高中新课程培训数学专题一：必修一整体介绍.doc

高中新课程培训数学专题一：必修一整体介绍张思明：各位老师，大家好，欢迎各位老师高中数学新课程的远程培训，我们这一讲是第一模块的起始课，我们想在这个讲座里请我们两位嘉宾来分析一下，第一模块如何做到整体把握。那么，首先允许我介绍一下到场的两位嘉宾，我身边这位是首都师范大学的博士生导师王尚志教授；我这边这位是同一个单位，首都师范大学张饴慈教授，欢迎两位来参加我们的研讨。那么，作为第一模块的起始课，在第一天的研修里，我们想给大家一个整体的轮廓，把这一模块做一个基础的分析，我们这个工作先请王老师您来做一个基本的介绍。王尚志：各位老师，大家好！我们整体来说一共是10节课，10天，其中前五天是围绕着第一个模块必修一展开的，后五天是围绕着必修二展开的。那么，我们在必修一，必修二这两个模块的培训中，第一个关键词是“整体”，也是我们多次强调的一个关键词，希望我们老师有一个对于课程整体把握的意识。因为我们无论是教数学和做数学，都需要对我们做的东西有一个完整的了解，这是我们第一个关键词。第二个关键词我们就希望老师能够逐步的形成这么一种思维的方式，从局部到整体，再从整体回到局部，就是无论我们总是一节课一节课的教，一章一章的教，一个模块一个模块的实施我们的教学计划，那么在我们教一节课，一张内容，一个模块内容的时候，我们要养成这样一个思维的方式，从我们局部，要看到它在整体中的位置和作用，只有这样，我们才能形成一个更好的对整体的理解，然后我们再在整体理解的基础上回到我们的局部，那么这样，我们就能够更加清楚的认识到，我们这一节课，我们这一章内容，我们这一个模块将要为我们整个高中的数学课程做什么样的贡献。那么，第三个关键词特别是在必修一中做好初高中的过渡。我想我们教必修一模块的时候，面对的是刚刚从初中进入高中的学生，那么我们要做好初中到高中的一个过渡，怎么做好这个过渡呢？我们将在下面的报告中和大家一起交流。下面，我们就来谈一下如何整体的把握好一个模块？我们提供大家这么一些维度。那么，一个就是我们要对这一部分的内容比如说必修一的内容，进行一个数学的分析，我们要从数学上来理解，我们所教的这一块内容它的数学内涵，在我们整个数学中的一个作用，以及什么是最本质的东西。那么，这个分析的基础上，我们希望我们的老师在对标准能有一个仔细的分析，因为标准将要说清楚这部分数学内容在高中阶段如何定位，如何要求，这和数学的分析有所差异。 那么，我们希望我们的老师要对这部分标准所规定的内容有一个重点的分析。我们教数学的过程中，非常清楚，要学会抓住本质，要学会抓住最重要的东西，只有这样才能够提高我们的效率，我们的老师常常愿意开始就做难点分析，我们还是建议我们老师调整一下顺序，首先做重点分析，什么东西在数学里是最重要的，什么东西在数学里是最本质的，只有抓住这些东西，才能提高我们对这部分内容理解的效率。那么，难点是在这个基础上再做分析。如果既是重点又是难点的东西，我们需要花更多的力量来对待它，如果只是难点而不是重点的东西，或许我们就要对它说“不！”。我想举一个例子，比如说我们下围棋，也是培养逻辑推理的很重要的载体，也是非常好的载体，但是它不是我们数学要教的内容，因此我们可以对它说“不！”关于教育的分析是希望老师关注的第四个阶段，也就是说我们要去分析这一部分数学内容的教育价值是什么？我们的情感、态度、价值观上要做哪一些方面的追求？我觉得这件事情是我们不容忽视的，我们要想搞好我们的数学教育，我们必须把学生的积极性调动起来，那么我们有什么样的办法让我们的学生喜欢学我们的数学，让我们的学生喜欢我们的数学课，喜欢我们作为一个数学老师，我觉得这是非常重要的事情。