高中数学学习技巧.doc

高中数学高中数学如何做好高中数学笔记高中数学我们应该重点记一下内容 1 记疑难问题 将课堂上未 学习过程中不可避免地会犯这样或那样的错误，“聪明人不犯或少犯相同的错误”，记下自己所犯的错误，并用红笔醒目地加以标注，以警示自己，同时也应注明错误成因，正确思路及方法，在反思中成熟，在反思中提高。 课程简介高中数学新课程学习方法指导完整、深入地介绍了同学们在高中阶段学习数学应该掌握的学习方法。新课程学习方法指导采取通过具体实例解读学习方法，并从中提出相应的学习能力要求。所举实例源自重点知识及难点知识，即围绕突出重点知识，突破难点知识，探求学习方法，提高学习效率。 新课程学习方法指导是根据同学们在学习中容易出现的问题，介绍较为实用的学习方法。所介绍的学习方法紧密结合思维方式的提高、创新意识的培养，并给出了专题归纳总结、题组训练等方法，以启发同学们探索新的学习方法。 希望同学们在学完新课程学习方法指导后，能够总结出一套适合自己的学习方法，不断提高数学学习水平，提高数学素质。第一讲 准确把握集合与逻辑用语中的概念 1. 重视集合元素的互异性在解题中的作用 例1 设集合 A=1， 3， a， B=1， a2-a+1，求 AUB.解： (1)如果 a2-a+1=3，则 a=-1或 a=2.由集合元素的互异性知解： (1)A时， A R+=表示方程 x2+(p+2)x+1=0有实数解，且为非正实数 .根据判别式和韦达定理，得到 =(p+2)2-4 0， p+2 0. p 0.(2)A= 时，显然 A R= ，它表示方程没有实数解 . =(p+2)2-40. -4p-4，应选 D. 例 4 设集合 A=x x2-3x+2=O，集合 B=x x2-ax+2=0，若 A B=A，求实数 a的值所组成的集合 .解：易知 A=1， 2，由 A B=A，有 B A.(1)若 B=A，显然 a=3.(2)若 B A，则分两种情况讨论 . B中只含一个元素 1或 2.由 =a2-8=0，得 a= 2 ；当 a= 2 时， x= 或 x=- .但 B= 或 B=- 都不符合 B A，应该舍去 . B= ，此时方程 x2-x+2=0没有实数根，由 =a2-80，得 -2 a2 .综上知，若 A B=A，则由 a值组成的集合是： a -2 a2 a a=33. 在研究两个集合的关系时，“集合相等”至关重要 M与 CIN表示成： (P M) CIN5. 注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念 例 9 分别写出下列简单命题 p的复合命题：(1)命题 p：方程 2x-1=3-2x的解是 x=2(2)命题 p：不等式 x-2O的解集是 xO(3)命题 p： 是无理数(4)命题 p：三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角(5)命题 p：菱形的对角线相等解： (1) p：方程 2x-1=3-2x的解不是 x=1；(2) p：不等式的 x-20，bO；q：a2+b2O；(2)p： ab；q：ab；(3)p： Ox4；q：x-20， b0 q:a2+b2O， p是 q的充分不必要条件 .(2)p： ab q: a b， p既不是 q的充分条件，也不是必要条件 .3.同时以指数函数和对数函数为背景例 1 已知函数 y=f(x)，则它的反函数的图象关于 y轴对称的函数为 _.解：取 y=f(x)=2x，它存在反函数 f-1(x)=log2x，它关于 y轴对称的函数为 f-1(-x)=log2(-x)如图所示： 所求函数为： y=f-1(-x). 例 2 已知函数 y=f(x)存在反函数 y=g(x)，若 f(3)=1，则函数 y=g(x-1)的图象在下列各点中必经过 ( ).A.(-2， 3) B.(0， 3)C.(2， -1) D.(4， -1)解：取 y=f(x)=log ，满足 f(3)=-1，且存在反函数 y=g(x)=( )x，则 g(x-1)=( )x-1经检验知，只有点 (0， 3)在它的图象上 . 应选 B. 例 3 设函数 f(x)与 g(x)互为反函数，且对任意实数 x， y有 f(x)+f(y)=f(xy)，求证 g(x+y)=g(x)g(y)证明： f(x)， g(x)互为反函数， gf(x)=fg(x)=x. 对 x， y R，有 xy=gf(xy)=gf(x)+f(y).设 x=g(t1)， y=g(t2)，则g(t1) g(t2)=gfg(t1)+fg(t2)=g(t1+t2)，因此 g(x+y)=g(x) g(y).