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第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）在点可微分是在该点连续的充 分条件；在点连续是在该点可微分的必 要条件。（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的必 要条件；在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充 分条件。（3）的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充 分条件。 （4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充 分条件。8.02求函数的定义域，并求。解：1)，定义域： 2)由初等函数的连续性知：8.03 证明极限不存在。证明：当点沿用趋于点时，有 ，显然它是随着的不同而改变的， 故：极限不存在。8.04 设 求 及 解：1) 当时，2) 当时， ，故： ，故： 于是： 8.05求下列函数的一阶和二阶导数：（1）；解： ， （2）.解： 8.06 求函数当时的全增量和全微分。解：1) ， 2) 8.07设；证明：在点0处连续且偏导数存在，但不可微分.证明：1) ，于是： 即： ; 即： 在点连续 , 即：在处的偏导数存在，且 3) 假设在点处可微，则有： 又 书中18页已证明：不存在，故(*)式在时极限不存在， 即：不能表示为的高阶无穷小， 于是，在处不可微分。8.08设，而都是可微函数，求.解：8.09设具有连续偏导数，而；求。解： 8.10设，其中具有连续的二阶偏导数，求. 解： 8.11设.试求和.解：将两边同时对,y求偏导数 将两边同时对,求偏导数 联立式得： 于是: 8.12求螺旋线在点处的切线法平面方程.解： 切线方程：，即： 法平面方程：，即：8.13 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方程.解：曲面在点处的法线向量为： 平面的法向量为： 当时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时, , , 于是,点即为所求, 此时,所求法线方程为: 8.13 设x 轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解：, 于是,函数在点沿方向的方向导数为: 当时,有最大值;时,有最小值;或时,.8.15求函数在椭球面上点处沿外法线的方向导数.解: 椭球面上点处的法线向量为: , 其方向余弦为: , , 于是,函数在点处沿的方向导数为: (因在椭圆球面上)8.16求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.解：平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值 ,作函数： 令: 解得条件驻点,最小值。 于是点即为所求。8.17 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。解：设为椭球面上在第一象限内的点。 椭球面在处的法向量为： 切平面为： 即： 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，该四面体体积为： 又因点在椭球面上 , 当且仅当时等号成立。 于是： （当时等号成立）。 于是：, 当时等号成立。 故当平面的切点为时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。第九章 重积分9.01计算下列二重积分：（1），其中D是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域；y=x+121Dxx01解：区域D: y=sinx01x(2) 其中D是闭区域：；D解： x2+y2=Rx0Rxy（3） ，其中D是圆周所围成的闭区域；D解： （4） ，其中D是闭区域： 解：区域D: 9.02 交换下列二次积分的顺序：2x-20Dyy=2x+44（1） 解： （2） 解：xy0231D y1D1（3） D201x2解： 其中 0aDyxy=xa9.03 证明:证明: ，证 毕 。D10y=11yxy=x2D3D21-19.04 把积分表为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是，解：曲线的极坐标方程：曲线的极坐标方程：区域D在极坐标系下有：其中:xyzo9.05把积分化为三次积分，其中积分域是由曲面，及平面y=1,z=0所围成的闭区域解：区域在xOy面投影为Dxy它由抛物线与围成 9.06计算下列三重积分：（1）,其中是两个球：和（R0）的公共部分。解： （2）,其中是由球面所围成的闭区域。解：区域：关于坐标面均对称（特别就平面） 而被积函数关于z为奇函数 （3），其中是由xOy平面上曲线绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域。解：区域：50yxz xy0baDxy9.07 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。 解：由已知得 x0D-RRy0y9.08在均匀的半径为的半圆薄片的直径上，要接一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少？解：建立如图所示直角坐标系 整个均匀薄片所在区域关于y轴对称；由已知题意，要求整个均匀薄片的重心恰好落在圆心(坐标原点)，即 又 ；即所接均匀矩形薄片另一边的长度应是D9.09 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直0xy1-11线的转动惯量。