我们要有一些办法.学生还是孩子，在45分钟的教学中，不可能全部都集中.那么我们有什么办法让学生更容易集中精力来和我们一起思考数学的问题？在哪一些地方需要学生更大的关注，我觉得我们需要有一些办法。第五个方面我想学情的分析是非常重要的。我们优秀的老师比如说我们张思明老师在教学过程中，常常，或者说他有一个基本的习惯，接手一个新的班，必须要了解这个班的基本情况，包括他们学习数学的习惯，学习数学的方法，知识和技能掌握的情况，还有哪些学习的特点，还有哪些学习的障碍等等。如果掌握了这些情况，那么我想我们的教学就会更有针对性，我们对学生的指导就会说到点子上。我想教材分析是我们要关注的另外一个问题，因为现在教材多样化了，那么，我们可以看到不同的教材，不同的处理，那么，教材只是展现数学内容的一种方式，那么我们怎么样用教材，用好，就是我们通常所说的，不是教教材，而是用教材教，因此我们要对教材分析，我们分析的目的要看这个教材的设定，这种处理的方式，适合不适合我的学生？适不适合我们学校的基本情况，那么这样才能更好的提高我们的教学效率。那么，紧接着就是教学建议和学法的指导。我想这些东西都是非常重要的。 要帮助学生学会学习数学，比如说我们的数学前辈，我们中国最著名的数学家华罗庚先生曾经多次讲过这样的学习方法，就是我们在学习数学的过程中，要学会把书念厚，对于每一个概念我们应该发掘这个概念实质是什么，关键词是什么，它和哪一些其他的数学概念有联系，和哪些数学的思想方法有联系等等，那么我们把这一个概念就能够拓展.把对它的认识的最大价值发挥出来，那么华罗庚先生还给我们提出，不仅要会把教材念厚，更重要的是把它念薄，也就是能够抓住数学的实质，一句话能说清楚的绝不说两句话，这样的话，学习数学才能够提高我们学习数学的效率，才能够在我们将来的人生发展中，让数学发挥更大的作用。那么，下面我们就结合必修一的内容和大家一起来进行分析，可能我们不可能面面俱到，我们只需要和这个内容比较有关的几个主要的方面做一个介绍，我们希望我们的老师和我们一起来思考这些问题。必修一有四方面的内容，第一个就是集合，第二个是函数，第三个是指数函数与对数函数，第四个方面是函数的应用，最后我们再来交流一下在必修一教学中应该关注的几个问题。下面张老师帮我们分析一下。张饴慈：比如说我们先来看看集合这部分内容的数学分析，我想对集合的数学分析就抓住我们前面王尚志老师讲的从局部到整体，再到局部。那么，集合我们首先要看看集合在整个数学里面它是一个什么位置，那么在整个数学里头有专门一个集合论的一个学科，除了这个专门集合论学科以外，其他的各门各科都要用集合作为一种符号语言来表述它的内容。 那么，整个在集合论里面，它在整个的数学地位里面一方面是一个专门的学科，另一方面又成为大部分数学的一个符号语言，一个工具，一个表述。那么我们了解集合在整个数学里是这样一个概念，就可以回到我们这门课处于什么样的地位，它把集合放在高一开始，那么我们这个定位就是我们不是去研究集合论，不是去做分支的一个基础课，而是想它作为整个数学符号语言的用处，要贯穿在整个高中的三年，我想要对集合这样一个定位首先要从整体局部回到我们认识这个位置，然后再来看我们这个集合要怎么样来把握这样一个理念，结合我们标准对我们的要求，我想主要谈这么一些。王尚志：集合首先是一个语言，是一个表达数学问题的一个工具，那么，作为集合语言应该是符号语言的组成部分，它的作用是可以清晰的、简介的表达一些数学问题，我们这里特别要强调一些数学问题，集合的语言并不是可以或者说需要去表达所有的数学问题，我觉得这一点是希望我们老师能够特别的注意到的。 