评注：学习具体函数时，应把它们升华成抽象函数 .研究抽象函数时，还应该找到它们的背景函数，把二者有机地结合起来，就可以更好地掌握和运用函数的有关知识 .这是我们学习函数时，应该掌握的一个学习方法 .第三讲 “数列”基本内容浅析1.以特殊数列为背景快速求解客观题例 1 已知等差数列 an的公差 d 0，a1，a3，a9成等比数列，则 的值是 _.解：只要满足 a 1， a 3， a 9成等比数列，则 a n取哪个具体的公差 d 0的等差数列，与所求的代数式的值无关 . 可选取最简单的等差数列 a n=n(n N +)，显然它满足a 1， a 3， a 9成等比数列 . = = .例 2 在等差数列 a n中， a 12+a 17+a 19+a 24=80，求 S 35.解法 1： a n=a 1+(n-1)d， a 12+a 17+a 19+a 24=80， (a 1+11d)+(a 1+16d)+(a 1+18d)+(a 1+23d)=80，即 2a 1 +34d=40， S 35= = = =700.解法 2： a 12+a 17+a 19+a 24=80， (a 12+a 24)+(a 17+a 19)=80.因此 a 12+a 24=a 17+a 19=a 1+a 35， 2(a 1+a 35)=80， a 1+a 35=40. S 35= = =700.例 3 在等差数列 a n中， S 10=60， S 60=10，求 S 70.解法 1：利用等差数列前 n项和公式，列出 a 1和 d的方程组 即 解方程组 a 1= ， d=- . S 70=70 + (- )=-70.解法 2：由等差数列性质知S 10,S 20-S 10， S 30-S 20， S 40-S 30， S 50-S 40， S 60-S 50，S 70-S 60，也成等差数列，并将它们记为m 1， m 2， m 3， m 4， m 5， m 6， m 7，其中m 1=60，m 2+m 3+m 4+m 5+m 6=10-60=-50， 5m 4=-50，即 m 4=-10.又m 1， m 4， m 7也成等差数列，m 1+m 7= 2m 4，即 m 7+60=-20， m 7=-80， S 70=S 60+(S 70-S 60)=10-80=-70.评注：在等差数列 a n中， S m， S 2m， S 3m分别表示前 m项、前 2m项、前 3m项的和，则 S m， S 2m-S m， S 3m-S 2m也成等差数列 .这个性质具有广泛的应用 . 把它换成 a 和 d 的关系 整理得： 解这个方程组，得 a n=1或 a n=4- (n-1)= - n.经检验知 a n=1时， S 5=5 0， a n - n时，S 5=-4 0,均适合题意 . .它的结构特征是不均衡分布，即展开式中余弦集中在第一项，正弦集中在第二项，两项之间的符号也和我们正常思维不一致，从整体上看它是“同名积的差” .余弦集中在第一项，与等号左边的三角函数名称相同，而角的顺序是不改变的 .令 -代替，则得到两角差的正弦和余弦公式：sin( - )=sin cos -cos sir (互余积的差 )；cos( - )=cos cos +sin sin (同名积的和 ).由于两角和与差余弦的符号的特殊性，所以容易发生错误，这一点应十分注意 .由两角和与差的正余弦公式可以得到两角和与差的正切公式：tan( + )= tan( - )= 两角和的正切的展开式是个分式，这从推导过程知道是显然的，其中分子是 sin( + )的位置，因此它是均衡分布，并且是和 tan +tan；而分母是 cos( + )的位置，因此它是不均衡分布，并且是差“ 1-tan tan” .从两角和的正余弦公式，令 =，就可以得到二倍角公式：sin2 =2sin cos (互余积的 2倍 )；cos2 =cos2 -sin2 (同名积的差 )；tan2 = 有些公式我们还可以利用直角三角形及勾股定理帮助记忆 .如图 (3)，可以帮助我们记忆半角正切公式 tan /2= .例 2 求 tan6 tan42 tan66 tan78的值解：将问题转化为成 18角的三角函数问题tan6 tan42 tan66 tan78= = = = = =1 例 3 求 的值 .解：利用 10 =30 -20减少不同的角原式 = = = . 例 4 已知 a ， 0 ， cos( - )= ,sin( + )= ，求 sin( + ).解：利用 +( + )=( + )-( - )，把求值式中的角，用已知条件中的角的差表示 . cos( - )=3 5， ， sin( - )=- . sin( + )= ， 0 ， cos( + )=- .