解：令 则 9.10设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面区域：，的，过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P，求半圆形薄片对质点P的引力。解：由 已 知，令为 面 密 度 ，薄 片 面 积 ， 薄 片 质 量 zDpaR-R0yx 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D的 对 称 性 知 其 中 第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中为上点处切 向量 的方向角。(2) 第二类曲面积分化成第一类曲面积分是，其中为上点处的法 向 量的方向角10.02 计算下列曲线积分：x2+y2=ax0axya/2L(1) ,其中为圆周解：表示为参数方程:有 (2) ,其中为曲线， 解： (3),其中为摆线，上对应从到的一段弧。解: (4)，其中是曲线上由到的一段弧。解: （5），其中L为上半圆周，沿逆时针方向。解: 补直线段由格林公式,有Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA 区域D的面积 又 （6），其中是用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向解: ，用参数方程表示为: 10.03 计算下列曲面积分：x0zyRH(10.03 (1)图)（1），其中是界于平面及之间的原柱面解：投影到平面上的投影为 其中 x0zy1Dxyhx2+y2=h2(10.03 (2)图) （2），其中为锥面,的外侧。 解：补平面上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：的外侧由高斯公式得:又 故 （3），其中为半球面的上侧x0zy1RRx2+y2=R2R解: 补平面下侧,与构成一封闭曲面：的外侧；由高斯公式得: 区域的体积 又 ，（4），其中为曲面的上侧。解: 补平面下侧, 与曲面构成一封闭曲面：的外侧；而由高斯公式得：又（其中）（5），其中为曲面 的外侧解：方法1:其中： 方法2：补 由高斯公式得: 而 0xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)10.04证明：在整个xOy平面的除去的负半轴及原点的开区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数证明：在整个平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分。 10.05设在半平面内有力构成力场，其中k为常数，；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。证明：又 故 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域:半平面,有一阶连续偏导数。在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。10.06求均匀曲面的重心的坐标解：曲 面 在xOy面投影为： 又 是关于yoz面, xoz面对称,又 区域的面积 重心 10.07设在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为的正向边界曲线。证明：（1） （2） 其中分别是沿L的外法线向量的方向导数,符号称二维拉普拉斯算子L证明：令为 x轴正向到方向的转角 为 x轴正向到切线方向的转角 则 又 根据格林公式： （2）由（1）知 同理 由上两式作差：；证毕 。10.08求向量通过区域：，的边界曲面流向外侧的通量解：由已知条件得所求通量为：的体积10.09求力沿有向闭曲线所作的功，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从轴正向看去，沿顺时针方向解：取为平面下侧被围成, 的单位法向量即 ,令为在xoy面的投影;由斯托克斯公式有：y1x11z0Dxy 的面积第十一章 无穷级数11.01填 空（1）对级数；是它收敛的必 要条件，不是它收敛的充 分条件。（2）部分和数列有界是正项级数收敛的充 要条件。（3）若级数绝对收敛，则必定收 敛；若级数条件收敛，则必定发 散。11.02判别下列级数的收敛性（1）;解： 级数发散。（2） ;解：; 原级数发散。（3）;解：0 而 是收敛的; 原级数收敛。（4）;解：; 级数发散。（5）解： 当时级数发散; 当时级数收敛; 当 时：原级数为 故原级数11.03设正项级数和都收敛，证明级数也收敛。证明： 同理 收敛。 又， 收敛。 故 也收敛11.04设假设收敛，且，问是否收敛？试说明理由。解：不一定。如：，是收敛的； 又如： 但是发散的。11.05讨论下列级数的绝对收敛性和条件收敛性。（1）解： 当p1时收敛 故绝对收敛。 当时，属交错级数；而发散. 故条件收敛。 当p0时，很显然原级数发散（2）解： 原级数绝对收敛。（3）解：; 故发散 但是交错级数 ; 原级数条件收敛。（4）解： 原级数绝对收敛。11.06求下列极限：（1）解： 单增小于, 故 收敛于定值，原式（2）解：极限值为 11.07求下列级数的收敛区间。（1）解：， 时，级数发散， 时，级数收敛； 故收敛区间（2）解： （3）解： （3）解： 时，级数显然发散，故收敛区间为。11.08求下列级数的和（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11.09求下列各项级数的和：（1）解： （2）解： 11.10将下列函数展开成x的幂级数：（1）解： 又 （2）解： 11.11设是周期为的函数,它在上的表达式为 ， 将展开成Feurier级数。