另外，我想掌握一个语言，掌握集合的语言，和掌握其他的语言是一样的，需要依赖于一些载体，那么这些载体尤其是在开始阶段，一定应该选用学生熟悉的载体，来介绍一种需要学生掌握的新的表达方式就是新的语言。所以我们常常希望用学生学过的东西去表达这个东西。另外掌握语言既然语言它最重要的作用是应用，所以无论是掌握语言和应用语言需要有一个过程，这个是不可能一步到位的。举一个简单的例子，比如说我们二维点集的定量表述就不是可能一步到位的，我们在将来函数的教学中会反复强调函数作为一个图象，是直角坐标系中一个点的集合，我们将来再学到所谓简单的线性规划问题的时候，刻画区域，我们求可行域的时候，又需要强化来描述二维的点集，所以它是需要有一个过程，几乎到了大学，学数学分析，在学多元微积分之前，我们还要专门有一个节来学习多元点集的表达，那么在学习抽样代数之前也需要这么一个过程等等。所以，把它作为一种语言来掌握，我们应该尊重语言的规律。张饴慈：就是说比如说像解析几何，线性规划这些东西，学到这学科以后，用集合描述它这个对象很自然的，一开始我们一定用初中学的一些数学内容，学生熟悉的来讲。王尚志：刚才张老师说了，集合也是一个独立的数学研究对象，集合论也是一个独立的数学分支，那么我们对于集合的定位还是有一些误解的，比如说有一种说法认为集合论是所有数学的基础，我想讲一个上个世纪发生的故事，上一个世纪70年代到80年代曾经有一种说法，既然数学论是所有数学的基础，是不是需要在大学起始年级，首先来开设集合论这样一门课程，然后作为其他课程的基础，这个争论在当时很长时间，我个人参加过这个争论，那么，最后的结果是什么呢？否定的这个意见，大家不赞成这个意见，认为没有必要所有的人都需要学集合论，只有专门研究集合论的人才需要奠定集合论的基础，其他的研究方向只需要利用几何作为一种语言去帮助他们表达清楚其中一些问题，那么，下面是不是请张老师再做一个标准的解读。张饴慈：我想标准对集合这部分内容的要求，主要就是说学生要学会使用集合语言可以简介、准确的表达数学的一些内容，所以这一点作为在集合这一节课的话学时大概是4到5学时，基本上这里所要求的就是属于包含关系，它具体的内容是这样一些东西，然后由包含的关系引出来很重要的相等关系，另外还有子集合等等，它是作为一种语言来使用的，而且要贯穿在高中三年的始终，所以在开始是这么一个认识。王尚志：关于它只能表达一部分内容我们举一个极端的例子，就是哥德巴赫猜想，是大于等于4的偶数都可以分解成为两个素数之和，通常我们说是1+1，那么用集合来刻画它是什么样子呢？就是说所有大于、等于4的偶数，如果它不能等于两个复数之和，就构成一个集合，这个集合是空集，那么想用这样一种表达方式，对哥德巴赫猜想的描述就显得很绕。我们数学是希望用最简洁的形式把我们所要解决的问题表达清楚，而不是绕别人。 所以我想，集合使用用来表示一些内容的。那么关于重点分析，张老师您看？张饴慈：我想在集合里头最重要的就是属于关系，元素和集合的属于关系，因为它是所有整个其他关系的基础，有了属于关系以后，就有包含的关系，有了包含的关系以后就有集合相等的关系，集合相等是一个非常看似简单实际上是一个非常重要的关系，同一个事情像充要条件一样一个不同的描述，有了包含关系我们就有子集合的关系，引出来空集，全集这些概念。 另外除了集合的关系以外，我们还要讲集合的运算，这就是我们的理论。那么，对我们来说，除了这些数学上的这些具体理论以外，对我们来说这个重点就是如何会用集合恰当的语言表示数学问题，集合既然是表示这个问题的，怎么样通过一些具体的问题，具体的实例来表述这些问题，这是我们非常要关注的。王尚志：这里头特别重要的一件事情就是我们所研究的集合应该是清楚的集合，也就是说元素和这个集合的属于关系是清楚的，因此我们没有必要在集合的三性上花过多的时间，这个和集合没有什么直接的关系。