因此 sin( + )=-cos +( + )=-cos( + )-( - )=-cos( + )cos( - )-sin( + )sin( - )= - (- )= . 第五讲 应用问题的求解训练1. 审题训练 解答应用题的困难在于阅读和理解能力较差，所以必须把审题训练放在重要位置，强化审题意识 .有的应用题文字叙述很长，并且普通语言和数学语言交织在一起；有的应用题文字叙述虽然不长，但数量关系多而复杂，不管哪种情况，都给我们审题设置了重重困难，使我们对问题的背景和情境的认识，停留在表面、肤浅层次上，因此需要我们学会审题 .在审题时，要认真阅读题目所提供的素材，通过阅读题目中的文字叙述，理解题目所反映的实际背景，进而认真分析题意，审清题设中有哪些已知条件，这些条件分别有哪些作用，审还要继续向前滑行一段才能停住，我们称这段距离为“刹车距离” .刹车距离的长短与行驶速度密切相关 .对于同一辆汽车，车速越快刹车距离越长，同时甲、乙两辆汽车刹车距离还分别受关系式的制约，实际证明，刹车距离是分析两车相撞的一个重要因素，即根据现场测得的刹车距离，利用给出的关系式 .通过计算得出哪辆车超过了时速限制，凡超过了时速限制的汽车就是事故主要责任者 .解：由题意列出下列不等式组： 120.1x 甲 +0.01x2甲，100.05x 乙 +0.005x2乙 .即 30x 甲 -5+ 35，40x 乙 -5+ 0，得 0， 0. + 2 =28 .当且仅当 = ，即 X=8 11.3(米 )时，等号成立 .即当 x 11.3米时， y取得最小值，所以保留旧墙 11.3米时最节省 2. 建模训练建立数学模型是解答应用性问题的最关键步骤，它是一项具有创造性的工作，我们应当围绕这个关键步骤进行学习和训练，最常用的数学模型有下面五种：(1)构建方程模型解题意有 5000(1-y) 4=3200.即 (1-y)4= （ 1-y）2 = (1-y)= 或 1-y=- (舍去 ).y=1- 0.106 0.11=11 .(2)构建不等式模型求解例 2 跃进化工厂制定明年某化工产品的生产计划，已有如下数据：(1)生产此产品的工人数不超过 200人；(2)每个工人年工时约计 2100工时；(3)预计此产品明年销售量至少 80000袋：(4)每袋产品需用 4工时解：反映月产量 y与月份 x的函数关系的模拟函数给出两种，一种是y=f(x)=px2+qx+r(p 0)另一种是y=g(x)=a bx+c(a， b， c为常数 )根据题设条件先求模拟函数 f(x)=px2+qx+r. 消去 r,得 解之，得 P=-0.05， q=0.35，将 P=-0.05， q=0.35代入 P+q+r=1，得 r=0.7. f(x)=-0.05xx+0.35x+0.7.再求模拟函数 g(x)=a bx+c. 消去 c,得 解之，得 a=-O.8， b=O.5.将 a=-0.8， b=O.5代入 ab+c=1，得 c=1.4， g(x)=-0.8 (0.5)x+1.4.所谓最好的模拟函数，就是月份与产量的关系反映的越准确越好，因为f(4)=-0.05 42+0.35 4+0.07=1.3(万件 ).g(4)=-0.8.(0.5)4+1.4=1.35(万件 ). 3 =36.当且仅当 x2= ，即 x=20时等号成立 .此时每小时费用的总和为 720.所以航速为 20公里/时时，每公里费用最小，最小值为 36元/公里，此时每小时费用的总和为 720元/时 .(4)构造数列模型解题例 5 某工厂原有基金 a万元，如果该厂经过生产每年资金的增长率为 25，但每年年底都要扣除消费基金 x万元，余下资金再投入生产，为了实现经过 20年达到资金翻两番油毡多少平方米 ?(精确到 0.1米 ) 解：如图，设房顶正四棱锥 P-ABCD， PE是侧面 PBC的高，即正四棱锥的斜高，在 Rt PBE中，PE= = = r 2r ( ) 2= = .当且仅当 r=2r，即 =2时，扇形面积最大，最大面积为 .评注：本题是根据题设条件 2r+ r=l=定值，利用配系法将 r r变形成 r 2r，从 =2(3)平方法平方法不是独立的变形方法，而是为使用配系法和凑项法创造条件和表述方便而采用的一种方法 例 7 如图 (图 2)，现有直径为 d的圆木，要把它锯成横断面是矩形的梁，从材料力学知道横断面是矩形的梁的强度 Q=kbh2(b=AB， h=AD， k是常数 )，若要使强度最大，求 AB与 AD的比 解：设 BAC=，由 AC=d，有b=AB=dcos ,h=AD=dsin .Q=kbh2=kd3cos sin2令 y=cos sin2则 2y2=2cos2 sin4=2cos2 sin2 sin2 ( ) 3= .