解： 11.12将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解：将作奇延拓,则 同理偶延拓,则 第十二章 微分方程12.01求以为通解的微分方程。（其中为任意常数）解：两边对求导得： 由 故： 两边平方得： 整理后得： 12.02求以为通解的微分方程。（其中为任意常数）解：两边对求导得： 两边再对求导得： 由 故： 整理后得：12.03求下列微分方程的通解。（1）解：这是一个齐次方程，令，则 整理后得： 由 两边积分，得： 故其通解为： （c为常数）（2）解：令，则 整理后得： 两边积分，得： 故其通解为：（3）解：作变换 （1） 这是一个非齐次的一阶线性微分方程，作对应于（1）的齐次微分方程 （2） 用分离变量法求（2）的通解为： 用常数变易法，作： （3） 得： （4） 将（3），（4）代入（1）得 得 两边积分得： 故其通解为： （c为常数）（4） 解：这是一个Bernoulli方程，两边同除，得： 作变换，则 （1） 这是一个非齐次的一阶线性微分方程 解（1）的齐次线性方程的通解为： 作常数变易法： （2） 得： （3） 将（2），（3）代入（1）得： 解得： 故方程的通解为： 既 （c为常数）（5）解：这不是一个全微分方程，但把方程分成两部分为 在前一个括号内，有 在后一个括号内，有 故两个括号内的为两个全微分方程 故其通解为 即 （c为常数）（6） 解：设，则 故原方程化为 ，即 解得：，即 即 得： 即 （为常数）（7） （1）解：作二阶齐次微分方程为： （2） 其特征方程为： 有两个共轭复根： 故方程（2）的通解为： 由于是的虚部 则方程（1）的特解为 （3）的解的虚部 由不是（2）的特征根，作（3）的特解 （4） 将（4）代入（3）得： 比较两边系数，得： 令，代入得： 故 所以方程（1）的通解为（8）解：这个非齐次线性方程所对立的齐次线性方程为： （1）的特征方程为： 特征根为： 故（1）的通解为： 为了求方程组的特解，考虑下列两个方程： （3） （4） 对于（3），由于是单特征根，故要的特解 对于（4），由于是单特征根，故要的特解 故原方程的特解为： 代入原方程，得： 两边比较系数，得： 所以微分方程的通解为：（9）解： 不是全微分方程作 ，得：将等式两边乘以，得：这是一个全微分方程，所以 得： 整理后得： （为常数）（10）解：令，则两边对求导，得：故得 ，即令，即 得 即 得 用分离变量法，得 ，即 将 代回得： （各处的为不同的常数） 这就是方程的通解。12.04求下列微分方程满足所给的初始条件的特解：(1)解：原方程可写为：第一项有积分因子而方程显然有积分因子于是上面方程可写为： ，即 为满足第一项，应有，从而原方程积分因子为，于是 ，即 积分可得方程的通解为：将初始条件代入得：故方程的特解为：即 （2）解：设则则原方程可化为：用分离变量法解为：由时，可得，即，由此可得：解之可得：由时可得故方程的特解为：（3）时解：令，则故原方程为：解之得：由时得可得：解之得：将初值条件代入得：故其特解为：（4）时解：特征方程为：由，所以二阶线性微分方程：的通解为：又显见为方程的一个特解所以方程的通解为：将初值条件代入得：所以通解为：12.05已知曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。解：设，则，切点为，切点的斜率为所以切线的方程为：由于切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，即，即得：令，得：；解之得：得：由初值条件时，得故曲线的方程为：12.06已知某车间容积为，其中的空气含的(以容积计算)，现以含的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在后使车间空气中的含量不超过（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混和均匀后，以相同的流量排出）解：设输入速度为，设在时刻车间内有此时刻的浓度为，当时间由增加到时刻，的含量由增加到，此时，减少的为（为车间容积）于是得到：得：；即 解之得：由初值条件：当时，代入得；故得：由题设条件：当即得；解之得：应大于约。12.07设可导函数满足，求。解：两边对求导得：两边再对求导得：即 由的任意性得：微分方程的特征方程为：有两个共轭复根故的通解为：由初值，当时，得 故 12.08设函数在时满足Laplace方程： (其中可导，且)试将Laplace方程化为以为自变量的常微分方程，并求。解：由于的地位相同，同理可求得故 对于微分方程 显然为它的一解，不妨定则 则 也为它的一解，且与线性无关，故 由初值条件 可得：得 12.09设是二阶齐次方程的两个解，令证明：（1）满足方程 （2）证明：（1） 故 由于是原方程的解，故 得：即 （2）若在定义域上某一有由常微分方程的理论，有则公式显然成立。若则解微分方程 即两边作积分：得：即得： 证毕。12.10解下列Euler方程的通解：（1）解：作变换代入原方程，得：特征方程为：有两个相等的实根：故方程（2）的通解为：所以方程（1）的通解为：（2）解：作变换，则代入原方程得：方程（2）所对应的齐次方程的特征方程为：解之得：所以方程（2）所对应的齐次方程的通解为：由于1不是特征根，故特解为：得：代入方程（2）得：得：故方程（2）的通解为：所以方程（1）的通解为：12.11求下列常系数微分方程组的通解：（1）解：将方程组整理后得：对第（2）个方程对求导并整理得： 方程（3）所对应的齐次方程的通解为：由于0不是特征根，故为（3）的一个特解，因此方程（3）的通解为：将（4）代入（1）得：解之得：将（4），（5）代入（2）得：故方程组的解为：（2）解：得：得：令 得：解之得：得：将常数重新整理得：
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