切(1)求圆心P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于N，M为线段AB的中点，求证：MNx轴解：(1)由已知，点P到点F的距离等于到直线y的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C为抛物线，其方程为x2y.(2)证明：设A(x1，x)，B(x2，x)yx2，y2x.AN，BN的斜率分别为2x1,2x2.故AN的方程为yx2x1(xx1)，BN的方程为yx2x2(xx2)，即两式相减，得xN，又xM，所以M，N的横坐标相等，于是MNx轴12(2012湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明：当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
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