当且仅当 例 3 设集合 A=x x- 0， B=x lg2ax0，求使 A B=A的实数 a的取值范围分析：本题的解集特征条件是 A B=A，应据此求出实数 a的取值范围解： A=x 0=x 1 时， B=x 0x2，即 a a0，满足 A B=A 0a0，满足 A B=A综上，有 a (0， ). 例 4 不等式 x2+mx+m2+ 6m0恒成立，试求实数 m的取值范围分析：本题通过分离参数法，使用换元法求出最值，从而求出 m的取值范围解： f(x)是定义在 R上的奇函数， -f(-2)=f(2) (sin2x-msinx+m)-f(-2)=f(2)又 f(x)是减函数 sin2x-msinx+m2设 sinx=t，由 x =0， )，知 0 t 1 原不等式为 t2-mt+m2 m =(t-1)- -1+2(2)(3)(5)不正确，可在正方体内举出反例：如图 (图 2 -1)，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，取 B1D1为 l，底面 ABCD为，则 l平面，而 AC 平面， AC与 l是异面直线， l与 AC不平行 如图 (图 2 -2)，取 AC为 m，底面 ABCD为， m ，取 B1D1为 l，底面 A1B1C1D1为， l ，并且 l m，但，即不成立 同样时， l与 m也不平行 正确的命题是 (1)(4)2 熟悉不同形状的三棱锥的特征，并运用这些特征证明或计算 例 1 在棱长都相等的四面体 ABCD中， E， F分别为棱 AD， BC的中点，连 AF， CE(1)求异面直线 AF与 CE所成的角；(2)求 CE与平面 BCD所成的角解： (1)如图(3)解： PA=2， PD= ， AC=2 ， BC= V P-ABC= PD S ABC = 2 = 评注：这个三棱锥的一个鲜明特征就是有一个侧面 PAC与底面 ABC垂直上面我们给出了正四面体、有一条侧棱垂直于底面、有一个侧面垂直于底面的三棱锥，此外，还有许多具有特征的三棱锥，也值得我们重视和总结 例 4 如图 (图 4)，在三棱锥 S-ABC中，已知 AB=a， SC=b，还需要增加什么条件 (个数应最少 )就可以求出三棱锥 S-ABC的体积 解：在平此解法丢掉了直线 3x-2y=0，值得注意(2)仿 (1)，得 3-2k =2- ，即 3-2k = 如果 3-2k=0，则 k= ；如果 k0，则 k=1 直线 l的方程为 x-y+1=0， x+y-5=0， 3x-2y=0(3)仿 (1)，直线 l在坐标轴正向上的截距为2- 及 3-2k，且 k0，2- +3-2k=5+(-2k)+(- ) 5+2 =5+2 .此时 -2k=- ， k=- 时等号成立 截距之和的最小值为 5+2 ，此时直线 l的方程为 x+2y-6-2 =0(4)仿 (1)，直线 l在坐标轴正向上的截距为2- 及 3-2k，且 k0)与连结 A(1， 1)， B(-2， 3)的线段 AB没有公共点，求 a的取值范围解： (1)线段 AB在椭圆外 (详图请参照光盘 )由 消去 y，得 22x2-20x+25 -18a=0 =202-4 22 (25 -18a2)0) 0a 时线段 AB与椭圆无公共点综上两种情况， 0 或 例 3 过双曲线 =1的右焦点 F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 l，垂足为 P，设 l与双曲线左、右两支的交点分别为 A， B，求双曲线的离心率的取值范围 解：设 F(c， o)，双曲线的斜率大于零的渐近线方程为 y= x，则直线 l的方程为 y=- (x-c)，由 消去 y，得6(b4-a4)x2+ 2a4cx-a2(a2c2+b2)=0 l与双曲线有两个交点， b4-a4 0设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x2= . A， B分别在双曲线的左、右两支上， x1x2= 0于是有 a4-b40，即 a2-b20 a2-c2+a22. e= 2，即双曲线的离心率的取值范围为 e2.