北京市中考数学专题突破八：代数综合(含答案).doc

专题突破(八)代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等20112015年北京代数综合题考点对比年份20112012201320142015考点根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围12015北京 在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线yx1交于点A，点A关于直线x1的对称点为B，抛物线C1：yx2bxc经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：yax2(a0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围22014北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围32013北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2(m0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；(3)若该抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的函数解析式42012北京 已知二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m)，求m和k的值；(3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线ykx6向上平移n个单位长度请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围图Z8152011北京 在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx2x3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当ABC45时，求m的值；(3)已知一次函数ykxb，点P是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx2x3的图象于点N.若只有当2n0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围图Z8322015朝阳一模 如图Z84，将抛物线M1：yax24x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线yx与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是3.(1)求a的值及M2的函数解析式(2)点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.当点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围(直接写出结果)图Z8432015西城一模 已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1，0)，(0，3)两点(1)求C1对应的函数解析式；(2)将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2对应的函数解析式记为y2x2mxn，求C2对应的函数解析式；(3)设y32x3，在(2)的条件下，如果在2xa内存在某一个x的值，使得y2y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围图Z8542015东城一模 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx1过点A，B，与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx1的函数解析式(2)若点D在抛物线yax2bx1的对称轴上，当ACD的周长最小时，求点D的坐标(3)在抛物线yax2bx1的对称轴上是否存在点P，使ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图Z8652015石景山一模 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx3(m0)与x轴交于A(3，0)，B两点(1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标；(2)将2x0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当SABC15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：ykxb(k0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象请结合图象回答：若新函数的最小值大于8，求k的取值范围图Z8892015平谷一模 已知抛物线yax2xc(a0)经过A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且EAOEPO，当tan2时，求点P的坐标图Z89102015怀柔一模 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y(a1)x22x1的图象与x轴有交点，a为正整数(1)求a的值；(2)将二次函数y(a1)x22x1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m21)个单位长度，当2x1时，二次函数有最小值3，求实数m的值图Z810参考答案北京真题体验1.解：(1)当y2时，2x1，x3.A(3，2)点A，B关于直线x1对称，B(1，2)(2)把(3，2)，(1，2)代入yx2bxc，得解得抛物线C1的解析式为yx22x1，顶点坐标为(1，2)(3)如图，当C2过点A，点B时为临界状态，将A(3，2)代入yax2，则9a2，a，将B(1，2)代入yax2，则a2，a2.2解：(1)y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)，解得抛物线的函数解析式为y2x24x2.对称轴为直线x1.(2)由题意可知C(3，4)二次函数y2x24x2的最小值为4.如图，由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标由B(3，4)，C(3，4)可知直线BC的函数解析式为yx.当x1时，y.4t.3解：(1)当x0时，y2，A(0，2)，抛物线的对称轴为直线x1，B(1，0)(2)易得点A关于对称轴直线x1的对称点为A(2，2)，点B关于对称轴对称的点仍为点B，直线l经过点A，B.设直线l的函数解析式为ykxb(k0)则解得故直线l的函数解析式为y2x2.(3)抛物线的对称轴为直线x1，抛物线在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称如图，结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，在1x0这一段位于直线l的下方，抛物线与直线l的交点的横坐标为1.当x1时，y2(1)24，抛物线与直线l的一个交点为(1，4)当x1时，m2m24，解得m2，抛物线的函数解析式为y2x24x2.4解：(1)二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等，004(t1)4(t2)，解得t，二次函数的解析式是yx2x.(2)把A(3，m)代入yx2x得m(3)236，即A(3，6)将A(3，6)代入ykx6，得63k6，解得k4，故m6，k4.(3)由题意可知，点B，C间的部分图象的函数解析式是y(x3)(x1)(1x3)，则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y(x3n)(x1n)(n1x3n)，此时直线平移后的解析式是y4x6n.