高中数学必修1基本初等函数常考题型：对数函数及其性质的应用(复习课)

对数函数及其性质的应用(复习课)【常考题型】题型一、对数值的大小【例1】(1)下列大小关系正确的是()ABCD(2)比较下列各组值的大小与；与；与.(1)解析,，故选C.答案C(2)解法一：对数函数在上是增函数，而，.法二：，.由于，.又因对数函数在上是增函数，且，.取中间值，.【类题通法】比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较(4)若底数与真数都不同，则常借助,等中间量进行比较【对点训练】比较下列各组中两个值的大小：(1) ，；(2) ，(，且)；(3) ，；(4) ，.解：(1)因为函数是增函数，且，所以.(2)当时，函数在上是增函数，又，所以；当时，函数在上是减函数，又，所以.(3)因为，所以，即.(4)因为函数是增函数，且，所以.同理，所以.题型二、求解对数不等式【例2】(1)已知，若，则的取值范围是_(2)已知，则的取值范围为_(3)已知，则的取值范围为_解析(1)，在上是减函数，.(2)由得.当时，有，此时无解当时，有，从而.的取值范围是.(3)函数在上为减函数，由得，解得，即的取值范围是答案(1)(2)(3)【类题通法】常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1)形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论(2)形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解(3)形如的不等式，可利用图象求解【对点训练】若且，且，求的取值范围解：不等式可化为，等价于或，解得，即的取值范围为.题型三、对数函数性质的综合应用【例3】(1)下列函数在其定义域内为偶函数的是()ABC D(2)已知()求的定义域和值域；判断并证明的单调性(1)解析指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选D.答案D(2)解由，即，得.故的定义域为由，可知.故函数的值域为在上为减函数，证明如下：任取，又，()()，即，故在上为减函数【类题通法】解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路【对点训练】已知函数，(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由题设，对恒成立，且，.设，则在上为减函数，.的取值范围是.(2)假设存在这样的实数，则由题设知，即，.此时.但时，无意义故这样的实数不存在【练习反馈】1设，则()ABC D解析：选D由于，故.2函数的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数解析：选A定义域为，为奇函数，故选A.3不等式的解集为_解析：由题意，.答案：4设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则_.解析：，在上递增，即，.答案：5已知函数，其中(且)，设(1)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；(2)若，求使成立的的集合解：(1)的定义域为，的定义域为，的定义域为，为奇函数(2)，.，等价于，解得.故使成立的的集合为