就是在我们讨论的范围里头都是非常清楚这样一些集合。那么，有了前头这些，我想我们的教学建议就比较清楚了。我们希望能够明确集合的定位，要用我们学过的知识来作为学习新语言的一些基础。张饴慈：就是说像初中的整数集合和有限整数集合，还有初中学的一元一次不等式，或者说不等式组，这都是初中学过的，最好是以数学的内容作为载体，以避免一些歧异。另外现在有一个问题，大量参数讨论的问题过多过泛，而且这种讨论的问题跟我们刚才讲的集合的定位是没有什么关系的，像这样一些问题都变成了一个解不等式的问题，解方程的问题，就是说变成这样一些问题了。王尚志：就是你不如直接说解方程，解不等式就完了，一定要绕着说。张老师：好像说集合问题，实际上不是说集合问题，无形中增加了我们的难度，搞乱了我们的教学定位和方向。王尚志：所以我想集合呢，有关于指导学生学习有这么两点提供给老师做参考，就是第一个因为集合作为一个载体来说，他需要选择一些内容，来学习集合的语言，老师恰恰可以利用这样一件事情对于过去学习的知识做一个梳理，哪一些适于用集合这样符合语言描述，比如说刚才张老师讲的，一元一次不等式，一元一次不等式组等于这样一些竖轴上的点，区间、开区间，闭区间，半开半闭区间，开到无穷这个区间等等，那么我想这些都是承载集合非常好的载体，那么，学生可以梳理一下就把我们学过的知识做一个梳理。 那么，第二件事呢，就是提升符号语言的表达能力，因为符号语言它有一个基本的特点比较抽象，但是抽象的好处是什么呢？简洁、清楚，所以要帮助学生掌握这样一种符号语言需要我们老师下功夫，这也是数学学习中很重要的事情。张饴慈：但是也同时利用我们的图来画。王尚志：集合我们就说到这里。张思明：函数方面两位老师也帮我们做一个基础分析，第二大内容。张饴慈：我想函数这个概念在整个数学中的地位这可能是在数学里头我们高中学的内容，或者说整个数学里头没有比函数更重要的一个概念了，在整个数学里头贯穿始终。所以我想，对函数这样一个重要的地位的认识可能是我们首先讲函数的时候，老师一定要有一个清楚的认识，随着函数在高中讲得也比较多，但是怎么样来认识到函数在这里面的作用起到一个什么样的作用，为什么用到函数？我想对这一点还是要更进一步的加强认识。王尚志：我们曾经梳理过是吧？在大学课程里头，数学系的课程里，与函数有关的课程有哪一些？我们也给老师梳理一下。数学分析是研究函数、导数和积分的一个课程，实变函数是进一步研究积分的一个课程，就是我们在分析里叫“黎曼积分”，那么到了实变函数就是勒贝格积分，那么紧接着非常重要的就是我们通常所说的未知函数，就是我们通常所说的常微分方程和偏微分方程，然后有复变函数，就是以复数作为变量的函数是作为数学中一个非常重要的研究对象。那么，我们有单复变，现在在数学里一个主流学科叫做多复变的研究，除了这些之外，我们还有数值分析，数值分析主要要解决函数值的求法，以及微分方程的数值解等等，另外还有泛函分析等等，所有这些课程都是以函数作为研究对象的课程，我们曾经梳理过一次。所以，我觉得作为一个老师，可能要对这件事情非常清楚，因为我们就有一个结果，函数是贯穿在数学课程中的一条主线。张饴慈：而且它还跟其他的东西像不等式，方程等很多东西都是联系在一起。王尚志：我们曾经有一个框图里，在资源里大家可以看到，我们函数从小学、初中一直到高中，再到大学，它形成的数学形成的一条主线。