评注：本题是求“范围”的典型问题，它的求解途径是： 列方程组是为求离心率 e创造条件，然后利用根与系数关系得到x1x2= ，根据 x1x2y2)y1+y2= 解之，得 y1= 再由 x= = = ,y= = 当 M=( ， )时， x取得最小值 评注：本题是用代数法研究解析几何的最值问题 例 3 设 F1， F2是椭圆 =1的左、右焦点，弦 AB过焦点 F2，求 F1AB面积的最大值 解：由 =1，得 a= ， b= ， c=1 F1(-1， 0)， F2(1， 0)， F1F2 =2设直线 AB的倾斜角为 (0 0， n0)则 F1A =2 -m， F1B =2 -n由余弦定理，得 22+m2-4mcos =(2 -m)222+n2-4ncos ( - )=(2 -n)2解之，得 m= SF1AB= F1F2 yB-yA= 2(m+n)sin= sin= = .利用 sin的单调性，知 sin =1时，即 AB x轴时， F1AB的面积最大，最大值为 评注：本题是利用角参数，转化成求三角函数的最值 例 4 在直线 l： y=x+3上取一点 P，过 P且以双曲线 12x2-4y2=3的焦点作椭圆，求椭圆长轴的最小值及此时 P点的坐标与椭圆方程解：双曲线的两焦点为 F1(-1， 0)， F2(1， 0)，由此可设椭圆方程为 + =1(a1) 如图 (图 4)， F1关于直线 l： y=x+3的对称点为 F1 (-3， 2)直线 l与直线 F2F1交于 P 0(- ， )根据椭圆定义，有2a= F1P + F2P= F1 P + F2P F1 F2= .当点 P位于 P 0时取等号，此时椭圆长轴取最小值 ， P点坐标为 (- ， )，椭圆方程为 =1评注：本题是利用平面几何性质求出长轴的最小值所以，求圆锥曲线的最值我们给了四个办法：利用圆锥曲线定义，利用代数办法，转化成求三角函数的最值问题，利用平面几何性质求圆锥曲线的最值4 求轨迹方程的常用方法 例 1 求过定点 M(1， 2)，以 y轴为准线，离心率 e= 的椭圆左顶点的轨迹方程解：设椭圆的左焦点为 (x0， y)，左顶点为 (x， y) 过 M作 MN y轴于 N， B是椭圆长轴所在直线与 y轴的交点由椭圆定义，有 MF 1 MN =e= ， 2 MF 1 = MN， 2 又 AF1 AB =e= ， = ，即 x0= 将代入，得 4( -1)2+4(y-2)2化简，得 =1，这就是椭圆左顶点的轨迹方程评注：本题求轨迹方程使用的是定义法，即根据椭圆定义建立方程在化简过程中，则使用了转移法 例 2 已知抛物线 y2=x+1，定点 A(3， 1)， B为抛物线上任一点，点 P在线段 AB上，且有 BP： PA=： 2，当点 B在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线 解法 1：设 P(x， y)， B(x0， y0) , 即 (x0， y0)在抛物线 y2x+1上， ( )2= +1. (y- )2= x+ 因此，点 P的轨迹是顶点为 (- ， )，开口向右的抛物线解法 2： BP:A=1:， = AB， = + 设 =(x,y)， =(x0， y0)，又 =(3， 1)， 即 以下同解法 1评注：解法 1是使用直接法及转移法求轨迹方程；解法 2是使用向量法求轨迹方程 例 3 过点 A(0， -4)的直线与抛物线 y2=8x相交于 P， Q两点，求以 OP， OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点 M的轨迹方程 解法 1：平行四边形 OPMO的对角线交于 C，且 C为 PQ， OM的中点设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， M(x， y)，直线 PQ的方程是 y=kx-4(k 0)，由 y= 消去 y，得 k2x2-8(k+1)x+16=0. x1+x2= ， y1+y2=k(x1x2)-8= x=2 =x1+x2， y=y1+y2 , y= ,消去 k，得 x= y2+y. =64(k+1)2-64k20， k 0， k- 且 k 0，由 y= 知 y0或 y0或 y-16)解法 2：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， C(x0， y0)， M(x， y) y21 =8x1, y22=8x2, 则 y0=y1+y2, k PQ= - ,得 (y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2) 将代入，得 = 将代入，得 = y0(y0+4)=4x0 x0= x,y0= y， ( +4)=4 x， y2-8x+8y=0 y208x20，即 即 y20+8y00, 8y00或 y00或 y0或 y0)上原点以外的两动点已知 OA OB， OM AB，求点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 