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第4章 向量空间4.1 向量及其线性组合练习4.11. 设求及.解 2. 设 ,求. 其中解 由得3. 将线性方程组写成向量形式及矩阵形式. 解 向量形式：矩阵形式：4. 设是已知列向量，若，记矩阵，求线性方程组的一个解.解 由得方程组的一个解为5. 问是否可由向量组线性表示？其中（1）（2）解 （1）令由得有唯一解，从而可由向量组唯一线性表示：（2）令由得无解，从而不能由向量组线性表示. 6. 已知（1）取何值时，不能由的线性表示？（2）取何值时，可由唯一线性表示式？并写出表示式.解 令，考察方程组是否有解. （1）当时，方程组无解，故不能由的线性表示. （2）当时， 继续进行初等行变换得方程组有唯一解：故可由的唯一线性表示. 表示式为：7. 用标准坐标向量证明：如果对任意向量有，则是零矩阵. 证 设是矩阵. 特别地取，则即. 8. 设向量组可由向量组线性表示如下：写出形如（4.5）的矩阵形式.解 9. 设证明向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.证 令，由知向量组可由向量组线性表示. 由知都不能由向量组线性表示，故向量组不能由向量组线性表示.10. 设证明向量组与向量组等价.方法1 令.由知向量组可由向量组线性表示. 知向量组可由向量组线性表示. 所以. 方法2 令，则，记，根据行等价矩阵的行向量组等价，由上知所以. 4.2 向量组的线性相关性练习4.21. 证明：含有零向量的向量组必线性相关. 证 不妨设向量组为，其中，则根据定义线性相关. 2. 证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. 问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？证 设且线性相关. 于是存在不全为零的数使得，不妨设，从而，即即与的对应分量成比例. 反之，如果，则,即，故线性相关. 由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关. 但线性相关，它们的对应分量不一定成比例. 如或3. 判别下列向量组的线性相关性：（1），（2）（3）解（1） 令，由，知是可逆矩阵，故其列向量组线性无关. （2）类似（1），由 ，得线性相关. (3) 易知向量组线性无关，而向量组是向量组的加长向量组，故也线性无关. 4. 设, (1) 问为何值时, 向量组线性相关？(2) 问为何值时, 向量组线性无关？解 令，计算得（1）当时，是不可逆矩阵，其列向量组线性相关.（2）当时，是可逆矩阵，其列向量组线性无关.5. 证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关.证 不妨设阶梯矩阵其中. 考察下面方程组显然该方程组只有零解，故线性无关. 4.3 向量组的秩练习4.31. 设求向量组的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用所求的极大无关组线性表示.解 因此是的一个最大无关组，且，2. 设向量组的秩为2，求.解 记，由于，所以线性相关，也线性相关. 由得. 由得. 3. 证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证 （定义4.5定义4.6） 设是中任意个向量. 由定义4.5（2）知可由线性表示，由定理4.9，线性相关，即定义4.6（2）成立. （定义4.6定义4.5）设是中任意一个向量. 则是个向量，由定义4.6（2），线性相关，又线性无关，再由唯一表示定理，可由线性表示，即定义4.5（2）成立. 4.4 矩阵的秩练习4.41. 求下面矩阵的秩（1），（2）（其中互不相等）.解 （1）由得（2）记，由于范德蒙行列式，得2. （1）设是矩阵，且，写出的等价标准形；（2）设是矩阵，且，写出的等价标准形.解 （1），（2）3. 设（1）求一个矩阵使得，且; （2）求一个矩阵使得，且.解 （1）求解方程组得两个线性无关的解令则，即为所求. （2）解得一个解，解得一个解令则，即为所求. 4. 设，若是可逆矩阵，则.证 5. 证明：.方法1 设,不妨设是的列向量组的极大无关组，是的列向量组的极大无关组. 显然的列向量可由线性表示，于是的列秩证明：方法2 由得，从而（用到例题的结论）6. 用等价标准形定理证明：的充要条件是其中.证 设，由等价标准形定理，存在可逆矩阵，使得令是的第一列，是的第一行，显然，上式就是. 反之，如果，则4.5 向量空间练习4.51. 设证明是的子空间, 不是的子空间.证 是齐次线性方程组的解集，是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样. 2. 设证明是的子空间，并求的维数及的一个基.证 把中向量改写为则，又线性无关，所以是的一个基，. 3. 设求两个不同的基, 并分别求在所求的基下的坐标.