比如说在小学里，虽然我们没有产生函数这样一个词，但是我们要帮助学生去用具体的内容理解函数，比如说路程、速度、时间之间的关系，总量、单价、数量之间的关系，正比例关系、反比例关系，实际所反映的都是函数，这是小学的内容；到了初中我们就引入了变量，变量与变量的依赖关系，这就产生了通常所说的在初中对函数的理解，然后我们又学习了一些具体的模型，叫做正比例函数，线性函数，y=kx+b，反比例函数，还有一些分段函数，一元二次函数，这个就坚定了我们高中学习的基础。在高中我们又通过四个角度来认识函数，第一个是函数的概念，我们通过三个纬度来认识函数的概念，第一个纬度是变量说，我们老师经常说的的，第二个纬度所谓关系说，就是函数是一个图象，函数是直角坐标系当中的一个点集，是一个特殊的点集，第三个是对应说，就是函数是一种对应关系，第二个方面我们要帮助学生建立一批重要的函数基本模型，在义务教育的基础上我们要简单的做一点拓展，就是简单的幂函数，简单的幂函数包括这么几个基本的东西，正比例函数，线性函数，一元二次函数，还有，还有 ，还有 ，这些基础的东西和适度的一些拓展，指数函数、对数函数，三角函数，等差数列、等比数列，所有这些都是函数的具体模型，我们要帮助学生把这些函数的模型在脑子里搁住了，灵活的掌握。 第三个维度，就是函数的应用，在数学内部的应用，就是刚才张老师所说的用函数去看待不等式，用函数去看待方程，用函数去看待随机现象，就是通常的随机变量，用函数去看待算法，就是通常所说的循环变量等等。 第四个维度，就是研究函数的方法，我们大体上有两个基本的方法：一个是代数的方法，一个是微积分的方法，就是用导数去认识函数的变化等等，这样就形成了函数一个主线，希望我们的老师能够对函数有一个完整的认识。张饴慈：除了这个函数作为一个主线的认识以外，可能在这一章主要讲函数一些基本的性质，其中核心性质就是单调性，因为周期性的话我们在必修四还会再讲，还会讲奇偶性，但是核心性质是单调性，也就是是单调性反映的是变化，特别在中学阶段我们特别强调当自变量变化的时候应变量怎么变的，这个变必然就是有多有少，就是有增有减，这个函数的增减性，也就是单调性反应出这个函数基本变化的趋势和反应出函数的图形性质，所以单调性是我们整个这部分的核心战略，也是要贯穿在高中三年来不断加深，但是在这里是初次引进来，所以使得我们这部分内容在这一章是核心的内容。王尚志：最近张思明老师和我写了一篇文章，关于单调性的文章，我们就以这个核心概念作一点拓展。就是单调性首先它和函数的概念、函数的图象有密切联系，因为单调性基本能够把这个函数形状刻画清楚了，这是一件事；另外，它对于函数概念的认识也很有帮助，因为我们在用对应说去刻画函数的时候有一个关键词叫唯一，我们通过单调性就可以加深对“唯一”的认识，对于两个不同自变量的值，只有函数值是唯一的时候，它们才可以比较，所以才有单调性，因此它是单调性的支撑和基础，这是一个； 另外，刚才说到函数的单调性和每个具体函数模型密不可分，因为我们对于每个具体模型都要去考虑它的单调性，在什么时候是单调上升的，什么时候是单调下降的，这是刻画一个具体函数模型的基础。另外它还和什么有关呢？我们说函数单调性作为一个概念来说，一个关键词是我们通常所说的对于任意小于 在指定区间里，这是我们在高中阶段第一次碰到我们常用逻辑用语的全程量词，理解这个事情是很重要的。函数的单调性从本质来说是一个不等式的问题，就是当 的时候我们要去判断，与0的关系，是大于等于0，是等于0，是小于0，小于等于0，由此构成我们对单调性的刻画，所以在原则上说单调性和不等式有密切关系。而在证明以单调性为载体的不等式上，它又和我们常用的直接所谓证明的方法，一种叫分析法有关，就是一般都是从结论出发，我们逐渐演绎到我们的条件。张饴慈：而且单调性涉及到一个一一对应的问题，我们后面专门会有一节课专门来谈单调性这个课，这个概念怎么来认识的问题。