解： 点 A， B在抛物线 y2=4px上 可设 A( )， B( )，M(x， y) ( ), =( ). OB， =0，即 =0. y1 y2 0， y1y2=-16p2 又 ， =0而 =(x,y)， =( )， x+( )y=0由 y1 y2从而 0 +y=0，即 y2+y1= =( ,y-y1)， =( ,y2-y)，又 ， 共线， ( )(y2-y)-( -x)(y-y1)=0， x+ - =0 将代入，得 x2+y2-4px=0 A， B是原点以外的两点， x 0因此点 M的轨迹是以 (2p， 0)为圆心， 2p为半径的圆，并去掉点 (0， 0) 例 4 如图，椭圆 + =1的焦点为 F1， F2，点 P为其上的动点，当 F1PF2为钝角时求点 P横坐标的取值范围 解：设点 P的坐标为 (x0， y0)，则y02=4- .又 F1(- ， 0)， F2( ， 0)， =(- -x0， -y0) =( -x0,-y0) F1PF2为钝角， 0，即 (- -x0)( -x0)+(-y0)(-y0)0即 x02+y22-50 x02+4- -50 - x00)和直线 l： x=-1 B是直线 l上的动点， BOA的平分线交 AB于点 C求点 C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a值的关系 解：设 B(-1， t)(t R， t 0)， C(x， y)(0 x a)， A(a， 0) OC是 BOA的平分线， , .化简，得 (x2-y2)t=-2xy 又 A， C， B共线 (x-a)t-(-1-a)y=0即 (x-a)t=-(a+1)y由消去 t，得 (a+1)(x2-y2)=2 x(x-a) (1-a)x2+(1+a)y2-2ax=0(t 0)若 t=0，则 AOB=，点 C的坐标为 (0， 0)满足上式因此点的方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0 xa)(1)a=1时，轨迹方程为 y2=x(0 x1)，此时方程表示抛物线 y2=x上的一段弧；(2)0a1时，轨迹方程表示双曲线一支的弧段评注：解析几何与向量的交汇是新教材的一种重要趋势，在学习解析几何时，应注意使用向量推证解析几何中的一些定理，计算或证明课本中的一些例题，一般情况下，凡涉及长度、距离、角度等问题时，都可以考虑使用向量的有关知识求解 2 利用空间向量的有关知识证明空间图形问题 例 1 如图 (图 1)，等腰直角 ABC沿其斜边 AB上的高 CD对折，使 ACD与 BCD所在的平面垂直，求此时 ACB的大小 解：设等腰 ABC的直角边 AC=a，则BC=a， AB= a， CD= a = +0+0+0= ， =a2 cos ACB= = ， ACB=60 例 2 如图 (图 2)，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， A1A=2AB=2AD， A1C1与 B1D1交于 E，点 P， Q分别在 AB1和 BC1上，且 B1P= PA， BQ= QC1试判断 PQ与 AE是否垂直 解：由 B1P= PA， BQ= QC1， = - =( + = = 又 = PQ和 AE不垂直 例 3 如图 (图 3)，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形， BCD=60 ,且 C1CB= C1CD= (是锐角 )，求证 CC1 BD 如果 =60， CD=4， CC1=3，求 C1-BD-C的平面角的余弦证明： ，即 连 AC与 BD交于 O，连 C1O，由 C1BC C1DC，有 CO BD， C1O BD, COC1是 C-BD-C1的平面角 = =9+ 16-12-4=9 =3又 . = (9+12-9)=6 cos= 例 4 如图 (图 4)，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC中， CA=CB=1， BCA=90，棱 AA1=2， M， N分别是 A， B1， A1A的中点， (1)求 BN的长；(2)求 cos的值：(3)求证 A1B C1M.解： (1)如图，建立空间直角坐标系，则 B(0， 1， 0)， N(1， 0， 1)， 2 =1+1+1=3 = .