闭区间上连续函数介值定理解题方法小结(一).doc

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闭区间上连续函数介值定理解题方法小结(一)来源:文都教育在高等数学的考试中,离不开考查函数的相关性质,而闭区间上的连续函数的性质显然是重中之重. 同学们都知道闭区间上的连续函数有最值定理、有界性定理、介值定理,其中介值定理常常会与积分中值定理等证明题有着“千丝万缕”的联系,因此在考试中出现的频率较高,下面就以闭区间上连续函数介值定理为线索来总结这类题目的类型和解题方法. 介值定理 如果函数在上连续,且在上的最大值与最小值分别为M和m,对介于m和M之间的任何实数C(mCM),则至少存在一点,使得.举例说明如下:例 设函数在a, b上连续,且利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点,使得.证明 从题目待证等式,可以整理出在处所取得的函数值为.下面证位于在上的最大值M与最小值m之间. 由及,得到,.因为,故再由介值定理可知,存在,使得,即.从上例中可以发现,用连续函数的介值定理来证明这类问题的解题步骤可以总结如下:待证题目通常可概括为证明连续函数可取到某定值k,即证存在,使得. a. 从要证明的等式中整理出连续函数在处所取得的函数值k;b. 证明k在的相关区间上的最小值与最大值之间;c. 利用闭区间上连续函数的介值定理得到命题的证明. 本文总结了闭区间上连续函数的介值定理的解题方法,考生可以有针对性地用一些习题加以练习,再次遇到这类题目一定会所向披靡.相关的解题方法也可以参考毛纲源老师编著的考研数学常考题型解题方法技巧归纳系列图书,必将大有收获,对考研数学知识的掌握取得由质变到量变的进步.
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