解 易知，又线性无关，线性无关，所以与都是的基. 解方程组得于是在基下的坐标是. 解方程组得于是在基下的坐标是. 4. 设证明：.证 只需证由知可由线性表示. 由知可由线性表示. 所以. 5. 已知的两个基为 及 求由基到基的过渡矩阵.解 由得由基到基的过渡矩阵为4.6 线性方程组解的结构练习4.61. 求齐次线性方程组两个不同的基础解系，并写出通解.解 记系数矩阵为，则同解方程为分别取得，得基础解系为分别取得，得基础解系为通解为或2. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为解 设所求方程组为，由题设.记，则即，这说明的列都是方程组的解. 解方程组，即得基础解系为，令，即所求方程组为，即3. 求下面非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系解 对增广矩阵初等行变换化最简阶梯形等价方程组为令得方程组的一个解对应的齐次方程组的等价方程组为令得基础解系4. 设，求使得方程组有解的所有向量.解 向量是的列向量的线性组合，即5. 设是非齐次方程组的个解向量，令证明:（1）是非齐次方程组的解的充要条件是；（2）是齐次方程组的解的充要条件是.证 （1） 是的解 () （2） 是的解 () 6. 设, 是非齐次方程组的3个解向量, 并且求方程组的通解. 解 由知，知的基础解系只含一个向量，取则是的基础解系. 从而非齐次方程组的通解为，（）7. 设矩阵, 其中线性无关, , 向量. 求线性方程组的通解. 解 由假设易知，从而的基础解系只含一个向量. 由得为的基础解系.由得为的一个解. 于是的通解是习题四1. 设都是维向量，可由线性表示，但不能由线性表示，证明：可由线性表示.证 因为可由线性表示，设又因为不能由线性表示，所以，因此即可由线性表示. 2. 设确定常数, 使向量组可由向量组线性表示, 但向量组不能由向量组线性表示. 解 记，由于不能由线性表示，所以，从而得或. 当时，故可由线性表示，但不能由线性表示. 所以符合题意. 当时，由知不能由线性表示，与题设矛盾. 综上，. 3. 设（）线性相关, 线性无关, 讨论:（1）能否由线性表示;（2）能否由线性表示.方法1 （1）因为线性无关，故线性无关. 又因为线性相关，由唯一表示定理，可由唯一表示. （2）设能由线性表示由（1），又能由线性表示，故也能由线性表示，从而线性相关，这与假设矛盾. 故不能由线性表示. 方法2 由假设，（1） 由得由唯一表示定理，能由唯一表示. （2）由(1)，而故不能由线性表示. 4. 设, （）, , , 证明向量组线性无关. 证 设上式两边左乘得，由于，得，因此上式两边左乘，类似可推出. 进而再推出. 5. 设, （）, 如果, , 证明线性无关. 证 由题设设两边左乘得再左乘得由得，往上逐一代入. 故线性无关. 6. 设向量组线性无关, 能由线性表示, 而不能由线性表示, 证明:（1）向量组线性无关. （2）对, 向量组线性无关. 证 （1）由于线性无关，而不能由线性表示，故线性无关. 否则，由唯一表示定理，能由唯一表示，与假设矛盾. （2）由（1）再由可由线性表示，得从而线性无关. 7. 设（）且, 证明：(1) 不能由线性表示；(2) 如果线性无关, 则也线性无关. 证 (1) 反证. 设可由线性表示两边左乘得，这与矛盾. (2) 反证. 如果线性相关，则由唯一表示定理，由唯一表示. 与(1)矛盾. 8. 已知线性无关, 试问常数满足什么条件时, 向量组线性无关？ 方法1设整理得由于线性无关，故上式又等价于 线性无关的充要条件是上面方程组只有零解. 即方法2 记. 写成矩阵形式由例4.14，线性无关9. 已知向量组（）线性无关. 设试讨论向量组的线性相关性. 证 把题设写成矩阵形式其中经计算同上一题完全类似，有两种方法. 结论是线性无关为奇数时线性相关为偶数时10. 设是满足的两个非零矩阵，证明的列向量组线性相关, 且的行向量组线性相关.方法1 的列向量都是方程组的解，又为非零矩阵，说明存在非零解，所以，从而的列向量组线性相关. 考虑，又知的列向量组即的行向量组线性相关. 方法2 由例题，又，所以，于是的列向量组线性相关，且的行向量组线性相关.11. 证明：. 方法1 把用初等行变换化为阶梯矩阵，设其中的行向量都是非零行向量. 则显然上式右边也是阶梯形矩阵，从而方法2 设，有子式，有子式，因此有子式，从而又所以12. 设是阶方阵的伴随矩阵, 证明：证 当时，由行列式的展开定理：，立即知是可逆矩阵，即. 当时，的所有阶子式都等于零，这时是零矩阵，故. 当时，由行列式的展开定理由例题再由知有一个阶子式不等于零，故至少有一个元素不为零，因此. 综上，. 13.设, 证明存在矩阵, 使.方法1 由题设和例题，对任意的，线性方程组都有解. 特别地取为标准单位向量，方程组的解记为，令则易知证法2 由题设（此时），故只用列变换就可将化为标准形，即存在可矩阵使得把分块，则易知14. 证明Sylvester不等式: 方法1 设由等价标准形定理知有可逆矩阵使因此移项得，即15. 设，证明.