高中数学必修1基本初等函数常考题型：对数函数的图象及性质

对数函数的图象及性质【知识梳理】1对数函数的定义函数 (，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是2对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是增函数在上是减函数3对数函数与指数函数的关系指数函数和对数函数(，且)互为反函数【常考题型】题型一、对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由(，且)；(，且)；.解中真数不是自变量，不是对数函数；中对数式后减，不是对数函数；中前的系数是，而不是，不是对数函数；中底数是自变量，而非常数，不是对数函数为对数函数【类题通法】判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如(且)的形式，即必须满足以下条件：系数为.底数为大于且不等于的常数对数的真数仅有自变量.【对点训练】函数是对数函数，则实数_.解析：，解得或.又，且，.答案：题型二、对数函数的图象【例2】(1)函数(，且)的图象恒过点_(2)如图所示的曲线是对数函数，的图象，则，与的大小关系为_解析(1)因为函数(，且)的图象恒过点，则令得，此时，所以函数(，且)的图象恒过点(2)由图可知函数，的底数，函数，的底数,.过点作平行于轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为，显然.答案(1) (2)【类题通法】1对数函数图象过定点问题求函数(，且)的图象过的定点时，只需令求出，即得定点为2对数函数图象的判断根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小【对点训练】已知，且，则函数与的图象只能是()解析：选B法一：若，则函数的图象下降且过点，而函数的图象上升且过点，以上图象均不符合若，则函数的图象上升且过点，而函数的图象下降且过点，只有B中图象符合法二：首先指数函数的图象只可能在上半平面，函数的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，与的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合.题型三、与对数函数有关的定义域问题【例3】求下列函数的定义域(1)；(2)；(3)；(4) 解(1)要使函数式有意义，需，解得，所以函数的定义域是(2)要使函数式有意义，需，解得，且，所以函数的定义域是(3)要使函数式有意义，需，解得，且，所以函数的定义域是(4)要使函数式有意义，需，解得，所以函数的定义域是【类题通法】求对数函数定义域应注意的问题定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于；若自变量在底数上，应保证底数大于且不等于.【对点训练】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)要使函数式有意义，需，解得，且.函数的定义域是(2)要使函数式有意义，需，即，解得.所求函数的定义域是(3)要使函数式有意义，需，解得.所求函数的定义域是(4)要使函数式有意义，需，解得，且.所求函数的定义域是【练习反馈】1函数的定义域是()ABC D解析：选C由题意知，解得且.2当时，函数和的图象只能是()解析：选B因为，所以为增函数，且函数图象过定点，故排除C，D.又，所以直线应过原点，且经过第二象限和第四象限故选B.3已知对数函数过点，则的解析式为_解析：设，则由得，.答案：4函数(，)的图象必经过点_解析：当时，所以图象必经过点答案：5已知.(1)作出这个函数的图象；(2)若，利用图象求的取值范围解：(1)作出函数的图象如图所示(2)令，即，解得.由图象知：当时，恒有所求的取值范围为.