王尚志：因为你这个一一对应有关系就跟反函数联系起来了，另外左边单调上升和左边单调下降和极值有关系等等，所以单调性确实是一个非常重要的问题。另外还有一个非常重要的，就是和导数，它是反映变化的。所以我们这样来看待一个核心性质我们心里就踏实了，我们知道像这样的核心性质是不可能一步到位的，需要在整个数学课程当中不断加深对它的认识和理解.张饴慈：刚才我们谈到函数作为一条主线，所以那么重要很多是孤立的，和数学其他的内容都联系的，和不等式，和随机变量，所以我们在高中，把整个高中数学里所有的内容也是用跟函数有关的一条线写出来，比如在算法里，在随机变量里，在集合里，凡是碰到跟函数有关的，就是数学本身的内容来讲我们还要紧密相连。王尚志：函数还要引起我们重视的另外一个基本概念就是模型，函数提供了我们一系列的模型，这个模型的概念对我们非常重要，而模型的概念直接涉及的通性通法，就是待定系数法，所以应该说函数在整个数学中，老师应该把它考虑清楚，这样提升我们的教学效能是非常重要的。张饴慈：关于现在在课标的解读，一个也是针对目前我们前一段教学里出现的问题有一些做法是变了，比如我们现在是要求在函数讲的要通过实例，通过大量的情景引入函数，也就是把函数的教学是先讲函数的概念，后提升到映射的概念，而不是像过去先来讲映射，抽象的概念来举例用函数讲这个问题，另外我们对一些过分的跟实际问题无关的淡化了。另外关于反函数的概念，我们适当降低要求，我们知道对数函数和指数函数是互为反函数的关系，并不讨论一般的抽象反函数的定义，另外对奇偶性我们也有所削弱，因为奇偶性在三个性质里依赖于坐标的选择，它当然反映函数对称性质，但是属于奇函数和偶函数却依赖于坐标轴，所以相对来说是淡化的。另外，我们现在提倡信息技术和函数的整合。关于重点的话，我想就是函数的概念了，我想对函数的概念怎么强调都不过分，但是我们的函数概念不是抽象的有一个映射的定义，要结合实际的问题，结合大量的例子，把这个实际问题变成一个函数的模型，通过这样一些例子来体会函数的过程，建立这个模型和方法，我想这是特别重要的一件事。王尚志：我们通常强调函数的思想，这个应该是我们教会学生的，就是我们碰到一个问题我们总要去分析，在这个问题中间什么东西是不变的，什么东西是变化的，这个变化的量有哪些，这些变化的量之间有什么样的关系，是不是函数关系，这样的一个思维过程我觉得就是我们通常所说的函数思想的一个思维过程，这无论是我们在解决数学问题还是解决实际问题的过程中，都是非常重要的，所以我们围绕着函数的概念，我们应该把这样一种思维的模式教给学生，学会用函数模型去描述规律，能够去解决问题，这是我觉得第一个非常重要的。张饴慈：第二个重点解决它的单调性对函数的重要性，这个就不多说这个问题了。王尚志：教学建议思明你说说。张思明：我觉得在第一个模块当中特别要把概念的教学放在一个重点，因为从初中上来我们会感觉到在教学过程当中孩子们一个突出特点，就是重例题，重计算，在初中没有像函数这么重点强调的概念，它的应用、它对于整个问题的解决里它的核心作用没有这么突出，所以最重要的就是要强化概念教学，让学生一步一步的把概念变成自己能够理解的东西，我想这应该是一个核心的东西。张饴慈：我想到了高中以后对概念的数学就更加重要了，过去就是做题，这种东西带到高中就非常有害的，现在有的老师对概念不太重视，五分钟，十分钟讲完以后又变成作题了，所以我想到了高中以后，我们要改变，特别对函数、单调性的概念，一定要把概念的教学作为教育非常重要的一件事情认真的来对待。王尚志：我同意你们的分析，但是我们要有一个判断的能力，什么是重要的概念，重要的概念它怎么体现出来，所以我想但凡重要的概念就不可能一步到位，所以我们要给予它们特殊的关照，我们要花特殊的力量去帮助学生在我们整个教育当去形成这些重要的概念。