（ 2）又 A1（ 1， 0， 2）， B（ 0， 1， 0）， C(0， 0， 0)， B1(0， 1， 2)， =(1， 0， 2)， -(0， 1， 0)=(1， -1， 2)， =(0， 1， 2) =1 0+(-1) 1+2 2=3 =6， = . cos= (3)又 C1(0， 0， 2)， M( ， ， 2)， =（ -1， 1， -2）， =( ， ， 0)， =- + +0=0， ，即 例 5 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD中， ABC=90， SA平对面 ABCD， SA=AB=BC=1， AD= ，求面 SCD与面 SBA所成二面角的正切值 解：如图 (图 5)建立空间直角坐标系，则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(1， 1， 0)D(0， ， 0)， S(0， 0， 1) SA平面 ABCD， SA AD.又 AB AD， AD平面 SAB设 是平面 SAB的法向量，取 = =(0， ， 0)；设 是平面 SCD的法向量，设 =(x， y， z) =0， =0， =(1， ， 0)， =(1， 1， -1)， (x， y， z) (1， ， 0)=0， (x， y， z) (1， 1， -1)=0即 x+ y=0, x+y-z=0. 令 x=1，则 =(1， -2， -1)设平面 SCD与平面 SAB所成二面角为， cos = cos= = tan = 评注：为了拓宽向量在立体几何中的使用范围，加强法向量的应用，可以更顺利地求解有关距离、角等有关问题2 利用空间向量的有关知识证明空间图形问题 例 1 如图 (图 1)，等腰直角 ABC沿其斜边 AB上的高 CD对折，使 ACD与 BCD所在的平面垂直，求此时 ACB的大小 解：设等腰 ABC的直角边 AC=a，则BC=a， AB= a， CD= a = +0+0+0= ， =a2 cos ACB= = ， ACB=60 例 2 如图 (图 2)，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， A1A=2AB=2AD， A1C1与 B1D1交于 E，点 P， Q分别在 AB1和 BC1上，且 B1P= PA， BQ= QC1试判断 PQ与 AE是否垂直 解：由 B1P= PA， BQ= QC1， = - =( + = = 又 = PQ和 AE不垂直 例 3 如图 (图 3)，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形， BCD=60 ,且 C1CB= C1CD= (是锐角 )，求证 CC1 BD 如果 =60， CD=4， CC1=3，求 C1-BD-C的平面角的余弦证明： ，即 连 AC与 BD交于 O，连 C1O，由 C1BC C1DC，有 CO BD， C1O BD, COC1是 C-BD-C1的平面角 = =9+ 16-12-4=9 =3又 . = (9+12-9)=6 cos= 例 4 如图 (图 4)，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC中， CA=CB=1， BCA=90，棱 AA1=2， M， N分别是 A， B1， A1A的中点， (1)求 BN的长；(2)求 cos的值：(3)求证 A1B C1M.解： (1)如图，建立空间直角坐标系，则 B(0， 1， 0)， N(1， 0， 1)， 2 =1+1+1=3 = .（ 2）又 A1（ 1， 0， 2）， B（ 0， 1， 0）， C(0， 0， 0)， B1(0， 1， 2)， =(1， 0， 2)， -(0， 1， 0)=(1， -1， 2)， =(0， 1， 2) =1 0+(-1) 1+2 2=3 =6， = . cos= (3)又 C1(0， 0， 2)， M( ， ， 2)， =（ -1， 1， -2）， =( ， ， 0)， =- + +0=0， ，即 例 5 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD中， ABC=90， SA平对面 ABCD， SA=AB=BC=1， AD= ，求面 SCD与面 SBA所成二面角的正切值 解：如图 (图 5)建立空间直角坐标系，则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(1， 1， 0)D(0， ， 0)， S(0， 0， 1) SA平面 ABCD， SA AD.又 AB AD， AD平面 SAB设 是平面 SAB的法向量，取 = =(0， ， 0)；设 是平面 SCD的法向量，设 =(x