高数闭区间上连续函数的性质教案.doc

第17、18课时：【教学目的】1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、 熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。【教学难点】介值性定理及其应用 1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0I, 使得对于任一xI都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ), 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）. 例如, 函数f(x)=1+sin x在区间0, 2p上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f(x)=sgn x 在区间(-, +)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +)内, sgn x的最大值和最小值都是1. 但函数f(x)=x在开区间(a, b)内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 那么至少有一点x1a, b, 使f(x1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一点x 2a, b, 使f(x 2)是f(x)在a, b上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a, b) 考察函数y=x. 又如, 如图所示的函数在闭区间0, 2上无最大值和最小值. 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x0 使f(x0 )=0, 则x0 称为函数f(x)的零点. 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少有一点x 使f(x)=0. 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么, 对于A与B之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得f(x)=C . 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)f(b), 那么, 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得f(x)=C . 证: 设j(x)=f(x)-C, 则j(x)在闭区间a, b上连续, 且j(a)=A-C与j(b)=B-C异号. 根据零点定理, 在开区间(a, b)内至少有一点x 使得j(x)=0 (axb). 但j(x)=f(x)-C, 因此由上式即得f(x)=C (ax0, f(1)=-20. 根据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点x , 使得f(x)=0, 即 x 3-4x 2+1=0 (0x1). 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是x .