如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，则方程4x6n(x3n)(x1n)有两个相等的实数解，即x2(n3)xn20有两个相等的实数解，(n3)24()(n2)6n0，解得n0.与已知n0相矛盾，平移后的直线与平移后的抛物线不相切，结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，则两个临界的交点为(n1，0)，(3n，0)，04(n1)6n，解得n.04(3n)6n，解得n6.故n的取值范围是n6.5解：(1)点A，B是二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象与x轴的交点，令y0，即mx2(m3)x30，解得x11，x2.又点A在点B左侧且m0，点A的坐标为(1，0)(2)由(1)可知点B的坐标为(，0)二次函数的图象与y轴交于点C，点C的坐标为(0，3)ABC45，3，解得m1.(3)由(2)得，二次函数的解析式为yx22x3.依题意并结合图象(如图)可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2和2，由此可得交点坐标为(2，5)和(2，3)将交点坐标分别代入一次函数解析式ykxb中，得解得一次函数的解析式为y2x1.北京专题训练1.解：(1)抛物线yx2x2与y轴交于点A，点A的坐标为(0，2)yx2x2(x1)2，抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为(1，)又点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上设直线BC的函数解析式为ykxb.直线BC经过点B(1，)和点C(2，2)，解得直线BC的函数解析式为yx1.(2)如图所示，抛物线yx2x2中，当x4时，y6，点D的坐标为(4，6)直线yx1中，当x0时，y1，当x4时，y3，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(4，3)设点A平移后的对应点为点A，点D平移后的对应点为点D.当图象G向下平移至点A与点E重合时，点D在直线BC上方，此时t1；当图象G向下平移至点D与点F重合时，点A在直线BC下方，此时t3.结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t3.2解：(1)点A在直线yx上，且点A的横坐标是3，A(3，3)把A(3，3)代入yax24x，解得a1.M1：yx24x，顶点坐标为(2，4)，抛物线M2的顶点坐标为(1，1)抛物线M2的函数解析式为yx22x.(2)如图，由题意，知C(2，2)，F(4，2)直线yxn经过点F，24n.解得n2.n3或n6.3解：(1)二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1，0)，(0，3)两点，解得抛物线C1的函数解析式为y1x22x3.(2)y1x22x3(x1)24，抛物线C1的顶点坐标为(1，4)平移后抛物线C2的顶点坐标为(0，0)，C2对应的函数解析式为y2x2.(3)a1(如图)4解：(1)抛物线yax2bx1过点A，B，抛物线的函数解析式为yx2x1.(2)x，抛物线yx2x1的对称轴为直线x.设点E为点A关于直线x的对称点，则点E的坐标为.连接EC交直线x于点D，此时ACD的周长最小设直线EC的函数解析式为ykxm，代入点E，C的坐标，则解得直线EC的函数解析式为yx1.当x时，y.点D的坐标为.(3)存在当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1.AOOC，ACAP1，AOMCAM90.C，A，OAOC1.CAO45，OAMOMA45，OAOM1.点M的坐标为.设直线AM对应的一次函数的解析式为yk1xb1，代入点A，M的坐标，则解得直线AM的函数解析式为yx1.令x，则y.点P1的坐标为.当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点N.与同理可得RtCON是等腰直角三角形，OCON1，点N的坐标为.CP2AC，AP1AC，CP2AP1，直线CP2的函数解析式为yx1.令x，则y.点P2的坐标为.综上所述，在对称轴上存在点P1，P2，使ACP成为以AC为直角边的直角三角形5解：(1)将A代入ymx22mx3，解得m1.抛物线的函数解析式为yx22x3.令y0，则x22x30，解得x13，x21，点B的坐标为.(2)yx22x34.当2x1时，y随x增大而减小；当1x3时，y随x增大而增大，当x1，ymin4；当x2，ymax5.y的取值范围是4y5.(3)如图，当直线ykxb经过点B，C时，其函数解析式为yx.当直线ykxb经过点，C时，其函数解析式为yx.结合图象可得b的取值范围是b.6解：(1)设抛物线的函数解析式为ya(x1)2.由抛物线过点A(0，1)，可得yx22x1.(2)如图：(3)如图，由图可知4m0.7解：(1)抛物线ymx22mxm4与y轴交于点A(0，3)，m43，解得m1，抛物线的函数解析式为yx22x3.抛物线yx22x3与x轴交于点B，C，令y0，即x22x30.解得x11，x23.又点B在点C左侧，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，0)(2)yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1.抛物线的对称轴与x轴交于点D，点D的坐标为(1，0)直线ykxb经过点D(1，0)和点E(1，2)，解得直线DE的函数解析式为yx1.(3)t3.8解：(1)抛物线yx2(m1)xm(m0)与x轴交于A，B两点，令y0，即x2(m1)xm0.解得x11，x2m.又点A在点B左侧，且m0，点A的坐标为(1，0)(2)由(1)可知点B的坐标为(m，0)抛物线与y轴交于点C，点C的坐标为(0，m)m0，ABm1，OCm.SABC15，(m1)m15.解得m6或m5.m0，m5，抛物线的函数解析式为yx24x5.(3)由(2)可知点C的坐标为(0，5)直线l：ykxb(k0)经过点C，b5，直线l的解析式为ykx5(k0)yx24x5(x2)29，当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为9，不符合题意当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8(如图)令y8，即x24x58.解得x11(不合题意，舍去)，x23.抛物线经过点(3，8)当直线ykx5(k0)经过点(3，8)时，可求得k1.由图象可知，当1k0时新函数的最小值大于8.9解：(1)抛物线yax2xc(a0)经过A(1，0)，B(2，0)两点，解得抛物线的函数解析式为yx2x2，点D的坐标为(，)(2)如图，作ENBC，交y轴于点N，过点C作 CMEN于点M.令x0，得y2，OCOB2，OCB45.ENBC，CNMOCB45.CMEN于点M，CNMMCN45，MNCM，CN1.直线NE的函数解析式为yx3.由解得点E的坐标为(1，2)(3)如图，过点E作EFAB于点F.由(2)知tanEOF2，又tan2，EOF.EOFEAOAEO，EAOEPO，EPOAEO.EAOPAE，AEPAOE，.AE2 ，AO1，AP8，OP7，P，由对称性可得P.点P的坐标为或.10解：(1)二次函数y(a1)x22x1的图象与x轴有交点，令y0，则(a1)x22x10，44(a1)0，解得a2.a为正整数，a为1或2.又y(a1)x22x1是二次函数，a10，a1，a的值为2.(2)a2，二次函数的解析式为yx22x1.将二次函数yx22x1化成顶点式为y(x1)2，二次函数图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m21)个单位长度后的函数解析式为y(x1m)2(m21)此时函数图象的顶点坐标为(m1，m21)当m12，即m1时，在x2处二次函数有最小值3，3(1m)2(m21)，解得m，符合题目要求当2m11，即1m2时，在xm1处二次函数有最小值3，即m213，解得m.m不符合1m2的条件，舍去m.当m11，即m2时，在x1处二次函数有最小值3，3(2m)2(m21)，解得m，不符合m2的条件，舍去综上所述，m的值为或.