张思明：我觉得王老师说的这个事情有一个突出表现，就是老师们在第一模块教学当中常常突出了一些不是特别重要的概念，比如有一些老师认为集合是需要强调的概念，这个很难强调，所以才会出现集合的三性，还有函数引入的时候会强调什么是定义域，做了很多定义域和值域混合的那种，一会变这个，一会变那个，我觉得这些都不是核心的概念。还有一个函数是研究变化的，变化的一个载体就是图象，我们从初中过来，我们老师有一些好的经验，比如说描点作图，开始很重视，把这个环节要落实，每个基础函数都要有这个过程。但是到后来分析问题的时候，特别是老师自己认为二次函数大家都有这个图象了，很少去画图，很少把那些抽象的概念跟图发生联系，我觉得这个也是我们强调的教学建议，一定要多用图。张思明：我想数形结合这个词都说，但是实际上我觉得落实的始终不够好，一到具体的东西就想不到要用图，要时时刻刻想到图，再讲集合的时候我们要画微型图，特别对函数来说它的图象太重要了，怎么说它的重要性都不过分，所以一定以突出这个图形的作用。王尚志：就是学生脑子里要有图，碰到这些我们通常所说的函数脑子里反应出图，这样才能保证我们思维到关键的地方。张思明：下一个建议我是觉得函数函数要突出函数的关系在学生脑子里留下印象，我们学生看到课本认为是函数，而一走到身边，我们看到气压表，看到车说这些计价器他反应不出来函数，我们要让学生从身边开始做起，要让他体会身边存在很多具体的函数关系，把这些函数关系具体说出来为什么是函数关系，像这样的问题要经常提给学生。王尚志：老师有很多很好的做法，实际让我们学生走出去，到邮局里看哪些是常量，哪些是变量，变量和变量之间有没有关系，到加油站可以看，到高速公路也可以看，到机场也可以看到，所以我们身边充斥着大量的具体的函数实例。所以我们让学生脑子里第一要有图，第二要有具体的东西来支撑这些抽象的东西，所以思明强调的这个实际就是函数的思想。张饴慈：因为你首先要有大量具体的实际函数，你才真正对函数概念理解了，而不是靠定义来理解的，特别对中学阶段来说，这个变量的依赖关系要比远比抽象的映射重要的多。你有具体的函数，它的内容才是丰富的，一个具体的二次函数有多丰富的内容，它的对称性，它的单调性，给的越具体函数越能够反应它的很多性质，所以一定要树立函数强调变量之间的关系。张思明：还有一个建议，这一章我们花了这么大力气给了几类，基本指数对数还是二次函数，这些都是一个非常重要的模型，他描述了不同类似的变化规律，比如指对先快后慢，先慢后快，学生要能够把这些具体的函数模型跟他们要解决的问题发生关系，是不是这个样子？王尚志：对。在学习上你有什么建议？张饴慈：我想在学习上可能我们现在老师的意图怎么让学生养成这个问题，就是让学生想这个函数的概念，它是用很多具体的例子来理解这个概念，就是要让学生养成这个习惯。比如数形结合也是，学生培养怎么有意识，一看到问题我就想起函数图象，要有有意识的培养学生这样的习惯，我想这样可能才可以。王尚志：我记得思明说三个习惯，第一个习惯就是帮助学生能够养成用实例来理解抽象概念的习惯，第二个是画图的习惯，思明还说过梳理知识的习惯，我觉得这个在函数学习的过程中都是有价值的。张思明：而且是初升高的第一个模块，他过去可能没有做过这个事情，函数是几类模型，类和类之间要有差别，要梳理，他们有共性和个性，这是非常重视的一个内容。第一模块的分析我们还有一些内容，包括指数函数、对数函数在后面的课程里下一节课我们还要继续跟老师交流这方面的内容，这一节课我们先讨论到这里，我们期待在下一节课和老师继续讨论有关第一模块有关其他函数的一些分析和教学建议，谢谢大家的参与，再见！