证法1 记，则再由习题13，存在矩阵使得. 在两边左乘得从而综上，. 证法2 设是阶矩阵，由Sylvester不等式从而16. 设阶矩阵满足，证明证 由和例题又综上. 17. 证明满秩分解定理: 设, 则有如下分解：其中. 方法1 由等价标准形定理，存在可逆矩阵和使得令则，且显然有. 方法2 不妨设的列向量组的极大无关组为，并记矩阵则的所有列向量都可由线性表示，即存在矩阵使得又同理. 18. 证明：.证 设，的满秩分解为由Sylvester不等式19. 设都是的子空间, 令, 证明与都是的子空间. 举例说明不是的子空间. 证 易（略）20. 证明基的扩张定理定理4.14：设是的一个线性无关组, , 则存在个向量, 使得成为的一个基.证 由于，故不是的基，从而至少有一个向量不能由线性表示. 则必线性无关（否则，由唯一表示定理得出矛盾）. 如果，则证毕. 否则，如果，同上知，存在向量使得线性无关. 依此类推，得证. 21. 若矩阵满足则称是严格对角占优矩阵. 证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵. 证 反证. 假设是不可逆矩阵, 则有非零解, 记一个非零解为. 再记考察的第个方程即两边取绝对值这与假设矛盾. 因此是可逆矩阵.22. 证明方程组一定有解.证 只需证方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等. 由例题故从而方程组一定有解. 23. 设与都是元的齐次方程组, 证明下面三个命题等价：（1）与同解；（2）；（3）的行向量组与的行向量组等价. 证 记（I），（II），（III）（1）（2） 由于（I）的解都是（II）的解，所以（I）的解也都是（III）的解. 又显然（III）的解都是（I）的解. 因此，（I）与（III）同解. 同样的道理，（II）与（III）也是同解的. 因此它们基础解系所含向量个数相等，即于是（2）（3） 命题（2）等价于由定理4.3，的列向组与的列向量组等价. 即的行向量组与的行向量组等价. （3）（1） 这是显然. 24设均是阶的方阵，证明的充要条件是方程组与方程组同解. 证 （）显然的解必是的解. 又，的基础解系也是的基础解系. 所以，方程组与方程组同解. （）易25. 若阶矩阵的前个列向量线性相关，后个列向量线性无关，证明：（1）方程组必有无穷多解；（2）若是的任一解，则. 证 （1）由, 知是的一个解. 又，故有无穷多解. （2）线性相关，存在不全为零的数使说明是基础解系. 的通解为26. 设线性方程组(I)(II)证明：方程组（I）有解方程组（II）无解. 证 记方程组（I）为，则方程组（II）可写成易知这样(II)无解（I）有解27. 设线性方程组(I) (II) (III) 证明：方程组（I）有解方程组（II）的解都是方程组（III）的解. 证 记，则三个方程可写为(I) ，(II) ，(III) 因此(I)有解(由例5.2)（II）的解都是（III）的解28. 设齐次方程组解空间的维数是2, 求其一个基础解系. 解 由知，系数矩阵的秩. 由，得. 原方程组的等价方程组为取得一个基础解系为29. 设四元齐次线性方程组(I) 还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为求方程组（I）与（II）的公共解. 解法1 将方程组(II)的通解代入组方程组(I)得到关于的线性方程组令，则，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为（）解法2 易求方程组(I)的基础解系为，其通解为令两个方程组的通解相等得关于的方程组解之得因此两个方程组公共解为30. 设, , 证明：时, 齐次方程组的一个基础解系为，（）其中为的元的代数余子式（）. 证 由行列式展开定理（）所以（）是齐次方程组的解（共个）. 由齐次方程组系数矩阵的秩为，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为. 再由的个行向量的转置线性无关. 综上可知，是齐次方程组的一个基础解系. 31. 设, 是非齐次方程组的一个特解, 是其对应的齐次方程组的一个基础解系. 证明是解集的一个极大无关组, 从而. 证 记显然中的向量都是的解，即. 下面证明线性无关. 设把上式整理为上式两边左乘得由得往上代入得由线性无关性得再往上代入又得. 这说明是线性无关的向量组. 下面再证明中的任一向量都可由线性表示. 由于中的任一向量都可写为即这说明中的任一向量都可由线性表示. 综上，向量组是解集的一个极大无关组，. 32. 已知是方程组的基础解系. 证明是方程组的基础解系. 证 记矩阵，则方程组（I）和（II）可分别写为（I） 和 （II）（）因为是方程组的基础解系，所以，从而线性无关. 而且，线性无关，. 因此，方程组的基础解系所含解向量的个数为. 由假设知是方程组的个线性无关的解. 因此，就是方程组的一个基础解系.
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